基于神經網絡連接權值的堆石體流變模型參數敏感性研究

陳文森，常曉林，馬 剛，徐 琨，周 偉

(1. 武漢大學 水資源與水電工程科學國家重點實驗室，湖北 武漢 430072；2. 武漢大學 水工巖石力學教育部重點實驗室，湖北 武漢 430072)

堆石壩因其工期短、投資少、對地形地質條件適應性強等優點，在不斷改進的基礎上已得到廣泛的應用。目前，對堆石壩的應力變形研究主要采用有限單元法，通過建立有限元模型、選擇合理的堆石體本構模型及模型參數進行堆石壩的應力變形計算。堆石體的本構模型參數一般通過室內或現場試驗獲得。此外，隨著人工神經網絡和智能優化算法的發展，利用已建堆石壩的實測變形進行參數反演，也為參數的選取提供了新的途徑[1-9]。

堆石體除了瞬時變形外，由于堆石體自身散粒料的特性，其力學響應具有流變性，導致堆石壩變形在竣工后仍能隨時間進一步發展。國內外學者對堆石體的流變特性進行了廣泛的試驗研究，提出了一些描述堆石體時效變形的流變模型，如三參數指數流變模型[10]、基于指數衰減Merchant模型的五參數流變模型[11]、九參數冪函數流變模型[12]等。堆石體流變參數的選取，受試驗條件、縮尺效應、室內流變試驗持續時間等因素的限制，使得測定的模型參數與實際值存在一定差異[13]。

參數敏感性分析能合理地判斷流變模型參數對壩體位移等指標的影響程度，對獲得相對準確的流變模型參數具有一定的指導意義。目前，已有多種方法被用于堆石體瞬變和流變參數的敏感性分析，如牟聲遠等[14]采用單因素分析法對鄧肯E-B模型參數進行了敏感性與統計分析；李炎隆等[15]采用正交試驗法和極差分析法對鄧肯E-B模型的參數進行了敏感性分析；王瑞駿等[16]采用正交試驗法和方差分析法對七參數流變模型的參數進行了敏感性分析；康飛等[17]采用Morris法對雙曲服面模型的參數進行了敏感性分析。已有的參數敏感性分析多基于統計方法，文獻[18]指出當模型參數較多或者參數與預測結果之間的非線性關系較強時，采用統計方法處理得到的結果不理想，精度達不到要求。

研究者開始采用人工神經網絡方法來建立預測模型，通過人工神經元之間的連接權重，建立能夠較好反映數據真實情況的網絡結構。BP神經網絡是一種多層前饋型神經網絡[19]，當隱含層神經元數目足夠多時，BP神經網絡可以以任意精度逼近任何一個具有有限間斷點的非線性函數。因此，BP神經網絡能夠求解高度非線性的復雜巖土工程問題[20]，如在混凝土材料參數反演[21]、土體細觀力學參數反演分析[22]、隧道圍巖力學參數反演[23]和堆石體力學參數反演[20,24,25]方面的應用。

本文采用BP神經網絡建立堆石體九參數流變模型參數與壩體位移的映射關系，采用Olden方法[26,27]對網絡的連接權值進行處理，進行參數敏感性分析。以變量敏感性已知的測試算例論證上述方法的有效性和準確性。以水布埡面板堆石壩為工程實例，進行九參數冪函數流變模型的參數敏感性計算和分析，得出各個流變參數對不同測試指標的敏感性排序，并結合單因素分析方法佐證所得結果的合理性。

1 基于BP-Olden方法的參數敏感性分析

1.1 BP神經網絡

BP神經網絡可以避免知識的具體形式，不必像統計模型那樣要求有前提假設以及事先的因子確定，而且在理論上可以實現任何函數的逼近[24]。BP神經網絡也存在人為因素影響大、收斂速度慢、全局搜索能力差等問題[28]。為改進傳統BP神經網絡的不足，啟發式算法、全局算法和數值優化算法被應用于BP神經網絡。作為數值優化算法的一種，萊文貝格-馬夸特(Levenberg-Marquardt)算法兼有梯度下降法的全局特性與高斯-牛頓法的局部特性，能提高網絡訓練的穩定性和精度[29]。

