已知平面與高程點不同時的嚴密三維基準變換

曹 旭,沈云中

(同濟大學 測繪與地理信息學院，上海 200092)

在GNSS測量工程應用中經常需要進行三維基準轉換[1]。根據旋轉與尺度參考點的不同定義，三維坐標轉換模型：Bursa-Wolf模型、Molodensky模型及武測模型等[2]。傳統的三維坐標轉換模型只考慮了公共點的一套坐標誤差，對另一套坐標誤差不予考慮，利用線性或非線性坐標轉換模型進行解算[3-7]。同時，諸多學者也對整體最小二乘的解法進行了研究[8-10]。文獻[11]提出顧及兩套坐標誤差的Bursa模型坐標變換方法，基于公共點兩套坐標改正數加權平方和最小為準則解算轉換參數，根據公共點與轉換點間的互協方差陣，利用公共點坐標的改正數推估出轉換點坐標的改正數，顯著提高了坐標轉換精度。文獻[12]提出無縫三維基準轉換模型，同時考慮公共點的兩套坐標誤差和轉換點的坐標誤差，將計算轉換參數和變換轉換點坐標聯合處理，坐標精度得到進一步改善。文獻[13]針對常規控制網平面和高程控制網分開布設的特點，利用過渡坐標系改進了三維坐標變換模型，并不需要三維已知點，分別利用常規控制網的平面坐標和高程解算7個轉換參數。

本文基于平面和高程控制網分開布設的實際情況，同時顧及兩套坐標都存在誤差，導出相應的基準變換參數解算模型，并用算例說明了本文模型的優點。

1 三維基準變換模型

當坐標旋轉角是小角度時，三維基準變換的Bursa模型[14]：

(1)

其中，TX，TY和TZ為三個平移參數，ωX，ωY和ωZ是三個旋轉參數，k為尺度參數；[XiYiZi]T為第i點的三維坐標，上標I和II表示兩套坐標系。

當旋轉和尺度參數相對于參考點K時，稱為Molodensky模型[13]，其變換為

(2)

其中，[ΔXKiΔYKiΔZKi]T=[Xi-XKYi-YKZi-ZK]T。

文獻[13]提出將原有的坐標系先繞Z軸逆時針旋轉Li角，再繞Y軸順時針旋轉90°+Bi角，最后Z軸反向，得到過渡坐標系O-xyz，其中，Li和Bi為平面坐標與高程分開的那個坐標系的第i點的經度與緯度。變換的旋轉矩陣：

在式(2)兩邊同時左乘Ri，可得

(3)

(4)

其向量和矩陣形式為

(5)

Ai=

對于平面控制點，只選取式(4)中的前兩個方程；對于高程控制點，只選取式(4)中的第三個方程。

2 基準變換參數的解算模型

如果有n個公共點，其編號從1～n，則其誤差方程為

VII-RVI=Aξ-(LII-RLI).

(6)

2ST(VII-RVI-Aξ+LII-RLI)=min.

(7)

其中，S為聯系數向量，Q11,I為公共點的GNSS控制網坐標系下的協因數陣，Q11,II為平面與高程分開布設的公共點對應的傳統控制網坐標系下的協因數陣。分別對殘差向量VI，VII和參數向量ξ求一階導數，并令其為零，得

(8)

由式(8)前兩式得

RVI=-RQ11,IRTS，VII=Q11,IIS.

(9)

兩式相減得

VII-RVI=(RQ11,IRT+Q11,II)S.

(10)

將其代入式(6)，得

S=(RQ11,IRT+Q11,II)-1

(Aξ-LII+RLI).

(11)

將式(11)代入式(8)中第三個方程，得

AT(RQ11,IRT+Q11,II)-1Aξ=

AT(RQ11,IRT+Q11,II)-1(LII-RLI).

(12)

所以，平面與高程分開布設的顧及兩套坐標誤差的三維基準變換的轉換參數解為

AT(RQ11,IRT+Q11,II)-1(LII-RLI).

(13)

由式(13)可以解出轉換參數后，代入式(11)計算聯系數向量S后，再由式(9)計算改正數向量VI和VII。因R是正交矩陣，式(9)的左式也可表示為

VI=-Q11,IRTS.

(14)

V2,I=Q21,I(Q11,I)-1VI.

