只有一個側面的神奇帶圈

漂流

本期答案 這是真的！

背景 麥比烏斯圈只有一面

青年問禪師：“大師，我很愛我的死黨，他有很多優點，但是總有幾個缺點讓我非常討厭，有什么方法能讓他改變？”禪師淺笑，答：“方法很簡單，不過若想我教你，你需先下山為我找一張只有正面沒有背面的紙回來.”

青年略一沉吟，掏出一個麥比烏斯圈.

闡述 許多人看到過麥比烏斯圈，但不一定知道它叫麥比烏斯圈.

許多人知道麥比烏斯圈，但不一定知道它的來龍去脈，

圖l

麥比烏斯圈是德國數學家麥比烏斯，在1 858年研究著名的數學猜想：四色定理時發現的一個副產品，在麥比烏斯之前，已經有數學家提出：是否可以用一張長方形的紙條，首尾相粘，做成一個圈，然后在紙圈上涂色，只用一種顏色，就可以把整個紙圈涂滿，不留下空白，有一天他在野外散步，田間肥大的玉米葉在他眼中變成了綠色的紙條，在不經意間他把玉米葉擰了一個圈后把兩個頭對接了起來，放到了地上，如圖1.這讓麥比烏斯非常驚訝，本來有兩個面的紙條怎么變成一個面了？

普通紙帶有兩個面，一個正面，一個反面，兩個面可以涂成不同的顏色；而麥比烏斯圈只有一個面，忙碌的螞蟻們可以爬遍整個曲面而不必跨過它的邊緣，不妨來看看20世紀的偉大藝術家埃舍爾以麥比烏斯圈為載體的作品《麥比烏斯圈Ⅱ》，如圖2，可愛的螞蟻正為我們闡釋麥比烏斯圈，這個所謂的單側曲面到底長什么模樣呢！

大家看看，麥比烏斯圈是不是和我們熟悉的數學符號“∞”長得很像呀，因此也有人認為麥比烏斯是無窮大符號“∞”的創意來源，設想一下：如果一個人站在一個巨大的麥比烏斯圈的表面上沿著他看到的“路”一直走下去，結果會發生什么？他會一直走下去，永遠不會停下來，如圖3.不過，這個“∞”來源的想法不是真的，符號“∞”早在1656年就出現在英國數學家沃利斯的作品中了.

麥比烏斯圈有許多奇異的特性.

拿一張白色的長紙條，把一面涂成黑色，然后把其中一端翻個身，粘成一個麥比烏斯圈.用剪刀沿紙帶的中央把它剪開.紙帶不僅沒有一分為二，反而變成了一個兩倍長的紙圈.小伙伴們可以動手試著做一做.

一些在平面上無法解決的問題，卻不可思議地在麥比烏斯圈上獲得了解決.如在現實空間無法實現的“手套易位”問題：人左右兩手的手套雖然極為相像，卻有著本質的不同.無論你怎么扭來轉去，左手套永遠是左手套，右手套也永遠是右手套！不過，倘若你把它搬到麥比烏斯圈上來，那么問題解決起來就易如反掌了，由于麥比烏斯圈的單面性，不分左右，左右手就都可以戴上了.

數學中有一個分支叫拓撲學，主要研究幾何圖形的一些特征和規律，麥比烏斯圈就是拓撲學中最有趣的單側面問題之一，

類似的問題 青年又問禪師：“我的頭腦總是被繁雜的世俗所裝滿，卻要如何是好？”

禪師說：“你畫一個瓶子，它總有一個盡頭，你不把它里面的東西倒出來，怎么裝新的進去？”

青年若有所思，畫了一個克萊因瓶，如

在1882年，著名數學家克萊因發現了神奇的著名“瓶子”，這是一個像球面那樣封閉的（沒有邊）曲面，但是它只有一個面.在圖片上我們看到，克萊因瓶的確像一個瓶子.

克萊因瓶的結構在三維空間可描述為：一個瓶子底部有一個洞，現在延長瓶子的頸部，并且扭曲進入瓶子內部，然后和底部的洞相連接.和我們平時用來喝水的杯子不一樣，這個物體沒有“邊”，它的表面不會終結.克萊因瓶和球面不同，我們知道一個球有兩個面——外表面和內表面，如果一只螞蟻在一個球的外表面上爬行，那么如果它不在球面上咬一個洞，就無法爬到內表面上去.我們很容易想象，一只爬在“克萊因瓶外”的螞蟻，可以輕松地通過瓶頸而爬到“瓶內”去——事實上克萊因瓶無內外之分！當然了，您也甭想著用這個瓶子來裝水呀！

有趣的是，如果把克萊因瓶沿著它的對稱線切下去，竟會得到兩個麥比烏斯圈，如圖5.

更多關于麥比烏斯圈和克萊因瓶的內容，同學們可以參考《數學文化素質教育資源庫》叢書.