多維溫度場對光纖環Shupe效應誤差影響的理論分析?

卓超 杜建邦

(北京航天自動控制研究所,宇航智能控制技術國家級重點實驗室,北京 100854)

1 引 言

光纖陀螺是利用多層光纖環中沿正反方向傳播光束的相位差來檢測相對慣性空間的轉動[1].作為慣性導航系統的核心儀表,光纖陀螺測量精度目前已達到戰略級水平,引領了慣性技術的發展方向[2].然而,光纖環易與使用環境中多種物理量[3?6](濕度,電磁,氣壓,溫度)相互作用而導致精度下降的特點已成為制約其性能進一步提高的瓶頸問題.因此,將環境變量對于光纖環的作用機理進行建模與分析有助于定位關鍵誤差源并降低相關因素的影響.

在諸多影響因素中,溫度效應作為影響光纖環性能的首要因素受到研究者的廣泛重視.Shupe[7]首先闡釋了瞬態溫度變化會引起光纖折射率改變并導致非互異性相移,從而造成陀螺零偏漂移的產生.其中一個重要推論是如果能嚴格保持溫變分布關于光纖長度中點的對稱性,就可以消除Shupe效應誤差.基于此,研究人員提出了以四極繞法為代表的多種光纖環繞制方法[8?10]并分析了瞬態溫度場對于不同繞線方式下陀螺零偏漂移的影響模式[11?14].文獻[15]推導了沿光纖環徑向傳播的熱傳導模型,并與漂移相結合,揭示了熱源分別位于陀螺內外部時引起不同零偏響應的本質原因.文獻[16]則進一步考慮了四極繞法光纖環在徑向溫度梯度作用下非等長繞線誤差并給出了非對稱長度的辨識方法.從公開發表文獻來看,目前多數研究工作都是在只有徑向溫度變化的假設下開展,很少關注多維溫度場的情況,文獻[17]僅半定量討論了軸向溫變速率的影響.這對于Shupe效應誤差機理的描述不夠完善,且很難適用于實際復雜的工作溫度條件.本文系統地推導了沿徑向、軸向與圓周方向溫度場引起四極繞法光纖陀螺零偏漂移的表達式,并分析了熱源空間分布對于溫度效應誤差的影響,為導航儀表及系統的熱設計與結構優化提供了理論基礎與工程指導.

2 Shupe效應誤差理論分析

2.1 光纖環零偏誤差模型

溫度變化會引起光纖環中沿正反方向傳播的兩束光產生附加相移而造成零偏漂移誤差?E,其表達式[15]為

式中,L為光纖長度;T表示溫度;˙T為溫度的時間導數,即溫變速率;n為光纖折射率;?n/?T為折射率溫度系數;D為光纖環平均直徑.令

對等式右邊第二項做變量替換,令x=L?z,變換后將x再替換回z,有

(3)式適用于不同繞制類型的光纖環,以下就四極繞法這一典型繞制形式展開針對性推導.

圖1 四極繞法側視剖面圖Fig.1.Cross section of the quadrupole winding design.

四極繞法側視剖面示意圖見圖1.設光纖環沿軸向a的層數為M,所包含的四極單元(圖中細實線框內的部分稱為一個四極單元)總數為N,故沿徑向r的光纖環總數為4N.將(1)式中積分限的下限z=0定義為光纖進入端,它同時也是環中沿某方向傳播光線的起點,這里不妨設為從徑向最外環光纖開始;相鄰倒數第二環的終點則作為上限z=L,記為輸出端.相應靠近光纖進出端的第一層稱為頂層,第M層則為底層.×狀圓圈表示z＜L/2部分的光纖,而點狀圓圈表示z＞L/2部分的光纖,由于兩部分光纖緊密排列,使得溫度效應能夠相互抵消[18].由光纖進入端自外徑向內徑方向第k個四極單元所包含的光纖集合記為Lk(細實線方框內),再將Lk分為兩部分Lk,1與Lk,2.Lk,1為Lk中z＜L/2部分光纖相比z＞L/2部分光纖更靠近外徑的光纖集合(粗實線方框內);Lk,2則正好相反(虛線方框內).最后將Lk,1與Lk,2中z＜L/2的光纖與z＞L/2的光纖再分別用上標“+”、“?”加以區分. 另一上標“j”則表示針對第j層的相應部分.

