落實基礎，積淀方法，發展思維
——以《方程的應用》為例談數學中考復習的策略

江蘇省太倉市沙溪實驗中學 吳存紅

布魯姆認為：有效的教學過程應從準確地知道希望達到的目標是什么開始。初中數學復習課應該從制定復習目標開始，再經過適當的教學活動以及有效的評價，這樣才能實現比較有效的復習過程。而中考復習課是站在整個初中階段的高度，是以中考為目標的，它以某一知識為基準，不僅要對知識和方法的內在聯系進行橫向構建，而且要對蘊含的數學思想進行縱向剖析。那如何在中考復習課中既能落實知識點、提煉方法，又能上升到數學思想呢？下面筆者以《方程的應用》為例談談數學中考復習的一些思考。

一、精準定位，以考綱定復習目標

中考作為義務教育階段的終結性考試，其具有畢業鑒定與升學選拔的雙重性任務。各地區依據初中畢業升學考試改革的有關精神以及《義務教育數學課程標準》（2011年版）（以下簡稱《標準》），編寫了具有本地區特色的考試綱要。中考復習的時候，教師應認真研究綱要，并嚴格根據綱要和《標準》對中考復習進行精準定位，做到復習的時候目標明確、有的放矢。比如，江蘇省蘇州市2017年數學中考考試綱要上面對方程（組）的要求包括：①能夠根據具體問題中的數量關系列出方程，體會方程是刻畫現實世界的一個有效的數學模型；②經歷估計方程解的過程；③能解一元一次方程、可化為一元一次方程（或一元二次方程）的分式方程；④了解解分式方程時有可能產生增根，并掌握驗根的方法；⑤掌握代入消元法和加減消元法，能解二元一次方程組（或由一個二元一次方程和一個二元二次方程所組成的方程組）；⑥理解配方法，能用直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法解數字系數的一元二次方程；⑦會用一元二次方程根的判別式判別方程是否有實根和兩個實根是否相等；⑧＊能解簡單的三元一次方程組；⑨＊理解一元二次方程的根與系數的關系。從中可以看到，中考對方程的考查范圍不僅包括解方程，而且包括一元二次方程根的判別式等知識點的應用，更重要的是考查方程作為一個數學模型在具體問題中的應用。

二、精選習題，以要求定問題組鏈

中考對方程的要求，不僅要會解方程，而且包含了一些與方程相關的知識點，更是作為一種解決問題的模型和工具來對待。在設計《方程的應用》中考復習的時候，我們可以設計以下問題組鏈，逐層突破（以蘇科版教材為例）：

1.基本要求，解方程

【解析】本題主要考查了分式方程的解法，解分式方程的基本思路是：將分式方程轉化為整式方程，再利用整式方程的解法求解。解題過程分為三步：（1）去分母，在方程的兩邊同時乘以最簡公分母，把分式方程轉化為整式方程；（2）解整式方程；（3）驗根，把整式方程的解代入最簡公分母，若最簡公分母為0，則整式方程的解不是原分式方程的解，否則這個解就是原分式方程的解。

2.常規要求，用方程的解

【解析】本題考查了一元二次方程根的判定，共有三種情況：關于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個相等的實數根b2-4ac=0；關于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個不相等的實數根b2-4ac＞0；關于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)沒有實數根b2-4ac＜0。

例3 （2017·江蘇南京，2分）已知關于x的方程x2+px+q=0的兩根為-3和-1，則p=____ ，q=____ 。

【解析】本題可以利用一元二次方程的根與系數的關系來求解：-3+(-1)=-p，-3×(-1)=q；也可以由方程的根寫出一元二次方程進行求解：這個方程可以寫為(x+3)(x+1)=0,整理得x2+4x+3=0；還可以把兩個根代入原方程進行求解。

