將心注入 從心開始
——以三次函數圖象對稱中心的應用為例

安徽省蕪湖市無為縣第二中學 安 英

眾所周知，三次函數的導數是不可或缺、耳熟能詳的二次函數，因此，以三次函數為載體,用二次函數知識對三次函數的性質做研究的創新試題，背景新穎，綜合性強，所以近年來，三次函數圖象的對稱問題是高考的熱點問題，弄清三次函數圖象對稱中心及相關性質尤為重要。

一、提出問題，從心開始

以三次函數的對稱性為背景的創新試題常常出現在各地高考或模擬考試中，考查利用導數研究函數的性質,考查函數與方程思想,考查考生創新能力，考查考生熟練應用所學知識解決問題的能力。

二、探究問題，將心注入

為了解決相關問題，弄清三次函數圖象對稱中心及相關性質迫在眉睫。讓我們探究問題，將心注入。

三、解決問題，用心即好

（1）試用含a的代數式表示b；

（2）求f(x)的單調區間；

（3）令a=-1，設函數f(x)在處理取得極值，記點證明：線段MN與曲線f(x)存在異于M,N的公共點。

（1）（2）兩問比較簡單，（3）問線段MN與曲線f(x)存在異于M,N的公共點，即f(x)對稱中心。理解出題者的用意，理解題目的背景，用對稱中心的性質解決問題是個好方法，于是從三次函數圖象對稱中心開始探究。

分析：（1）（2）兩問比較簡單，（3）問要用對稱中心的性質解決。

評注：解答（3）問，用心即好。用對稱中心的性質解題就非常自然簡潔。掌握了三次函數的對稱中心的性質，很多困難的問題就迎刃而解，更有助于我們提高對知識系統性的理解。

四、深入問題，不忘初心

進一步深入問題，不難發現還有很重要、很實用的引理。在解決有關問題時若不忘初心，定能另辟蹊徑。

引理：若函數y=f（x）在定義域D上可導，且，則函數y=f（x）的圖象關于點的圖象關于直線x=a對稱。

證明：由函數y=f（x）的圖象關于點在 時恒成立，此時兩邊對x求導，得

分析：f（x）的導函數是二次函數，可用二次函數對稱軸來解。亦可利用引理快速解決。

以三次函數的對稱性為背景的創新試題常常出現在各地高考或模擬考試中，考查利用導數研究函數的性質,考查函數與方程思想,考查考生創新能力，考查考生熟練應用所學知識解決問題的能力。

數學家華羅庚曾經說過：復雜的問題要善于“退”，足夠地“退”，“退”到最原始而不失去重要性的地方，是學好數學的一個訣竅。所以不忘初心，從心開始！