用雙曲線的定義解題

湖南省岳陽縣第一中學 彭志龍

雙曲線的定義是雙曲線的重要概念，對它的準確理解與正確運用對學好雙曲線甚至整個圓錐曲線都很有意義，因此，本文揭示它的應用，談用雙曲線的定義解題。

一、抓定點，用定義

點評：雙曲線上的點必滿足雙曲線的定義，本題抓住“交點”滿足第一定義，通過使用第一定義我們可以求出雙曲線方程中的基本量，對比其他方法無疑要簡單許多。

二、借圖形，用定義

那么△ABF2的周長為

點評：圖形具有直觀性。本題借助圖形，利用第一定義，首先求出，爾后再求周長，顯然是求解問題的一種策略。假若本題未給圖形，條件“過F1作直線交雙曲線的左支于A、B兩點”中，再去掉“左支”兩字，情況就大不相同，有興趣可試一下。

三、抓定值，用定義

例3 一個中心有三個觀測點，分別處于正東、正西以及正北三個方向。一天，位于正西以及正北的兩個觀測點同時聽到了一聲巨響，但是位于正東的觀測點聽到巨響的時間要晚4s，三個觀測點距離中心都為1020m，試確定該巨響發生的位置。（假定當時聲音傳播的速度為340m/s，相關各點均在同一平面內）

簡解：如圖，以接報中心為原點，正東、正北方向分別為x、y軸的正向建立直角坐標系，設A、B、C分別為西、東、北觀測點，則A（-1020,0），B（1020,0）C（0,1020）。設P（x,y），則|PB|-|PA|=340×4為巨響發生點，則由第一定義知a=680，c=1020，得b2=10202-6802=5×3402，∴方程為。由A,C同時聽到巨響聲，得|PA|=|PC|，因此P在直線y=-x上。

點評：本題抓住“正東觀測點聽到該巨響的時間比其他兩觀測點晚4s”想到差為定值，進一步想到雙曲線，使其轉化為雙曲線問題進行求解。

四、抓合作，用定義

簡解：由于F(1,0)，且A(-2,4),B(4,4)在雙曲線上，得。

即點P在線段AB的中垂線上，它到y軸的距離為1；

綜合（1）（2）知P到y軸的距離的最大值為6。

評注：以雙曲線的定義為出發點可以得出兩種情形，其中的第二種情形根據橢圓定義可以得出橢圓方程，然后根據橢圓方程就可以求出結果。因此，想要解出這道題，就需要將題中的兩種定義結合起來。

五、抓特征，用定義

令y2=3，則方程變為

顯然，點(x,y)在以(-2,0)，(2,0)為焦點，實軸長為2的雙曲線上，易得其方程為。

點評：本題的一個重要特征是差為定值2，由此出發，引入y2=3，使問題很巧妙地轉化為幾何問題，再結合雙曲線的第一定義使問題獲解，可以看出這種解法具有創造性。

至此可以看出：雙曲線的定義是一個內涵十分豐富，應用非常廣泛的重要概念。其實，橢圓、拋物線又何嘗不是呢？建議讀者建立在拙文的基礎上，結合類比聯想來看一下涉及橢圓、拋物線的定義會有哪些問題，也許你進入了一個妙趣橫生的新天地。