導數問題中的兩條直線代換及其應用舉例

陜西省西安市鐵一中濱河學校 楊雨晴

高考中在導數問題上主要考查五個方面，即求切線、研究函數單調性、證明含參的恒成立不等式、函數方程根的個數與存在性證明、實際優化問題中的應用。隨著廣大師生對高中階段導數問題的不斷深入研究，常見的導數問題當中均涉及了y=lnx與y=ex這兩個函數。這也將必修一當中的指數函數與對數函數和選修當中的導數緊密地結合在了一起。

在學習相關知識的過程中，我們發現函數y=lnx與y=ex各存在一條特殊的切線y=x-1與y=x+1，這使得很多問題在求解過程中可以得到化簡，從而提高運算效率。本文首先證明了兩個重要性質，其次針對一些高考真題與模考題進行了舉例說明，最后對該方法進行了總結，并指明了其適用條件。

一、兩個引理

在這一節當中，我們先介紹兩個學習過程中發現的恒成立不等式，不妨暫且稱之為“引理”。

1.對數函數的引理

對于對數函數而言，引理的具體描述如下：

證明：構造函數f(x)=lnx-x+1，并對函數f(x)求導可得：-1。

令 f′(x)=0，得到 x=1。

即：f(1)=ln1-1+1≤0，那么：

證畢。

2.指數函數的引理

對于指數函數而言，引理的具體描述如下：

證明：構造函數f(x)=ex-x-1，并對函數f(x)求導可得：f′(x)=ex-1。

令 f′(x)=0，得到 x=0。

即：ex-x-1≥0，那么：

證畢。

3.兩個引理的幾何解釋

上述兩個引理的實質是函數y=lnx與y=ex分別在x=1、x=0處的切線，如圖1所示。

圖1 兩個引理的幾何意義

掌握這兩個恒成立的不等式，對于我們在實際解題過程中有多大的幫助呢？接下來，我們就通過幾個例題來進行說明。

二、應用實例

1.實例一

首先我們來看一道2013年高考新課標Ⅱ卷的真題。

例1 已知函數f(x)=ex-ln(x+m)。

（1）設x=0是f(x)的極值點，求m，并討論f(x)的單調性；

（2）當m≤2時，證明f(x)＞0。

當然，我們的重點是第二問，第一問在此不做過多的解釋。

對于函數中的y=ln(x+m)，可以理解為將函數y=lnx向左平移m個單位后變換得到的新函數，且這個平移的距離不超過2。當然，m＜0時為向左平移。

由圖1可知，將函數y=lnx向左平移2個單位后，其切線y=x-1也將隨之向左平移2個單位長度，這時恰好變為函數y=x+1，即函數y=ex的切線。那么，由兩個引理可知，該問題的結論自然得證。

由引理2可知：ex≥x+1，當x=1時，“=”成立。

又因為m≤2，所以x+m-1≤x+2-1=x+1，當m=2時，“=”成立。

綜上：ln(x+m)≤x+m-1≤x+1≤ex。

又：上式中3個等號的成立條件依次為：x=1-m、m=2、x=1，這三個等式不能同時成立，即：ln(x+m)＜ex，f(x)＞0。

證畢。

2.實例二

以下是2011年遼寧高考真題。

例2 設函數f(x)=x+ax2+blnx，曲線f(x)過點p(1,0)，且在p點處的切線斜率為2。

（1）求a、b的值；

（2）證明：f(x)≤2x-2。

（2）若證f(x)≤2x-2，即證3lnx≤x2+x-2。

由引理1可知，若要上式成立，則只需證明3(x-1)≤x2+x-2。

將該式整理可得：x2-2x+1≥0恒成立，那么：

證畢。

本文中所提到的兩個引理源自指數、對數函數的兩個特殊切線，這兩條切線的斜率均為“1”，且切點分別位于兩條坐標軸上。其應用條件為：一是所給函數中包含對數“lnx”或（和）指數“ex”項；二是均為證明恒成立的問題。

最后，由于篇幅原因，本文所采用的實例有限，并且未能將參考答案中的方法進行展示和比較。當我們能夠同時比較兩種做法時，本文所介紹的方法的優勢就能夠體現出來，尤其是在計算量的削減方面。

[1]李昭平.高考對導數問題考查的五大熱點[J].中學數學研究，2004（5）：35-37.