基于ARIMA與GM(1,1)的區域用水總量預測模型及應用
——以廣州市為例

田 濤，薛惠鋒，張 峰

(中國航天系統科學與工程研究院，北京 100048)

水資源作為生產生活的重要基礎資源，其使用量直接反映了國家或地區的經濟發展和人民生活的質量水平，而受國內水資源分布及社會經濟發展等多種因素的影響，水資源污染、短缺等問題愈發嚴重。對此，國家水資源管理中專門設定了“三條紅線”，明確將用水總量控制作為其重要組成內容，同時也是水行政主管部門的主要考核指標之一。區域用水總量主要是指在一定時期內(月、季度、年)，一個國家或地區的工業、農業、生活、生態等的用水總和，是衡量該區域對水資源開發利用程度的重要指標[1]。在最嚴格水資源管理制度規定下，廣東省是全國唯一一個到2030年用水總量控制紅線下降的省，即廣東省要在保持經濟穩定發展的基礎上進一步控制用水總量，這對廣東省用水資源管理工作帶來極大的挑戰。因此，提高其用水總量預測水平具有重要的現實意義。

隨著各類預測模型應用的愈加廣泛，目前對用水總量預測已成為水資源管理研究的熱點。Yadav等采用小波與支持向量機的方法建立了水資源消耗預測模型，實現了對水資源消耗數據濾波處理與多指標預測目標[2]；Eslamian等從日用水量需求的角度提出水資源使用量的多元線性回歸模型，并發現模型的擬合精度關鍵在于回歸參數的選擇[3]；Qaderi等利用小波函數優化BP神經網絡，以此克服傳統BP神經網絡中的局部收斂弊端，并用其建立區域用水預測模型[4]；Sempewo等運用馬爾可夫鏈建立水質預測模型，通過水質區間的劃分建立空間狀態轉移矩陣[5]。國內學者袁朝陽等基于集對分析聚類方法對山東省用水總量進行了靜態預測[6]；孫艷等針對傳統粒子群算法在用水量預測上的不足，選取自適應變異粒子算法對其改進，并在農業用水中進行了精度驗證[7]；劉秀麗等認為用水總量的預測可從其影響因素的視角進行多屬性關聯性分析，并據此建立了用水總量的多因素預測模型[8]；佟長福等選取定額法與增長比率法相結合的方式對鄂爾多斯工業用水趨勢進行了預估[9]。此外，還有學者使用恩格爾系數[10]、貝葉斯神經網絡[11,12]、遺傳算法[13]等進行用水總量預測研究。

綜上所述，現有相關研究成果從多維度對用水量預測進行了探討，尤其是針對其適用性模型選擇與構建方面，為水資源數據分析與管理決策提供了重要借鑒。但實際上影響區域用水狀態的因素復雜多樣，并呈現較強的非線性和時序變化特性，其內部變化因素較難用標準模型進行描述，因此從時間序列角度對區域用水總量進行定量分析和預測具有一定的客觀性，與此同時，基于不同的用水樣本數據，其適用性的預測方法還有待進一步挖掘。據此，本文以廣州市2002-2016年用水總量數據為例，根據其年用水總量隨時間變化的特點分別構建基于自回歸移動平均模型(Auto-regressive Integrated Moving Average Model，ARIMA)和灰色GM(1,1)區域用水總量預測模型，并對廣州市用水總量進行預測，并比較不同模型對于用水總量預測的準確性，為其用水總量控制提供理論與方法參考。

1 數據來源與模型構建

1.1 研究區概況與數據來源

廣州市位于東經112°57′-114°3′，北緯22°26′-23°56′，地處廣東省中南部(見圖1)，并作為廣東省省會，是中國特大城市之一，屬于亞熱帶沿海地帶，其境內流域隸屬珠江水系。全市2016年降雨量達到176.8 億m3，水資源總量102.9 億m3，雖然從規模上看其總量相對豐富，但由于快速增長的經濟和龐大的人口規模使其人均水資源量偏低，僅為747 m3，而多年平均值為549 m3，均顯著低于廣東全省的2 251和1 675 m3，而人均綜合用水量(469 m3)明顯高于全省平均水平(398 m3)，可利用淡水資源也愈發緊張[14]。可見實現廣州市的用水總量控制是緩解水資源供需矛盾的關鍵。

