基于神經網絡技術對標普500指數波動率的預測

李健

[摘要]波動率是對特定證券或市場指數收益分散度的統計量度，可以通過使用證券或市場指數收益率之間的標準偏差或方差來衡量。通常，波動率越高，風險越高。文章運用神經網絡模型對美國標普500指數2016年的波動率進行了預測，并得到了優于傳統模型的預測結果。

[關鍵詞]神經網絡技術；標普500指數；波動率；預測

[DOI]1013939/jcnkizgsc201807068

波動率是對特定證券或市場指數的收益分散度的統計量度，可以通過使用證券或市場指數收益率之間的標準偏差或方差來衡量。通常，波動率越高，風險越高。用來計算波動率的傳統方法包括Black-Scholes模型和GARCH族模型。這些傳統方法難以捕捉金融市場時間序列數據等數據集的不連續性，非線性和高度復雜性。隨著計算機科學的發展，人工神經網絡等機器學習技術提供了足夠的學習能力，更有可能捕捉到金融市場中復雜的非線性模型。該技術已經在金融預測研究中取得了一些成果。Baba和Kozaki（1992）開發了一個神經網絡系統用于預測日本股市的價格，并將改進BP算法與隨機優化方法相結合的混合算法用于神經網絡參數的訓練。

1建模

本文使用神經網絡技術建立了一個可以預測標普500指數波動率的模型。考慮到較長時間的交易包含了更多的信息以及實證研究的需要，本文選取的樣本范圍從2005年1月到2016年12月。為了比較不同模型的預測精度，以均方誤差（MSE）作為評價標準，即預測波動率與實際波動率之間的偏差平方的平均值。

反向傳播（BP）算法也稱為誤差反向傳播算法，是人工神經網絡中的監督學習算法。BP神經網絡算法理論上可以近似于任何函數。其基本結構由非線性變元組成，具有較強的非線性映射能力。而且，網絡層數、神經元數量、網絡學習系數可根據具體情況進行設置，靈活性大。

輸入變量的選擇是一個建模決策，可以大大影響網絡性能。本文的變量選擇思路如下：

波動率有聚集現象，可以證明波動存在自相關，所以歷史波動率可以作為輸入變量來預測t+1的波動率。Bollerslev（2011）從幾個宏觀金融變量（市場波動率本身和市場的市盈率等）中發現了波動率風險溢價的顯著影響。因此，市盈率將被用作預測t+1波動率的輸入變量。Fama和French（1988）發現，股票價格的一個緩慢的均值回歸的趨勢往往會導致回報的負相關性。Darrat和Zhong（2003）根據順序信息得到假設，發現了道瓊斯指數中的股票交易量和波動率之間存在顯著的關系。

基于上述原因，2005年至2015年標普500指數的歷史波動率（滯后項）、市盈率、30日均價、交易量和一些基本信息（包括日收益率和收盤價）被選擇作為輸入變量。從這些數據中學習訓練之后，BP神經網絡將用于預測2016年標普500指數的波動率。

我們使用MATLAB來建立這個BP神經網絡。將2736個樣本隨機分為3組：有70%的樣本用于訓練網絡。這些樣本在訓練期間提交給網絡。然后根據誤差對神經網絡進行調整以優化自身。有15%的樣本用于驗證并停止訓練。有15%的樣本用于測試，提供了訓練期間和訓練后的網絡性能的獨立測量。這種方法被稱為交叉驗證，這是一種模型驗證技術，用于評估統計分析結果和模型的過擬合程度。

對于網絡的層數，很多學者做了理論研究。Lippmann（1987）提出具有兩個隱層的神經網絡可以解決任何形式的分類問題。之后，Hetcht-Nielsen（1989）從理論上證明，任何閉區間的連續函數都可以用一個帶有隱含層的BP網絡來逼近。該理論可以作為BP神經網絡結構設計的基本原則。

實際上，增加層數的目的是找到輸入、輸出變量之間的關系，以減少誤差，提高學習的準確性；另外，層數增加使得網絡結構更加復雜，從而增加了網絡訓練時間。因此，通常的做法是通過設置隱藏的神經元的數量來調整誤差。隱藏層神經元的數量對解決問題有很大的影響。

有些書籍和文章提供了選擇神經網絡結構的“經驗法則”。例如，Blum（1992）提供的經驗法則是隱藏層的大小應該在輸入層和輸出層之間。Berry和Linoff（1997）給出的另一個經驗法則是，它不能超過輸入層的兩倍。王小川等人（2013）提出了以下公式來幫助選擇隱藏神經元的數量：

Nhid

Nhid

Nhid=log2Nin

我們測試了具有不同數目隱藏層的神經網絡，從3到10。樣本內的測試結果表明，有4個神經元的神經網絡具有最好的結果。而通過對樣本外數據即2016年標普500指數波動率的驗證可以發現，4神經元網絡在MSE和R評估標準中優于其他模型，這進一步證實了本文的實驗結果。

2預測結果分析

使用BP神經網絡進行波動率預測得到的均方誤差（MSE）為4291E-5，遠小于同期數據計算得到的隱含波動率和GARCH模型計算得到的波動率的均方誤差。將其與已實現的波動率進行比較可以發現，即使市場出現一些突然的變化或沖擊，神經網絡的波動率仍然接近實現的波動率，這表明神經網絡在t+1波動率預測方面具有優越性。

但是，這項研究還有一些局限性可以進一步改進。首先，本研究的波動率預測是基于每日數據來預測t+1的波動率。神經網絡模型在不同時期的波動率預測中是否存在優勢還有待研究。其次，需要優化神經網絡的輸入變量。在這項研究中，選擇市盈率、交易量、歷史波動率、30天平均價格，收盤價格和每日收益率作為輸入變量。事實上，還有很多其他的與市場波動有關的變量，比如投資者情緒，利率變化等，所以輸入變量的優化可以提高神經網絡的預測能力。最后，本研究的對象是2005年至2016年標普500指數的數據，因此，其他市場或其他時間的波動率還有待進一步研究。但可以預見，不同市場的情況會有很大的不同，甚至根本不同。如果標的資產流動性差或交易量過小，神經網絡模型很難獲得足夠的數據進行訓練。它的預測能力可能會被嚴重降低。

參考文獻：

[1]Baba， Nand Kozaki， MAn intelligent forecasting system of stock price using neural networks[C].IEEE：International Joint Conference，1992，1（6）：371-377

[2]Fama， EFand French， KRPermanent and temporary components of stock prices[J].Journal of political Economy，1998，96（2）：246-273

[3]王小川，史峰，郁磊，等MATLAB神經網絡43個案例分析[M].北京：北京航空航天大學出版社，2013