抗磁懸浮振動能量采集器動力學響應的仿真分析?

秦立振 張振宇 張坤 丁建橋 段智勇 蘇宇鋒

1)(鄭州大學機械工程學院,鄭州 450001)

2)(鄭州大學物理工程學院,鄭州 450001)

1 引 言

近年來,植入式醫療設備、無線傳感器網絡等得到了廣泛的應用,但是這些設備的電能供應仍然依賴于傳統電池[1].傳統電池具有使用方便、成本低廉的優點,但同時也具有持久性差、儲能有限的缺點.在一些無法更換電池或更換電池的成本比較高的場所,傳統電池顯現了其固有的局限性.因此,開發一種在用電設備有效壽命結束之前無需維護的永久電池成為各國研究者關注的課題之一.自然環境中存在著各種各樣的能量,利用環境中的能量為電子元器件供電是取代傳統電池的有效途徑[2].

能量采集技術的主要原理是利用光伏效應、壓電效應、熱電效應、電磁感應等,將周圍環境中的能量轉化為電能,然后利用儲能元件進行電能存儲,最后通過相應的電源管理電路,將存儲的電能提供給外部負載,進而為用電設備供電.能量采集不僅涉及能量轉化利用的問題,同時也涉及優質能量來源的問題.相對于光、風、熱等,振動能量具有分布范圍廣、能量密度高、易于采集的特點,因此振動能量采集是目前研究較多的一種能量采集方案[3].

振動能量的采集存在不同的途徑,基于不同的原理、方法和材料.1939年,Braunbek和Schweben[4]首次利用非均勻電磁場實現了微小片狀石墨的穩定懸浮,此后,抗磁懸浮得到了越來越多的關注和研究.意大利都靈理工大學的de Pasquale等[5]利用釹鐵硼(NdFeB)強磁鐵和高定向熱解石墨(HOPG)抗磁材料,在常溫下獲得了1—2 mm的懸浮高度.抗磁懸浮由于能夠在常溫下實現無摩擦穩定懸浮,所以得到了越來越多的應用.目前,抗磁懸浮原理已被應用到生物醫學[6,7]、傳感器[8]、微執行器[9]、微型電機[10]等領域.基于這一原理,我們課題組開展了微型抗磁懸浮振動能量采集器的研究[11,12],本文研究了該能量采集器的振動響應特性.

2 結構模型和工作原理

抗磁懸浮振動能量采集器的主要部件包括:提升永磁體、懸浮永磁體、上熱解石墨板、下熱解石墨板以及布置在上下熱解石墨板內表面的平面螺旋線圈,其結構如圖1所示.

圖1 抗磁懸浮振動能量采集器的結構模型Fig.1.The structure model of diamagnetic levitation vibration energy harvester.

由于提升永磁體和懸浮永磁體都是圓柱形且磁化方向都沿軸向,所以提升永磁體的磁場會在水平方向上形成一個磁勢阱.根據能量最小原理,懸浮永磁體在水平方向上能夠穩定懸浮且平衡點位于兩永磁體的公共軸線上.高定向熱解石墨是常溫下抗磁性最強的材料,表現為對外界磁場的排斥作用.在豎直方向上,懸浮永磁體同時受到重力、提升磁體吸引力的豎直分量、熱解石墨板的抗磁力.在滿足特定的尺寸參數條件下,豎直方向上也能夠穩定懸浮,所以懸浮永磁體處于一個三維勢阱之中能夠穩定懸浮.當系統受到外界干擾時,懸浮磁體可以在平衡位置附近振動,從而將外界振動轉化為懸浮磁體的振動.根據法拉第電磁感應定律,懸浮磁體振動的機械能轉化為線圈內部的電能[11].

3 結構參數和受力分析

抗磁懸浮振動能量采集器的結構參數和材料參數直接決定了懸浮磁體的受力狀態,進而影響能量采集器的振動響應特性和能量轉化效率,其結構材料參數如表1所列.

當懸浮永磁體發生振動時,其不但會受到重力、抗磁力、提升永磁體的吸引力,還會受到空氣和感應線圈的阻尼力.文獻[13—16]給出了永磁體之間以及永磁體和熱解石墨板之間受力的理論關系式,但這些關系式并不是顯式且過于復雜,不便于進行動力學響應分析,因此采用COMSOLTM仿真并結合數值擬合的方法獲得磁力和抗磁力的近似表達式.本研究中懸浮永磁體受力的仿真計算模型如圖2(a)和圖2(b)所示.

表1 抗磁懸浮能量采集器結構參數Table 1.The structure parameters of diamagnetic levitation energy harvester.

圖2 磁力和抗磁力計算模型Fig.2.The calculational model of magnetic force and diamagnetic force.