本文采用(N-L-M)三層BP神經網絡，N為輸入層的輸入變量個數，L為隱含層的隱含神經元個數，M為輸出層的輸出神經元個數，層與層之間通過權值連接。采用萊文貝格-馬夸特算法(Levenberg-Marquardt)訓練神經網絡。三層BP神經網絡示意圖如圖1所示。圖中，wij、aj和f1(netj(i=1,…,N、j=1,…,L)分別為輸入層的輸入變量xi(i=1,…,N)與隱含層的神經元j(j=1,…,L)之間的連接權值、閾值和激活函數,vjk、bk和f2(netk)(j=1,…,N、k=1,…,M)分別為隱含層的神經元j(j=1,…,L)與輸出層的輸出變量yk(k=1,…,M)之間的連接權值、閾值和激活函數。

圖1 三層神經網絡示意圖Fig.1 Flow chart of three layers of neural network

1.2 Olden方法

Olden方法是Olden及其合作者提出的一種評估各個輸入變量對輸出變量影響程度的方法，稱為連接權值法(Connection Weight Approach)。輸入變量xi對輸出變量yk的相對影響程度可由式(1)表示。

(1)

式中：Oik為輸入變量xi對yk的敏感性指標值；Oik的絕對值越大，則該變量對對應的測試指標的影響程度(敏感性)越大；其他變量的含義如1.1節所述。

文獻[27]采用關系已知的仿真數據構建神經網絡，基于訓練完成的神經網絡，對比分析了結合神經網絡評估輸入變量對輸出變量貢獻程度(敏感性大小)的九種方法，結果表明Olden方法無論是準確性還是精度方面均優于其他方法。

2 九參數冪函數流變模型

堆石體軸向流變和體積流變均可用冪函數進行表述，九參數冪函數流變模型可表述為：

εs(t)=εsf(1-t-λs)

(2)

εv(t)=εvf(1-t-λv)

(3)

式中：εs(t)、εsf分別為 時段內累計的和某個應力狀態下最終的軸向流變量；εv(t)、εvf分別為0～t時段內累計的和某個應力狀態下最終的體積流變量；λs為累計軸向流變的時間冪指數；λv為累計體積流變的時間冪指數。

εsf和應力水平SL與圍壓σ3的關系為：

(4)

λs=ησ-m3

(5)

εvf與圍壓σ3和應力水平SL可用線性函數擬合為：

εvf=cαSdαL+cβSdβL

(6)

λv=const

(7)

綜上，9個參數c、d、η、m、cα、dα、cβ、dβ、λv及其表達式完整地表述了堆石體的九參數流變模型。

3 堆石體流變模型參數敏感性分析

(1)選擇測試指標。參考已有堆石體流變參數敏感性分析的測試指標，選取如堆石壩壩體最大的豎向位移V等作為敏感性分析的測試指標。

(2)BP神經網絡的訓練。將流變模型的試驗參數無量綱化后上下浮動Δd作為訓練和測試神經網絡的樣本空間，在該樣本空間生成m組訓練和n組測試樣本參數組合。選定BP神經網絡的神經元個數、激活函數(線性函數pureline、雙曲正切S形函數tansig、對數S形函數logsig等)。將生成的流變模型的參數組合作為輸入變量，將壩體位移V等作為輸出變量，完成神經網絡的訓練。

(3)Olden方法求解敏感性指標值及結果分析。提取BP神經網絡的連接權值，按照式(1)進行計算，求出流變模型中各個參數(輸入變量)與對應測試指標(輸出變量)的敏感性指標值，進行參數敏感性分析，得到參數敏感性分析結果。

上述敏感性分析的流程如圖2所示。

圖2 敏感性分析流程圖Fig.2 Flow chart of sensitivity analysis

4 BP-Olden方法驗證

通過構造一個含有9個變量的非線性函數，如式(8)所述。該函數各變量前的系數能夠反映該變量的變化(x1,x2,…,x9)對于因變量f(x1,x2,…,x9)的影響程度(敏感性大小)，將其作為“真實的敏感指標值”。將本文所述方法的計算結果與其對比，以此來檢驗本文方法的有效性和準確性。

f(x1,x2,…,x9)=x21+2x22+3x23+4x24+5x25+

6x26+7x27+8x28+9x29

(8)

