非一致通信時滯動力學網絡上的接連滯后同步?

張迪 張銀星 邱小芬 祝光湖 李科贊

(桂林電子科技大學數學與計算科學學院,廣西密碼學與信息安全重點實驗室,桂林 541004)

1 引 言

自20世紀80年代,隨著以互聯網為代表的信息工程技術的迅猛發展,人類已經進入了一個網絡時代.我們的身邊圍繞著各種各樣的網絡,例如神經網絡、社交網絡、交通網絡、生物網絡等.人類社會的日益網絡化就要求我們要對這些復雜的網絡有更深入的認識.近年來,復雜網絡研究取得了一系列重要的研究成果[1,2].

在復雜網絡領域,同步現象一直是學者們關注的重點問題.在現實生活中,同步現象普遍存在,例如觀眾的掌聲響亮如雷鳴,過往的行人太多會導致大橋坍塌,各種網絡同步的例子數不勝數.當然,有些同步是有利的,有些則是有害的.正因為同步現象的普遍存在,并且具有很大的應用價值,所以近幾十年以來,同步被廣泛且深入地研究并取得了大量有價值的研究成果[3?7],這些同步包括完全同步[8,9]、部分同步[10]、相位同步[11]、滯后同步[12]、投影同步[13]、廣義同步[14]、混沌同步[15]等.

時滯是現實動力系統中普遍存在的一種現象.時滯通常是由于通信距離、信道噪聲等因素引起的.近年來,具有時滯的同步現象已經引起了國內外眾多學者的廣泛關注,并應用在物理學、醫學、生物學等多個領域.研究表明,滯后同步的現象不僅會發生在一個網絡系統中,而且完全有可能發生在兩個網絡系統之間.例如文獻[16]研究了單個復雜網絡里的滯后同步,文獻[17—19]研究了兩個耦合動力學網絡上的廣義滯后同步.在這些研究中,主要考慮如何在兩個耦合的網絡(其中一個為驅動網絡,另一個為響應網絡)系統之間實現滯后同步.

接連滯后同步是Li等[20]提出的一種復雜動力系統上的新型滯后同步模式,接連滯后同步指的是依據網絡節點編號,第i+1個節點與第i個節點接連實現滯后同步,即當t→+∞時,xi(t?τ)→xi+1(t),其中xi表示第i個節點的狀態變量,τ為同步時滯.在現實生活中的網絡節點之間通常是存在通信時滯的,因此考慮含通信的時滯網絡上的同步問題更具現實意義.在文獻[20]中沒有考慮節點之間的通信時滯,在文獻[21]中只考慮帶有一致通信時滯的復雜動力學網絡上的接連滯后同步.由于網絡的復雜性節點與節點往往具有差異性,它們之間的通信時滯也往往會隨著節點的不同而不一樣.例如,在國慶閱兵時,由一架架飛機組成的飛機網絡,為了避免碰撞和保持隊形(可視為接連滯后同步),飛機的駕駛員之間要時刻保持聯絡,但是由于通信距離和駕駛員個體差異等方面的影響,飛機與飛機之間的通信一定會存在時滯現象,而且不同駕駛員之間的通信時滯肯定會有所不同.因此,研究含有不同通信時滯(即非一致通信時滯)的動力學網絡上的同步問題將更加具有現實意義.

多智能體系統的一致性是網絡同步的一種情形,類似文獻[20],本文的工作也可用于多智能體系統一致性的研究.近年來,多智能體系統的一致性受到了廣泛關注和深入研究,如文獻[22]考慮具有非線性動力學和有向拓撲的多智能體系統的一個二階一致性問題,其中每個節點都受位置和速度一致性項的影響,且具有時變漸近速度;文獻[23]研究了在多拉格朗日系統中沒有通信的條件下參數不確定性下的不使用鄰居速度信息有向圖的分布式協調問題;文獻[24]提出多智能體系統的滯后一致性概念,研究了有向網絡環境下一階領導-跟隨多智能體系統的滯后一致性問題.

正是考慮到現實生活中處處存在時滯,并且不同節點之間的通信時滯往往是不同的,所以本文構建了含有非一致通信時滯的動力學網絡模型,并重點分析了該網絡的接連滯后同步的穩定性,得到了同步穩定的充分條件,使得本文的研究更加符合現實的要求;其次,分別設計了線性反饋控制和自適應反饋控制,利用Lyapunov函數方法分析了該網絡模型的接連滯后同步的穩定性,獲得了同步穩定的充分條件;最后,通過數值模擬驗證了理論結果的正確性.