永磁體和熱解石墨板周圍的空氣域分為兩層,外層設為無限域模擬磁體的彌散場,且網格劃分較粗,內層是有限域且網格劃分較細,以節省仿真時間并兼顧仿真精度,磁體的和熱解石墨板的網格最細以提高仿真精度,單元類型采用自由剖分四面體網格,最大生長率為1.6,曲率因子為0.6,狹窄區域解析度為0.5.當網格的精度不斷增加時,仿真結果越趨近于定值且變化越來越慢.為了兼顧時間和精度,分析中網格最大單元尺寸選定如下:無限空氣域5 mm,有限空氣域2 mm,磁體和熱解石墨板0.8 mm.圖2(a)和圖2(b)中模型單元數分別為661370和920624.

對仿真結果進行數據擬合求得磁力F1的解析式為

式中,H為提升永磁體和懸浮永磁體之間的距離,單位為mm;F1單位為μN.

抗磁力F2的解析式為

式中,h為懸浮永磁體和熱解石墨板之間的距離,單位為mm;F2單位為μN.

感應線圈工作時懸浮永磁體受到的電磁阻力Fεγ

式中,Bri為第i匝線圈所在位置磁感應強度在徑向上的分量,Bz為磁感應強度在軸向上的分量,ri為第i匝線圈的半徑.

對(3)式利用響應面法求得懸浮磁體周圍磁場在軸向和徑向上的分布,最終求得其電磁阻尼力的表達式為

懸浮磁體的運動屬于低幅低頻運動,因此其受到的空氣阻力可以用(5)式近似計算:

式中,S為迎風面積,k為阻力系數.

以兩熱解石墨板對稱面的中心為零點,向上設為正方向,統一坐標系后,在豎直方向上振動的動力學方程如(6)式所示:

其中,a1,a3由F1和F2決定,ω=2πf為外界激勵頻率,A為激勵振幅.

4 運動特性

懸浮磁體所受磁力、抗磁力和重力的合力隨熱解石墨板間距L的變化曲線如圖3所示.通過分析其受力曲線可以發現,其受力曲線的非線性程度隨著兩熱解石墨板間距的增大而增強.

圖3 懸浮磁體所受合力Fig.3.The resultant curves of the fl oating magnet.

圖4 懸浮永磁體勢能曲線Fig.4.The potential energy curve of the fl oating magnet.

圖4是懸浮永磁勢能隨熱解石墨板間距變化的曲線.發現當兩熱解石墨板間距L＞7.7 mm時,勢能曲線會出現兩個勢阱,而在L＜7.7 mm時,只存在一個勢阱.由能量最小原理可知,懸浮永磁體的穩定平衡位置就是磁勢阱的位置.

圖5是當熱解石墨板間距L分別為7 mm和8 mm時,懸浮磁體的靜止平衡現象.由實驗現象可知熱解石墨板間距的變化會導致懸浮永磁體穩態類型發生改變,即單穩態類型和雙穩態類型,分別如圖5(a)和圖5(b)所示.

圖5 懸浮磁體的單穩態(a)和雙穩態(b)現象Fig.5. The monostable(a)and bistable(b)phenomenon of the fl oating magnet.

4.1 單穩態類型時的動力學響應

文獻[17]給出了當能量采集器處于非工作的單穩態狀態時懸浮磁體振動的幅頻關系方程:

當能量采集器處于單穩態類型時,懸浮磁體只有一個平衡位置.當受到外界激勵時,懸浮磁體在平衡位置附近往復運動.選擇熱解石墨板間距L=7,7.4 mm研究單穩態類型時懸浮磁體的振動特性.圖6是外界激勵幅值為1 mm、感應線圈處于開路狀態(非工作狀態)時懸浮磁體的幅頻響應曲線.可以發現懸浮磁體的幅頻響應曲線向右偏斜,呈現“硬彈簧”特質,并且隨著熱解石墨板間距的增加,曲線向右偏斜程度增強.當熱解石墨板間距L為7 mm和7.4 mm時,懸浮磁體振動的基頻分別為2.37 Hz和1.5 Hz.增大熱解石墨板間距,懸浮磁體的振動響應頻帶變寬并出現多解和跳躍現象.

圖6 振幅隨激勵頻率變化的曲線Fig.6.The curve of amplitude changes with excited frequency.

圖7是熱解石墨板間距分別為7 mm和7.4 mm,感應線圈工作時,懸浮磁體的相對位移隨外界激振幅值和頻率的變化關系.當外界激勵相同,增大熱解石墨板間距能獲得更大的相對運動位移.

圖7 單穩態類型時位移峰值隨外界激勵的變化Fig.7.Displacement peaks change with the external excitation in monostable type.