根據上述記法約定,ωE(t)可表示為

于是將(4)式改寫為

2.2 徑向與軸向溫度場情況

當溫變速率˙T只是光纖環徑向距離r和軸向距離a的函數時,由于是線積分,在(5)式中做變量代換,得

將(7)式代入(6)式,提出與積分無關的溫度變量,有

如果不考慮由于半徑變化所引起的各四極單元光纖環長度變化,可以證明:

對j=1,2,···,M成立,同時S1＞S2＞···＞SM＞0.

綜合(8)和(9)式得到

可以看到,當光纖環只受到徑向與軸向的瞬態溫變作用時,溫度引起的四極繞法零偏誤差是光纖環各層外內壁溫度時間導數之差的加權和,并且越靠近光纖進出的頂層,其所占份額越大,且這種增大呈線性.頂層加權系數S1近似為底層SM的2M倍.(10)式的符號由起始點位置確定,若以最外環相鄰的倒數第二環起始點作為光纖進入端,則需要反號,零偏誤差將為各層內外壁溫變速率之差的加權和.

當溫度變化率只與徑向r有關時,對任意j,有(10)式可化簡為

式中,λ=(L/4N)2.此時,Shupe效應誤差只與光纖環外內壁的溫度時間導數差值成正比.

2.3 圓周方向溫度場情況

進一步分析當圓周方向存在溫度變化時,Shupe效應誤差對零偏漂移的影響.四極繞線方式的俯視示意圖見圖2.其中,圖2(a)表示N個四極單元所組成的光纖環.定義光纖環中沿順時針方向傳播的光線起點為光纖進入端(最外環光纖起始端),圖中箭頭表示光的傳播方向.與側視圖1相同,×狀圓圈表示z＜L/2部分的光纖,而點狀圓圈表示z＞L/2部分光纖.P表示光纖長度的中點,即z=L/2的位置.光纖進出端與長度中點的連線稱為對稱中心線S(點劃線表示).S與靠近進出端的交線記為SR,稱作近端交線;另一側交線記為SF,稱作遠端交線.圖2(b)將N個四極單元簡化為一個,用于說明四極繞制方式.它其實是將中點P固定于骨架上,z＜L/2部分的光纖(粗實線表示)繞骨架逆時針纏繞,而z＞L/2部分的光纖(虛線表示)則順時針纏繞.這里的箭頭表示繞制的方向.四極繞線方式將造成光線傳播距離z(z＜L/2)與L?z(相距光纖輸出端距離為z)關于中心線S兩側對稱.

此時如果溫度變化在圓周方向(φ方向)也存在空間不均勻性,適用于徑向與軸向的(10)式在此情況下不能成立.原因是由于對稱線兩側等距離位置z與L?z在多數情況下相距較遠,無法形成徑向方向上的緊密相鄰,故(6)和(7)式不成立.這里利用(5)式,以

圖2 四極繞法俯視圖 (a)四極單元示意圖;(b)繞線方式示意圖Fig.2.Top view of the quadrupole winding:(a)Schematics of quadrupole sets;(b)schematics of the coiling pattern.

由圖2(a)可見,除靠近交線SR與SF的少部分區域,存在如下近似:

將(14)式代入(13)式,得到

圖3 對稱中心線兩側溫變分布對于零偏誤差的影響Fig.3.In fl uence of the thermal distribution in both sides of the symmetric centerline on the bias error.

上述公式的物理意義如圖3所示,誤差輸出是每一組四極單元中位于線S兩側對稱位置z(z＜L/2)與L?z處溫變速率空間差值的加權和,圖中箭頭表示兩位置溫變速率作差.加權系數為0,i=1,2. 對任意i,j,加權系數為z的線性減函數,其上界為一匝線圈的長度,下界為零.可以看到,圖中總是右半平面“+”部分光纖(z＜L/2)的溫變速率減去左半平面對稱位置“?”部分(z＞L/2)的溫變速率,因而當不存在徑向與軸向溫度梯度時,圓周方向的溫度不均勻仍然會產生Shupe效應誤差.但如果此時不均勻關于中心線對稱,則可以消除由于周向溫度梯度引起的漂移誤差.當徑向、軸向和圓周方向的空間溫度梯度耦合在一起時,由于光纖環圓周方向相比于軸向和徑向跨越了更大的空間尺度,因而更易引起較大的溫度不均勻,且這部分誤差并不能夠像徑向誤差一樣被四極繞法所抵消,故可能成為零偏漂移的主要因素.因而利用結構設計和材料選取保證溫度分布關于線S的對稱性,將有助于減小Shupe效應誤差的產生.