2 預備知識

為了后續理論分析的需要,首先介紹本文將要用到的一些預備知識.

假設網絡有n個節點,節點與節點之間存在通信時滯,且不同的節點對應的時滯不一樣(即非一致通信時滯),則受控下的復雜動力學網絡可描述如下:

其中i=1,2,...,n,xi(t)=(xi1,xi2,···,xim)T∈Rm表示節點i的狀態變量;τij＞0是節點i與j之間的通信時滯(也稱傳輸時滯);常數c＞0是耦合強度;ui(t)代表第i個節點的反饋控制.假設耦合矩陣是不可約矩陣,

ki是第i個節點的度,當第i個節點與第j個節點有連接時aij=aji=1,當第i個節點與第j個節點沒有連接時aij=aji=0,(i?=j,i,j=1,2,...n).記Γ=(τij)n×n為系統(1)的通信時滯矩陣.

假設1Γ為對稱的,τij=τji且τij=τi+1,j+1(i,j=1,2,···,n?1).

記C([?(n?2)τ?max{τij},0],R)為全體從[?(n?2)τ?max{τij},0]到R上連續函數構成的集合.

定義1[20]如果對于任意的初始條件xi(t)=φi(t)∈C([?(n?2)τ?max{τij},0],R)和所有的i∈{1,2,···n?1},都有

則動力學網絡(1)實現了接連滯后同步(successive lag synchronization,SLS),即接連滯后同步是全局穩定的,其中同步時滯τ＞0.

定 義2[25]QUAD(?,P,ω) 函 數 類:設是 對 角 矩 陣,P=是 正 定 對 角 矩 陣, 函 數若存在ω＞0,以及所有有

引理1[26]設矩陣M= (mij)p×q,則有不等式

引理2(Barbalat引理)[27]若g(t):R→R+在[0,+∞)為一致連續函數,且極限

引理3[20]若g(t):在[0,+∞)為一致連續函數,且積分

在[0,+∞)上有界,則

引理4[28]對有合適維數的矩陣A,B,C它們之間的Kronecker積?滿足

其中?是任意常數.

3 SLS的控制策略及穩定性分析

本節將分別設計線性反饋控制和自適應反饋控制兩種方法來達到接連滯后同步,利用Lyapunov函數法和Barbalat引理分析接連滯后同步的穩定性.

3.1 線性反饋控制

為了消除后面誤差系統中的抑制項實現接連滯后同步,設計以下的預備函數:

其中d＞0為控制強度,

且

進一步,設計線性反饋控制如下:

于是得到

定義同步誤差ei(t)=xi(t?τ)?xi+1(t),i=1,2,...,n?1.從而系統(1)的誤差系統可描述為

由假設1知τij=τi+1,j+1,結合(8)從而有誤差系統

其中

且

定理1設為對角矩陣,為正定對角矩陣,若且存在d＞0,使得

證明定義Lyapunov函數如下:

其中

其中Q=cπ(P)In?1.

V(t)沿著系統(9)的解求導可得:

其中

由引理1知

結合(18)—(21)式可知

兩邊同時對t求積分得到

3.2 自適應反饋控制

由定理1知,總可以選取足夠大的控制強度d,使得不等式(10)得以滿足,從而實現網絡系統(1)的接連滯后同步.但是,控制強度越大,意味著控制成本越高.為了降低控制強度,本節將采用自適應控制法來實現接連滯后同步.

定義預備函數

其中di(t)≥0表示時變控制強度,對于k=i,有

當k=i時,有

設計自適應反饋控制如下:

定理2設為對角矩陣,為正定對角矩陣,若那么在控制(23)下的動力學網絡(1)對任何初始條件都可以實現接連滯后同步.

證明定義Lyapunov函數

由該定理的已知條件知

其中

由假設1知τij=τji,從而

選取適當的α使得1?2α＞0,并選取適當的D?使得

可得

4 數值模擬

為了驗證控制方法的有效性和正確性,將用具體的數值例子進行驗證.

4.1 線性反饋控制

不妨選取網絡(1)的局部動力學為蔡氏電路系統[20],

網絡拓撲結構及節點編號如圖1所示.不失一般性,不妨設動力學網絡節點數為n=4.

圖1 節點數為4的無權無向鏈式網絡,編碼為4,1,2,3Fig.1.Unweighted and undirected Chain-shaped network with size n=4,coding 4,1,2,3.

網絡結構的耦合矩陣是

下面用線性反饋控制實現動力學網絡的接連滯后同步.