采用如圖1所示流程，進行各個自變量的敏感性分析，得出各個變量敏感性分析的結果。變量(x1,x2,…,x9)的取值范圍為[0.8, 1.2]，以因變量的值f(x1,x2,…,x9)為測試指標，以此為樣本空間隨機生成500組參數組合并計算對應的函數值，得到500個樣本。其中450組作為神經網絡的訓練樣本，50組作為測試樣本。采用(9-9-1)三層BP神經網絡，最大訓練次數800，訓練要求精度10E-20，學習率0.1，f1(net1)和f2(netk)分別為tansig和purelin函數。進行多次神經網絡訓練，選用預測誤差最小的神經網絡。神經網絡效果驗證如圖3所示，圖3中點都聚攏在y=x直線附近，BP神經網絡預測值與式(8)的計算值基本完全相等，表明該網絡具有非常好的預測能力。神經網絡的連接權值如表1所示。采用Olden方法計算敏感性指標值，為更清晰地說明計算結果的準確性，將所得指標值按照式(9)進行處理后，結果如表2所示。

(9)

式中：Oxs為變量xs對應的敏感性指標值；O*xt為處理后的敏感性指標值；t為式(8)中個各自變量前的系數。

表1 神經元連接權值Tab.1 Neuron connection weight

表2 敏感性指標值Tab.2 Sensitivity index value

由圖3可知BP神經網絡準確建立了該多變量非線性函數的自變量與因變量的映射關系。由表2可知，BP神經網絡與Olden方法相結合得到的測試函數的敏感性指標值經處理后與“真實的敏感性指標值”近乎相等。計算結果表明本文所述方法對求解多變量非線性的敏感性分析問題的有效性和準確性。

5 水布埡面板堆石壩工程應用

水布埡工程位于清江干流湖北省巴東縣境內，最大壩高233 m，水庫正常蓄水高程400 m。壩體最大剖面和有限元計算模型如圖4所示。采用有限元進行壩體應力變形分析，瞬變靜力本構模型為鄧肯E-B模型，流變模型為九參數冪函數流變模型，流變模型試驗參數如表3所示。

水布埡面板堆石壩九參數冪函數流變模型的參數敏感性計算分析過程如下：

圖3 神經網絡驗證Fig.3 Neural network effect verification

圖4 壩體最大剖面和有限元模型Fig.4 Maximum section of dam and Finite element calculation model

材料cdηmcαdαcβdβλV茅口組0.28920.84650.08310.38990.44452.08270.43601.63830.0678

(1)選擇測試指標。分別選取壩體豎向最大位移V、壩體水平向上游最大位移V上和壩體水平向下游最大位移V下作為敏感性分析的測試指標。

(2)BP神經網絡的訓練。將流變試驗參數上下浮動20%作為BP神經網絡訓練的樣本空間，為了保證樣本具有足夠的代表性，分別采用正交設計和均勻設計共生成41組樣本，加上隨機生成的259組樣本，共300組樣本，其中250組作為訓練樣本，50組作為測試樣本。將流變參數的樣本值與試驗值的比值作為各個參數的輸入變量(參數無量綱化處理),提取樣本組合的測試指標的有限元計算結果,生成的樣本集如表4所示。采用(9-9-1)三層BP神經網絡，最大訓練次數800，訓練要求精度10E-20，學習率0.1，f(netj)和f(netk)分別為tansig和purelin。進行多次神經網絡訓練，選用預測誤差最小的神經網絡。壩體位移V、V上、V下的神經網絡預測效果驗證圖分別如圖5～圖7所示，圖中點都聚攏在y=x直線附近，表明訓練的神經網絡能真實、準確地反映輸入變量與對應測試指標的映射關系。

表4 參數樣本集Tab.4 Parameter sample set

圖5 壩體位移V神經網絡效果驗證Fig.5 Neural network effect verification of dam displacement V

圖6 壩體位移V上神經網絡效果驗證Fig.6 Neural network effect verification of dam displacement V上

圖7 壩體位移V下神經網絡效果驗證Fig.7 Neural network effect verification of dam displacement V下

(3)BP神經網絡連接權值的提取。提取分別以壩體位移V、V上、V下為測試指標訓練的BP神經網絡的輸入層與隱含層之間，隱含層與輸出層之間的連接權值，提取結果如表5-7所示。