3 數值仿真與分析

鑒于空間溫度場的解析求解相對困難,這里采用有限元方法計算光纖環瞬態溫度場,進而獲得溫變速率,并結合Shupe效應誤差方程以模擬零偏漂移的變化情況.以某型光纖陀螺為參考,采用135型光纖,設置光纖環幾何結構為內徑97 mm,外徑112 mm,高度12 mm,軸向層數M=89,徑向環數4N=56.光纖環材料參數列于表1[11,15].

表1 光纖環材料參數Table 1.Material parameters of the fi ber coil.

3.1 熱量沿徑向與軸向傳導時的仿真結果

在仿真沿光纖環徑向與軸向傳遞的熱量所引起的陀螺零偏誤差時,為比較軸向溫變梯度對于漂移的影響,分別設置光纖環內壁表面上半部分(其臨近光纖進出端的頂層)與下半部分(臨近底層)存在功率為1.5 W的均勻熱源(圖4(a),(c)中的深色所示),其余表面設置為絕熱,光纖環初始溫度為20°C.兩種條件下,計算得到的溫度場分布(t=100 s時)如圖4(b),(d)所示;零偏誤差隨時間的變化對比如圖5所示.

圖4 熱量沿徑向與軸向傳導時溫度場仿真結果 (a),(b)熱源位于內壁上半部時光纖環示意圖及相應t=100 s時的溫度分布圖;(c),(d)與(a),(b)類似,但熱源位于內壁下半部Fig.4.Simulation results of the thermal fi eld when the heat propagates along radial and axial directions:(a),(b)Representation of the fi ber coil when the heat source is located at the upper half of the inner side and the corresponding temperature distribution at t=100 s;(c),(d)same as(a),(b)with heat source located at lower half.

圖5 熱源分別位于光纖環內壁上下表面時零偏誤差對比Fig.5.Comparison of bias errors with heat sources located at upper and lower surfaces of the ring’s inner side respectively.

圖5中藍色實線為熱源位于內壁表面上半部時,陀螺漂移輸出;紅色虛線則為熱源位于內壁表面下半部時相應結果.可以看到,當熱源更靠近光纖進出端的頂層時,所引起的零偏漂移大于熱源靠近底層的情形.因而應在設計及使用中避免光纖陀螺進出纖的頂面接近熱源.

3.2 熱量沿圓周方向傳導時的仿真結果

為討論圓周方向存在不均勻溫度場的情況,光纖環初始溫度同樣設置為20°C,內外壁與上下表面采用絕熱邊界條件,再分兩種情況設置沿順時針方向與對稱中心線S成φ角的光纖環橫截面A1A2與B1B2的溫度邊界條件,參見圖6.

1)設置單截面A1A2為50°C恒溫邊界條件,稱作“單邊條件”;

2)設置雙截面A1A2與B1B2為50°C恒溫邊界條件,稱作“雙邊條件”.

圖6 圓周方向不均勻溫度場下光纖環幾何示意Fig.6.Geometry of the fi ber coil in the circumferentially nonuniform thermal fi eld.

如此設置是考慮到光纖環內外直徑相差較小,通過改變橫截面與線S的夾角φ,并取環中心溫度代表周向溫度,就可以近似模擬不同周向溫度場在光纖環上的分布,仿真結果如圖7和圖8所示.

圖7 (a),(b),(c)圖示左邊為單邊條件下,t=100 s,500 s,1000 s時零偏誤差隨夾角φ的變化情況;右邊為對應時刻φ=90?時光纖環溫度分布Fig.7.Left parts of(a),(b),(c)are bias errors as a function of angle φ at t=100 s,500 s,1000 s under single-sided condition;right parts are temperature distributions of the fi ber coil at corresponding time when φ =90?.

圖7中左邊三幅圖展示了“單邊條件”下,對應t=100 s,500 s,1000 s時,陀螺零偏誤差隨夾角φ的變化規律,其中紅色虛線與藍色實線分別為利用原始(1)式與近似(16)式的計算結果,兩者幾乎重合,說明了推導公式的合理與正確性;右邊三幅則為相應時刻,當φ=90°時,光纖環的溫度分布.從左邊三幅圖中可以看到周向溫變梯度引起了較大的漂移輸出,并且誤差曲線存在兩個零點,分別對應φ=0°與φ=180°,這恰好為周向溫度不均勻(橫截面A1A2的位置)構成了關于線S的對稱條件.