根據控制(6)我們得到

不妨選取c=0.1,由(10)式知,要使

則需控制強度d≥10.2782,從而滿足定理1的條件,就意味著在該控制下的動力學網絡在任何初始條件下都可以實現接連滯后同步.

另外,不妨取d=14,τ=0.15,通信時滯矩陣

其中τ12=τ21=τ23=τ32=τ34=τ43=0.3,τ13=τ31=τ24=τ42=0.2,τ14=τ41=1. 不失一般性,類似文獻[23,24],在數值模擬中,選取初始條件?i(t)=0.

利用MATLAB軟件得到模擬結果(見圖2,圖3).圖2給出了在線性反饋控制(6)下動力學網絡的狀態變量xi1,xi2,xi3的軌線,圖3給出了在控制(6)下,動力學網絡(1)的同步誤差ei1,ei2,ei3的軌線.

圖2 在控制(6)下,動力學網絡(1)的狀態變量xi1,xi2,xi3的軌線,其中i=1,2,3,4,d=14.Fig.2. Trajectories of all state variables xi1,xi2,xi3of dynamical network(1)under control(6),wherei=1,2,3,4,d=14.

圖3 在控制(6)下,動力學網絡(1)的同步誤差ei1,ei2,ei3的軌線,其中i=1,2,3,4,d=14Fig.3. Trajectories of SLS errors ei1,ei2,ei3of dynamical network(1)under control(6),where i=1,2,3,4,d=14.

從這些數值模擬可以看出,在線性反饋控制下動力學網絡的接連滯后同步可以實現.

4.2 自適應反饋控制

與此同時,也可以在耦合矩陣不變以及其他條件都一樣的情況下,用自適應反饋控制來實現接連滯后同步.

模擬結果見圖4,di(t)最終都穩定了,說明實現了接連滯后同步.另外,由控制強度di(t)的軌線圖可知控制強度的最大值d?i=0.0812,說明自適應反饋控制確實可以大大降低控制強度,更加符合現實需要.

其中?t=0.1為插值步長,m為插值的總步數,tj為插值時刻.對比發現,自適應控制的能量消耗遠遠小于線性反饋控制的能量消耗.

接下來,我們用自適應反饋控制實現另一個網絡結構的接連滯后同步,其拓撲結構及節點編號如圖5所示.

圖5 節點數為5的無權無向星形網絡Fig.5. Unweighted and undirected star-shaped network with size n=5.

網絡結構的耦合矩陣是

根據自適應反饋控制(23),得到

MATLAB模擬結果如圖6和圖7所示,圖6給出了在自適應反饋控制(23)下,動力學網絡(1)的同步誤差ei1,ei2,ei3的軌線,圖7給出了其狀態變量xi1,xi2,xi3以及控制強度di(t)的軌線.

由圖6可以看出,當t→+∞時,ei→0(i=1,2,3,4,5),即在控制(23)下,系統(1)的接連滯后同步可以實現.

圖6 在控制(23)下,動力學網絡(1)的同步誤差ei1,ei2,ei3的軌線,其中i=1,2,3,4,5Fig.6.Trajectories of SLS errors ei1,ei2,ei3of dynamical network(1)under control(23),where i=1,2,3,4,5.

從這些數值模擬可以看出,在自適應反饋控制下動力學網絡的接連滯后同步可以實現.

5 結 論

Li等[20]依飛機按次序一一通過空中的相同位置這一現象,提出了接連滯后同步的概念.隨后,考慮到節點之間的通信存在滯后現象,含一致通信時滯的網絡上的接連滯后同步被Zhang等[21]進行了研究.然而由于節點的差異性,節點與節點之間的通信時滯一般來說是不一樣的,所以本文提出了帶有非一致通信時滯的動力學網絡如何實現接連滯后同步這一問題,進而研究了它的全局穩定性.

本文設計了線性反饋控制和自適應反饋控制,實現了帶有非一致通信時滯的動力學網絡上的接連滯后同步,重點分析了接連滯后同步的全局穩定性,獲得了同步穩定的充分條件,并且通過數值模擬驗證了理論的正確性.

圖7 在控制(23)下,動力學網絡(1)的狀態變量xi1,xi2,xi3以及控制強度di(t)的軌線,其中i=1,2,3,4,5Fig.7.Trajectories of all state variables xi1,xi2,xi3and di(t)of dynamical network(1)under control(23),where i=1,2,3,4,5.

值得注意的是,本文研究的模型只是局限在一個復雜網絡里,使得不同節點之間實現了接連滯后同步,如何在兩個甚至多個動力學網絡中實現接連滯后同步,本文中設計的方法是否還適用,這是值得進一步研究的問題.

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