鑲嵌：從平面到空間

倉萬林

說起鑲嵌，大家可能都很陌生，但生活中常見的鋪瓷磚，就是典型的鑲嵌問題.

在幾何中，平面鑲嵌又稱為“平面密鋪”，指能用一種或多種幾何圖形覆蓋整個平面，且每個幾何圖形之間不存在空隙、也不重疊的幾何結構.鑲嵌的一個關鍵點是：在每個公共頂點處，各角的和是360。.在平面鑲嵌中，最簡單的是正鑲嵌，即由同一種正多邊形構成的鑲嵌，只有正三角形、正方形、正六邊形3種，

下面我們來討論，只用一類全等形鑲嵌平面.動手操作l 用全等的任意三角形鑲嵌平面

把一些紙整齊地疊放好，用剪刀一次即可剪出多個全等的三角形。用這些全等的三角形可鑲嵌平面.因為三角形的內角和是180°，用6個全等的三角形即可鑲嵌出一個平面，如圖2.當然，鑲嵌的方法不止一種，如圖3.動手操作2用全等的任意四邊形鑲嵌平面仿上面的方法可剪出多個全等的四邊形，用它們可鑲嵌平面.因為四邊形的內角和是360°，用4個全等的四邊形即可鑲嵌出一個平面.

小伙伴們不妨自己動手嘗試一下，用全等的四邊形Q的確可以鋪滿整個平面，如圖4.

在剛才的操作中，我們還得到了的一個命題：若平行四邊形P的邊平行且等于四邊形Q的對角線，則四邊形Q的面積=2/1×平行四邊形P的面積.有意思的是，操作中還隱含了一個“無字證明”，哈哈，好高大上呀，“無字證明”問題起源于20世紀90年代末美國《數學雜志》（《Mathematics Magazine》）開辟的一個專欄：沒有文字的證明（Proof Without Words），粉絲遍布全球.小小鑲嵌，還大有文章.

更為復雜的特殊五邊形或者特殊六邊形等鑲嵌結構，請移步《數學文化素質教育資源庫》.令人驚嘆的是一位叫瑪喬里·賴斯的家庭主婦，對平面鑲嵌有很深的研究，尤其對五邊形鑲嵌提出了很多全新的結論，令許多一流的數學家也大為驚嘆，有些懸案到目前還沒有完全解決.聰明的你，好好去琢磨一下，相信你也會成為她的粉絲的.

下面我們來點新鮮的，用多種正多邊形鑲嵌.

動手操作3用正三角形和正六邊形的組合進行鑲嵌

動手之前，我們要先做一些準備工作.

先研究這樣的情形：設在一個頂點周圍有M個正三角形的角，有個正六邊形的角.因為正三角形的每個角是60。，正六邊形的每個角是120。.所以有

可見具有公共頂點的用正三角形和正六邊形鑲嵌，有兩種類型：一種是在一個頂點的周圍有4個正三角形和1個正六邊形，如圖5；另一種是在一個頂點的周圍有2個正三角形和2個正六邊形，如圖6.

如果在局部正三角形和正六邊形不是圍繞公共頂點分布，還有其他鑲嵌方法，如圖7.小伙伴們可探究用其他兩種甚至更多種正多邊形鑲嵌的問題.

平面鑲嵌中，好玩的東西還真不少，如埃舍爾繪畫（如圖8）和彭羅斯飛鏢（如圖9）等.

平面鑲嵌升級版

看多了二維平面的鑲嵌結構后，是不是有將問題升級到三維空間的沖動呢？數學家們還就是這樣想的.更多討論請小伙伴們查閱開普勒猜想（Kepler's Conjecture）等相關材料.

從平面鑲嵌到空間鑲嵌，由手工操作到科技前沿的計算機證明，數學應用的魅力體現得淋漓盡致.