(4)Olden方法求解敏感性指標值及結果分析。將上述步驟(3)提取的連接權值代入式(1)計算，得到敏感性指標值，如表8所示，將結果繪制成圖，如圖8所示。從圖中可知流變參數中參數m對三項測試指標的敏感性相對較高，其次是參數η、c、d；參數cα、dα、cβ、dβ、λv對三項測試指標的影響相對均較小，因此，在參數選取過程中，應重點考慮m、η、c、d四個參數。

為了進一步論證上述方法得到的九參數冪函數流變模型的參數敏感性排序結果的準確性，采用操作較簡單的單因素分析方法對上述參數的敏感性進行分析，該方法能夠比較直觀的 反映各參數對指標值的影響。采用單因素分析方法將流變模型的9個參數的試驗值按順序分別乘以1.2，同時保持其他參數值的大小不變，生成九組參數組合進行計算，提取壩體位移V、V上、V下后，減去采用試驗參數計算的得到的壩體對應的三項位移，得到各個參數改變后壩體位移的相對變化量，如表9所示，并將結果繪制成圖，如圖9所示。

表5 壩體位移V神經元連接權值Tab.5 Neuron connection weight of dam displacement V

因為單因素分析方法沒有考慮參數之間的相互影響，只能得出“定性”的結論。考慮單個參數放大1.2倍后壩體位移的變化，參數m改變后，壩體三項位移變化相對于其他參數均較高，敏感性相對較高，其次為參數η、c和d，參數cα、dα、cβ、dβ、λv變化后帶來的壩體位移的變化則相對較小，與本文方法得出的結論相比是基本一致的，說明了本文所提方法結果的可靠性。

表6 壩體位移V上神經元連接權值Tab.6 Neuron connection weight of dam displacement V上

表7 壩體位移V下神經元連接權值Tab.7 Neuron connection weight of dam displacement V下

表8 敏感性指標值Tab.8 Sensitivity index value

表9 單個參數放大1.2倍的相對位移變化Table9 The relative displacement variation after a single parameter is magnified 1.2 times

圖8 參數敏感性結果Fig.8 Parameter sensitivity results

圖9 單個參數放大1.2倍的相對位移變化Fig.9 The relative displacement variation after a single parameter is magnified 1.2 times

此外，文獻[6]采用控制變量法，將參數縮放至0.1～10倍，對九參數流變模型進行參數敏感性分析，結果表明c、η、cα、cβ、λv五個流變參數對壩體沉降較為敏感，導致上述結果與本文的結果差別較大的原因可歸結為采用的方法和參數縮放范圍的不同。由于堆石體本構模型的參數都有明確的物理意義，過分地放大某些參數值，可能會超出參數所代表的物理意義，與現實不相符。如何科學和恰當地確定參數縮放范圍的大小，不僅是參數敏感性分析所面臨的問題，同時也是堆石壩參數反演所面臨的問題。

6 結 語

(1)本文提出了一種采用BP神經網絡與Olden方法相結合的堆石體流變參數敏感性分析方法，與已有的采用統計方法進行參數敏感性分析的方法相比，具有更好的考慮了參數與測試指標的映射關系，試驗方案參數組合設計簡單，數據處理方便的優點。

(2)以函數實例驗證了本文方法對求解多變量非線性敏感性分析問題的有效性和準確性。采用該方法對水布埡面板堆石壩進行了九參數冪函數流變模型參數敏感性分析，并結合單因素分析方法加以論證，計算結果表明，流變參數m、η、c、d對指標位移V、V上、V下敏感性較強，其中參數m敏感性相對最強，其次為參數η、c、d，其他參數的敏感性則相對較弱，因此參數選取應著重考慮參數m、η、c、d。

(3)本文方法以及對九參數流變模型的參數敏感性分析的結果可以為堆石體力學參數的敏感性分析提供一定的借鑒。

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