圖8 (a),(b),(c)圖示左邊為雙邊條件下,t=100 s,500 s,1000 s時零偏誤差隨夾角φ的變化情況;右邊為對應時刻φ=90?時光纖環溫度分布Fig.8.Left parts of(a),(b),(c)are bias errors as a function of angle φ at t=100 s,500 s,1000 s under dual-sided condition;right parts are temperature distributions of the fi ber coil at corresponding time when φ =90?.

當φ＜180°時,誤差輸出為正,這是由于正向溫度不均勻位于S右半平面,因而0,結合非負的加權系數使得積分(16)式為正.當φ ＞180°時,相應因而輸出為負.還可以觀察到:當φ＜180°時,誤差輸出經歷了快速增大,再緩慢下降的過程;φ＞180°時,情況則正好相反.同時隨著時間延長,光纖環溫度逐漸升高,溫變的不均勻區域相應擴大,極值點出現的位置偏離光纖進出端的角度增大,但兩個極值點都大約出現在溫度不均勻全部離開近端交線SR的位置.上述現象是因為隨著橫截面A1A2順時針旋轉,從φ=0°的位置偏離光纖進出端,將破壞左右平面的對稱性,使得快速增大,當不均勻基本移出SR時,誤差輸出將達到最大值,此后加權項開始起到主導作用,隨著角度φ的繼續增大,加權項的線性減小將造成輸出誤差的線性減小.當φ＞180°時則經歷了相反的過程.因此,在光纖陀螺的熱設計中應盡量保證周向溫度不均勻關于中心線對稱,同時還應讓不均勻的位置盡量遠離光纖進出端而分布在靠近遠端交線SF的位置.這樣不但能夠減小誤差輸出,還有助于降低漂移隨角度φ變化的敏感性.

圖8為“雙邊條件”下的仿真結果.類比于單邊情況,圓周方向瞬態溫度分布在φ=0°,φ=90°,φ=180°和φ=270°存在四個位置關于線S對稱,故在相應夾角處陀螺漂移輸出存在四個零點.當φ偏離0°與180°時,零偏漂移的絕對值將迅速增大,這是由于在這兩個位置,都存在一個溫度不均勻(截面A1A2或B1B2)位于光纖進出端附近.而在φ=90°和φ=270°時,主要的不均勻位置都等距分布在距離進出端±90°處,而相距其較遠.

進一步考慮徑向與周向溫度梯度耦合的情形,這也更接近于實際的工作環境.為減小計算量,不考慮軸向溫變的影響.在光纖環內壁對應環心O的圓心角為30°范圍內放置熱源,相應功率設為0.5 W.光纖環初始溫度為20°C,其余表面為絕熱邊界.陀螺零偏誤差隨夾角φ的變化及t=100 s時,對應溫度分布如圖9所示.可以看到,即使存在徑向與周向耦合,由于圓周方向的溫度不均勻相比徑向跨越了更大的空間尺度而起到主導作用,故誤差輸出結果與上述單邊條件相類似.

圖9 徑向與周向溫度梯度耦合條件下,零偏誤差隨夾角φ的變化(左)及t=100 s,φ=45?時相應溫度分布(右)Fig.9.Bias error versus angle φ with the coupling of thermal gradients in radial and circumferential directions(left)and temperature distribution at t=100 s,when φ =45? (right).

4 結 論

通過本文的理論分析與仿真驗證,得到多維溫度場對光纖環Shupe效應影響的主要結論如下.

1)當只存在沿徑向與軸向的環境溫變作用時,零偏誤差正比于光纖環各層外內壁溫度時間導數之差的加權和,并且所占份額將隨著其接近光纖進出的頂層而線性增大.仿真結果表明熱源位于光纖環內壁上表面時所引起零偏誤差最大值是熱源位于下表面的3倍.因此應盡量避免熱源靠近進出光纖的陀螺頂面區域.

2)當圓周方向的溫變空間分布關于光纖進出端與長度中點連線對稱時,可以消除其所引起的漂移誤差.同時應盡量使溫度不均勻的位置遠離光纖進出端而分布在遠端交線附近,這將有助于減小漂移的產生并降低隨角度變化的敏感性.

對于實際光纖慣導系統結構設計而言,可以首先通過整機的熱仿真預先確定光纖環上溫度梯度的產生位置,之后利用其結構上的旋轉對稱性,調整安裝指向或直接改變光纖進出端的位置,使得進出端遠離溫度不均勻區域,并結合溫度場優化設計使其盡量關于中心線成對稱分布.當需要對光纖陀螺的溫度漂移進行建模補償時,為了更好地獲得輸出信號與溫度的相關性,測溫點的布置可以重點關注進出光纖的頂層與靠近光纖進出端的附近區域.

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