(15)

利用式(15)對第一套GNSS控制網轉換點坐標進行改正，并用得到的轉換參數轉換改正后的轉換點，得到轉換點在另一套坐標系下的坐標，即常規控制網坐標。

3 算例分析

先模擬18個點的一套GNSS坐標，給定一組轉換參數ξ=[1 000 m 2 000 m 3 000 m 6.43″ 5.12″ 4.89″ 1.000 01]，參考點K的坐標為(-1 240 000.000，4 990 000.000，3 760 000.000)，采用Molodensky模型計算出18個點的轉換后坐標，轉換前后的部分坐標如表1所示，再按克拉索夫斯基橢球參數，中央子午線104°投影得到平面坐標和大地高，利用EGM2008模型計算出高程異常后求得18個點的正常高。為了說明本文變換模型的優越性，選取1～8號點作為公共點，其中1～3號點為常規平面控制網，4～8號點為常規高程控制網。

表1 公共點與轉換點的坐標 m

續表1

對于常規控制網的平面網，其平面坐標x和y均模擬標準差為5 mm，相關系數為0.3的隨機誤差，不同點之間誤差的相關系數為0.2；高程模擬5 mm的誤差，不同點的相關系數也是0.2。對于轉換前的坐標(通常是GNSS控制網的坐標)，其X,Y,Z坐標均模擬8 mm的誤差，且各坐標分量的相關系數為0.3，不同點之間的相關系數為0.15。比較本文三維基準轉換模型與傳統模型的坐標轉換效果，設計兩種方案：

方案一：對于傳統基準轉換模型的矩陣形式

l-el=Aξ.

采用傳統方法，即基準變換模型只考慮公共點的第二套坐標誤差。此時，根據間接平差原理，可解得轉換參數為

(16)

再由此參數對轉換點進行變換；

方案二：采用本文平面與高程點不同時的嚴密三維基準變換方法。

(17)

以及轉換點的平面精度

(18)

模擬數據計算1 000次，得到兩種方案轉換點坐標變換精度如圖1和圖2所示。方案一4個平面點(912號點)的平均平面變換精度為5.0 mm，方案二為4.2 mm；方案一6個高程點(1318號點)的平均高程變換精度為5.4 mm,方案二為3.9 mm。結果表明：采用本文平面與高程點不同時的嚴密三維基準變換方法能夠改善坐標轉換精度。

圖1 方案一(虛線)與方案二(實線)的平面變換精度比較

圖2 方案一(虛線)與方案二(實線)的高程變換精度比較

4 結 論

本文的基準變換方法適用于常規控制網的高程與平面網分開布設的情況，同時考慮到兩套坐標都含有誤差，利用分離的平面坐標和高程值直接解算轉換參數，對轉換點的坐標進行改正，模擬數據的分析結果表明，本文方法能夠有效地提高轉換結果的精度，實現與GNSS三維控制網的基準變換，得到結論：

1)當常規控制網的平面控制點沒有高程值或高程控制點沒有平面坐標時，采用本文方法可以直接解算轉換參數，不需要計算獲得控制點完整的三維坐標，避免出現誤差傳遞，提高解算精度。

2)與傳統基準變換模型相比，本文方法考慮兩套坐標誤差的影響，對轉換點坐標進行改正，提高基準變換的精度。

[1] YANG Y X.Robust Estimation of Geodetic Datum Transformation[J].Journal of Geodesy.1999,73:268-274.

[2] 劉大杰. 全球定位系統(GPS)的原理與數據處理[M]. 上海：同濟大學出版社, 1996.

[3] 陳義，沈云中，劉大杰.適用于大旋轉角的三維基準轉換的一種簡便模型[J].武漢大學學報(信息科學版)，2004,29:1101-1104.

[4] 楊元喜，徐天河.不同坐標系綜合變換法[J].武漢大學學報(信息科學版)，2001,26(3):509-513.

[5] 呂志平，喬書波.大地測量學基礎[M].北京：測繪出版社，2011.

[6] 袁慶，樓立志，陳瑋嫻.加權總體最小二乘在三維基準轉換中的應用[J].測繪學報，2011,40(增1)：115-119.

[7] 曾懷恩，黃聲享.三維坐標轉換參數求解的一種直接搜索法[J].武漢大學學報(信息科學版)，2008,33(11)：1118-1121.

[8] 葛旭明, 伍吉倉. 三維基準轉換的約束加權混合整體最小二乘的迭代解法[J]. 武漢大學學報(信息科學版)，2012, 37(2):178-182.

[9] 楊仕平, 范東明, 龍玉春. 基于整體最小二乘法的任意旋轉角度三維坐標轉換[J]. 大地測量與地球動力，2013, 33(2):114-119.

[10] SHEN Y Z, LI B F, CHEN Y. An iterative solution of weighted total least-squares adjustment[J]. Journal of Geodesy. 2011, 85(4):229-238.

[11] 李微曉，沈云中，李博峰.顧及兩套坐標誤差的三維坐標轉換[J].同濟大學學報(自然科學版)，2011,39:1243-1246.

[12] 李博峰，沈云中，李微曉.無縫三維基準轉換模型[J].中國科學，2012,42(7):1047-1054.

[13] 沈云中，衛剛.利用過渡坐標系改進3維坐標變換模型[J].測繪學報，1998,27:161-165.

[14] 劉大杰.大地坐標轉換與GPS控制網平差計算及軟件系統[M].上海：同濟大學出版社，1997.

[15] SCHAFFRIN B.TLS collocation: the Total Least Squares Approach to EIV-Models with stochastic prior information[J]. Presented at the 18th International Workshop on Matrices and Statistics, Smolenice Castle, Slovakia,2009.