利用函數(shù)思想指導(dǎo)數(shù)學(xué)線性代數(shù)問題的解決

張賓然 成都市列五中學(xué)

函數(shù)思想的利用具有多方面的優(yōu)勢，其不僅能夠清晰的對數(shù)學(xué)題目中的因素、關(guān)系進(jìn)行提取，從而讓數(shù)學(xué)問題更加明朗化。同時也能通過對數(shù)學(xué)對象、特征的總結(jié)，繼而建立起廣泛聯(lián)系的函數(shù)關(guān)系。據(jù)此，將函數(shù)思想作為解題指導(dǎo)引入到線性代數(shù)的解題過程中，也便具有了極為深刻的現(xiàn)實意義。

1 線性代數(shù)問題下的函數(shù)思想概述

函數(shù)思想是數(shù)學(xué)知識理論體系中的重要內(nèi)容，指的是通過對函數(shù)概念與性質(zhì)的探究，再對問題進(jìn)行深入分析與轉(zhuǎn)化，并最終實現(xiàn)解題目標(biāo)的過程。一旦建立起相關(guān)函數(shù)關(guān)系，既可以對變量變化規(guī)律、抽象數(shù)學(xué)對象等抓取信息，同時這種更加簡便、準(zhǔn)確的解題方式也具有普遍的適用性，利用函數(shù)思想也能對許多的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行解答。將函數(shù)思想納入到線性代數(shù)的題型探析中，通常也可以收獲到較為優(yōu)異的成效。

2 利用函數(shù)思想解答線性代數(shù)問題的方法

2.1 運用函數(shù)思想解決線性代數(shù)問題的具體辦法

高中線性代數(shù)中囊括了行列式、線性方程組、矩陣、線性變化、空間小向量等知識點，關(guān)于線性代數(shù)問題中函數(shù)思想的解題應(yīng)用，大致可以歸納為以下幾個方面。

第一，關(guān)于函數(shù)思想在方程式中的解題。在此種題目中主要為通過已知量來求解未知量，并且這種描述方式是較為直接的數(shù)式形式。要解答這類問題首先要將函數(shù)式看作零的數(shù)量，然后再對該已知數(shù)量進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從而讓數(shù)式轉(zhuǎn)化為方程或方程組形式。接著在簡化方程的基礎(chǔ)上，再結(jié)合函數(shù)圖像便可以快速解答出該問題。例如，在對移項簡化之后獲得的方程式為lgx=2-1，根據(jù)該方程式建立起坐標(biāo)系并畫出圖像走勢，再將相交的點相加便可以得出答案。

第二，在列式中的解題也是通過對變量的變化規(guī)律展開研究，利用函數(shù)圖像對數(shù)的分布情況進(jìn)行描繪，從而得出列式的曲線圖。需要注意的是，由于數(shù)列均為整數(shù)點位，所以在取點的過程中也通常提取離散點，所以圖像也并非為連續(xù)性的。

第三，在不等式問題上的解答。函數(shù)思想中具有的明顯特征極為函數(shù)具有值域，而這邊與不等式的解題達(dá)到了相互契合的效果。通過畫出函數(shù)圖像，能夠輕易地畫出函數(shù)的區(qū)間，而區(qū)間所代表的范圍即為不等式的求解范圍。例如，對于不等式變量的求解在x∈[0,6]，那么在函數(shù)圖像上的表示則為x∈(-∞,-1)∪(6,+∞)。

2.2 結(jié)合實例對線性代數(shù)函數(shù)解題方法的分析

第二，利用函數(shù)的圖像性質(zhì)來解答題型。例題2，已知直線L過原點，并且拋物線C頂點在原點上，其焦點在x軸的正半軸，假設(shè)點A（-1，0）與點B（0,8）都關(guān)于L的對稱，并都在點C上，現(xiàn)求直線L及拋物線C的方程。可通過待定系數(shù)法來解決這類問題。首先，根據(jù)題干設(shè)直線L為y=kx(k≠0),并有C為y2=2px(p>0)。設(shè)A、B關(guān)于L的對稱點分別為A，B并代入到拋物線上消除點p，便可以得出k2-k-1=0，從而求得從中便可以得出直線L的方程又可以表示為，所以拋物線C的方程式則為:。

第三，求曲線的軌跡方程也可以利用函數(shù)思想進(jìn)行解答。以下圖1為例，已知直角坐標(biāo)平面上點Q（2,0）和圓C:x+y=1，動點M到圓C的切線長與|MQ|

的比等于常數(shù)e(e>0),現(xiàn)求動點M的軌跡方程 并說明它是什么曲線。

圖1

要解決這一問題，需要結(jié)合函數(shù)思想，通過對圓錐曲線中最值范圍、常用代數(shù)法、幾何法等有著熟悉的掌握。當(dāng)命題中的條件與結(jié)論具備幾何特征時，則可憑借圖形性質(zhì)來解決。假設(shè)條件同結(jié)論展現(xiàn)了函數(shù)的關(guān)系式，那么則應(yīng)當(dāng)建立目標(biāo)函數(shù)，再對利用二次函數(shù)、三角函數(shù)、均值不等式等進(jìn)行求解。從上題中不難看出，通過對點M的集合的求解，并將坐標(biāo)點代入到切圓之中，便可以得出當(dāng)e表示直線時其值的大小，并最終證明該曲線為圓形。

3 結(jié)束語

高中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對于學(xué)生的解題思路與解題能力建設(shè)都有著舉足輕重的作用，因而，只有不斷加強對函數(shù)思想的理論學(xué)習(xí)與實踐探究，并將探索得出的經(jīng)驗積極運用到線性代數(shù)的問題解答中時，才能真正讓學(xué)生實現(xiàn)“學(xué)以致用”的學(xué)習(xí)目標(biāo)，從而也為數(shù)學(xué)事業(yè)的蓬勃發(fā)展奠定更為堅實的基礎(chǔ)。

[1]趙麗麗.高等數(shù)學(xué)指導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)在函數(shù)思想上的體現(xiàn)[J].赤峰學(xué)院學(xué)報(自然科學(xué)版),2017,(10):10-12.

[2]朱宏,付軍,吳秀蘭.線性代數(shù)中的構(gòu)造法[J].高等數(shù)學(xué)研究,2015,18(03):43-45.

[3]陳建華,劉金林.促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)理解的線性代數(shù)教學(xué)研究與實踐——以為學(xué)生提供問題解決情境為抓手[J].大學(xué)教育,2014,(01):91-93.