3.能力要求，列方程

例4 （2017·江蘇鹽城，10分）某商店在2014年至2016年期間銷售一種禮盒。2014年，該商店用3500元購進了這種禮盒并且全部售完；2016年，這種禮盒的進價比2014年下降了11元/盒，該商店用2400元購進了與2014年相同數量的禮盒也全部售完，禮盒的售價均為60元/盒。

（1）2014年這種禮盒的進價是多少元/盒？

（2）若該商店每年銷售這種禮盒所獲利潤的年增長率相同，問年增長率是多少？

【解析】本題考查的知識點：利用分式方程解決實際問題；運用一元二次方程解決有關增長率的問題。

（1）設出未知數以后,本題的等量關系是“購進了與2014年相同數量的禮盒”，并由此列方程；（2）“增長率相同”的實際問題，呈現數學中的“指數模型”，數量a以相同的增長率x連續增長n年以后的結果是a(1+x)2，連續增長2年相當于n=2。

4.高階要求，方程模型

【解析】本題考查了反比例函數、平行四邊形、相似三角形等知識點。題中需要求出未知點C的坐標才能求解，聯想到“BC∥AE”可以得到△ADF∽△CBF，從而可以列出一個方程求出點C的坐標。在這類函數綜合題中，方程模型顯得非常重要，當問題中存在未知量的時候，都可以嘗試挖掘問題中隱含的等量關系列出方程進行求解。

我們在進行中考復習的時候，應該要打開章節之間的通道，建立知識點之間的聯系，層層推進。從上面的問題鏈中，可以清晰地看到對方程的要求分為四個層次：基本要求，解方程；常規要求，用方程的知識解決相關問題；能力要求，列方程解決問題；高階要求，利用方程模型解決問題。這不僅僅是知識點的四個層次，也是解決數學問題的方法的四個層次：解方程→用方程→列方程→方程模型，更是對學生數學思維的一次提升：原來方程真正的價值在于方程模型，方程可以作為一種解決問題的數學工具來使用。

三、研究教法，以學生定教學方式

《標準》強調“教學活動是師生積極參與、交往互動、共同發展的過程。有效的教學活動是學生學與教師教的統一，學生是學習的主體，教師是學習的組織者、引導者與合作者。”

有效的中考復習同樣不能弱化甚至忽略學生的學習主體地位，更不能老師一講到底，在數學中考復習的時候，可以在多種教學形式中切換，以求高效。比如在復習《方程的應用》的時候，如果班級學生總體水平較好，對于前面提到的四個層次中的“解方程、用方程”，我們可以讓學生采取小組合作學習的方式展開，這樣更利于學生有針對性地查漏補缺；在最后一個層次“方程模型”的教學過程中，又可以鼓勵學生充分發表不同的意見和想法，學生會發現不管采取什么方法求BC的長，都會利用列方程解決問題。在這樣的對比中，學生更容易體會到方程作為一種解決問題的數學工具的價值所在。

教師也可以多采用講練結合的教學方式，比如在前面的問題鏈后面穿插相應的鞏固練習，不僅讓學生及時得到了鞏固，也能增強學生的學習信心。五道例題后面配套的鞏固練習如下：

【小試身手】

2.（2017·江蘇揚州）一元二次方程x2-7x-2=0的實數根的情況是（ ）

A.有兩個不相等的實數根 B.有兩個相等的實數根

C.沒有實數根 D.不能確定

4.（2017·江蘇無錫）某地新建的一個企業，每月將生產1960噸污水，為保護環境，該企業計劃購置污水處理器，并在如下兩個型號中選擇：

？

已知商家售出2臺A型、3臺B型污水處理器的總價為44萬元，售出1臺A型、4臺B型污水處理器的總價為42萬元。求每臺A型、B型污水處理器的價格。

數學中考復習也是一個整體，這個整體體現在課程標準與考試綱要的統一、落實基礎與積淀方法的統一、發展思維與發展學習素養的統一、教與學的統一。如果我們多關注這幾個方面的統一，我們的數學中考復習一定會更加有效。