4.2 雙穩態類型時的動力學響應

當采集器處于雙穩態類型時,此時的動力學方程的解Z(t)可以看作一勢子在勢場U(z)中的運動,當沒有外界激勵時,U(z)=a1z2/2+a3z4/4,是一種雙穩勢場結構,由dU(z)/dz=0很容易得出系統平衡點Zm1,Zm2,Zb位置,分別如(8)和(9)式所示:

當受到外界周期激勵時,系統的勢函數受到周期調制,由U(z)變為V(z),如(10)式所示:

由(10)式可以看出,勢函數的勢阱被周期性地抬高或加深.此時,系統存在一臨界幅值Ac,使得方程保持雙穩結構.當外界周期激勵的幅值A＜Ac時,勢阱周期性的抬高或加深不足以使勢壘消失,勢子無法越過勢壘進入另一勢阱,只能在單阱中做小幅振蕩;當外界周期激勵幅值A＞Ac時,由于勢壘可能隨著時間的變化而消失,勢子能夠越過勢壘在兩勢阱間進行大位移周期性跳躍.臨界幅值Ac表示系統勢函數V(z)在Acos(2πft)為最大值或最小值時恰好從雙穩態結構變成單穩結構.

圖8 雙穩態類型時懸浮永磁體共振分岔圖Fig.8.The resonant bifurcation diagram of fl oating magnets in bistable type.

兩熱解石墨板的間距不僅影響采集器的穩態類型同時也影響懸浮磁體的平衡位置.當L=7.8 mm時,懸浮永磁體在x=±0.51 mm處穩定懸浮.動力學方程的初始條件可以任選其一,此處選擇x=0.51 mm.感應線圈開路時,懸浮磁體振動幅值隨外界激勵的分岔圖,如圖8所示.由圖8可以看出,感應線圈開路時,當外界激勵頻率為1 Hz,激勵振幅從0.2—4 mm的變化過程中,系統出現了2倍周期—4倍周期—混沌—雙倍周期-單倍周期變化的現象.

表2是不同外界激振參數下,當熱解石墨板間距L=7.8 mm時懸浮磁體的振動相圖及其對應的Poincare映射圖.當非線性系統和線性系統進行耦合時,兩系統之間的強弱關系會直接影響到系統的振動響應特性:當其中一個系統弱到整個系統可以看做兩個獨立的系統,或者其中一個系統強到占統治地位時,整個系統都將處于周期運動狀態;只有當兩系統的強弱不相上下時,兩系統相互影響強烈,運動才變得十分復雜,從而才可能形成混沌[18].

圖9是兩熱解石墨板間距為7.8 mm、感應線圈處于工作狀態、外界激勵頻率為1 Hz、激勵振幅從0.5 mm增大到8.5 mm的過程中(每次增加1 mm),懸浮磁體穩態振動的運動相圖.從圖9可以看出隨著激振幅值A的增加,倍周期現象和混沌現象消失,懸浮磁體進行周期振動.

圖9 外界激勵頻率為1 Hz時雙穩態類型的運動相圖Fig.9.The vibration phase diagram when the excitation is 1 Hz in bistable type.

圖10是外界激勵頻率在0—3.2 Hz,激勵振幅在0—10 mm之間變化、系統處于雙穩態類型時,懸浮磁體穩態振動的峰值.當激勵振幅較小時,懸浮磁體僅能在鞍點一側振動;當激勵振幅足夠大時,懸浮磁體跨過鞍點做阱間周期振動.

表2 雙穩態類型時懸浮磁體的運動相圖和對應的Poincare映射圖Table 2.The vibration phase diagram and the Poincare mapping diagram of the fl oating magnetic in bistable type.

圖10 雙穩態類型時位移隨外界激勵的變化Fig.10.The displacement changes with the external excitation in bistable type.

5 總 結

抗磁懸浮振動能量采集器中懸浮永磁體的運動特性直接決定著其輸出特性,懸浮磁體受力的非線性使得能量采集器的動力學響應和能量輸出特性較為復雜.本文利用COMSOLTM建立仿真模型,仿真獲得懸浮磁體所受的磁力和抗磁力,并進行數據擬合得到磁力和抗磁力的解析表達式.然后,建立了懸浮永磁體的動態響應方程以研究其動態響應特性.在感應線圈開路(非工作狀態)時,單穩態類型的幅頻響應曲線呈現向右偏斜的現象,并隨著熱解石墨板間距和非線性擾動的增大而增強.同時發現在相同激勵下,石墨板間距越小,采集器的響應幅值越大.當感應線圈開路且采集器處于雙穩態類型時,通過分析懸浮磁體的振動相圖及其對應的Poincare映射圖發現采集器出現了倍周期、4倍周期和混沌等非線性系統特有的現象.當感應線圈處于工作狀態且采集器處于雙穩態類型時由于受到電磁阻尼力的影響,倍周期和混沌現象消失,懸浮磁體的振動頻率和外界激勵頻率保持一致.該研究是對微型抗磁懸浮振動能量采集器動態特性的深入探索,對該能量采集器的結構設計具有重要的指導意義,加快了該能量采集器的實用化進程.基于本文的研究,可以對能量采集器進行優化,以提高其響應特性和輸出性能.此外,本文也是對能量采集器中非線性振動特性研究的補充和豐富,對理解和利用非線性振動具有重要的意義.下一步的工作是研究分析該能量采集器的輸出特性,開展動態研究實驗,并對實驗結果進行對比分析,推動該能量采集器向實用化邁進.

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