圖1 廣州空間地理位置

本文采用的水資源總量數據樣本區間為2002-2016年，主要來源于《廣州市水資源公報》，2016年數據來源于《2016廣州市國民經濟和社會發展統計公報》。

1.2 模型構建

1.2 1 ARIMA模型

ARIMA模型是由Box和Jenkins在20世紀70年代提出的時間序列預測方法，又稱Box-Jenkins模型[15]。該模型將時間序列數據作為隨機過程，并通過特定的數學模型將其定量化模擬，可有效描述時序數據的動態性與持續性特征，尤其是在解決非平穩時間序列數據問題上已得到了較好的驗證[16]。考慮用水總量時間序列的變化受到社會經濟發展及節水技術等多方面復雜因素的影響，具有典型的非平穩時序數據特征，因此，可嘗試采用該模型對其變化趨勢進行預測分析。在ARIMA模型中，ARIMA(p,d,q)稱為差分自回歸移動平均模型，其中，AR是自回歸，p是自回歸項，MA表示移動平均，q為移動平均項數，d為使時間序列成為平穩所做的差分次數[17]。

對于用水總量時間序列xt，若能通過d次差分有變成平穩序列，即xt～I(d)，則有：

zt=Δdxt=(1-B)dxt

(1)

zt為平穩序列，由此可建立ARMA(p,q)模型：

zt=c+φ1zt-1+…+φpzt-p+εt+θ1εt-1+…+θqεt-q

(2)

通過d階差分后的ARMA(p,q)模型成為ARIMA(p,d,q)模型，εt表示白噪聲過程。

1.2.2 GM(1,1)模型

灰色理論是鄧聚龍教授于1982年提出的一種用于處理既含有已知信息又含有未知或非確定信息問題的方法，據其理論可對建立不同的灰色微分預測模型，并對特定指標數據未來狀態做出相對合理的定量預測[18]。其中，GM(1,1)是灰色理論建模中最典型及應用范圍最廣的模型之一，由包含單變量的一階微分方程構成[19]。設用水總量時間序列：

x(0)=[x(0)(1),x(0)(2), …,x(0)(n)]

(3)

灰色模塊微分方程：

(4)

將灰參數代入時間函數，取得：

(5)

根據累加序列的預測結果進行運算，得出原始序列的預測值：

(6)

1.2.3 模型有效性檢驗

按照區域用水總量預測的模型擬合精度要求，本文選用平均絕對誤差與平均相對誤差對ARIMA(p,d,q)和GM(1,1)模型檢驗其在用水總量預測上的應用效果[20,21]。公式如下。

(1)平均絕對誤差：

(7)

(2)平均相對誤差：

(8)

2 實證分析

2.1 模擬預測及結果對比

(1)ARIMA模擬預測。根據廣州市2002-2016年歷史用水總量時序統計數據xt，可觀測出全市用水總量整體上呈現出相對顯著的逐年下降趨勢(見圖1)，并屬于非平穩序列。為消除其時間序列趨勢，對用水總量原始序列做一階差分處理，記為Dxt，可發現該處理后的數據序列相對穩定，即序列趨于平穩。為進一步驗證其結果的可信性，本文選用ADF和PP單位根檢驗驗證上述序列的平穩狀況，結果見表1。

圖2 廣州市2002-2016年用水總量原始序列及一階差分序列

通過表1可知，用水總量原始數據序列在一階差分后的序列Dxt進行ADF與PP檢驗時，在各檢驗水平下均低于其臨界值，而此可視為用水總量一階差分序列Dxt在99%的置信水平下滿足上述檢驗要求，屬于平穩時間序列。

表1 單位根檢驗結果

基于上述平穩性檢驗，利用ARIMA模型檢驗時需要進行自相關與偏自相關分析，對原始用水總量序列 再次進行驗證時，其序列自相關系數(AC)和偏相關系數(PAC)表現出非拖尾特征(見圖3)，這進一步印證了表1中的檢驗結果。而對用水總量一階差分序列 的檢驗(見圖4)則表明AC和PAC屬于拖尾特性，并呈幾何遞減趨勢。由此可判定ARIMA(p,d,q)的p和q為1，同時通過白噪聲序列檢驗確定其d=1。因此，最終確定模型為ARIMA(1,1,1)，對此可使用Eviews軟件對廣州市用水總量進行擬合。

圖3 用水總量時序自相關-偏自相關檢驗結果

圖4 用水總量時序一節差分自相關-偏自相關檢驗結果

進行參數估計之后模型建立為：

zt=-1.918 366+0.617 619zt+1+εt-0.999 160εt-1

(9)

(2)GM(1,1)模擬預測。按照GM(1,1)模型的測算過程，利用MATLAB軟件編程計算模擬產生序列如下：

(10)

原始序列預測模型：

95.872 8 e-0.031 0 k

(11)

(3)模擬預測結果對比。根據上述各模型測算結果，分別運用模型(9)和(11)模擬預測2002-2016年廣州市水資源用水總量，其模擬預測結果及誤差見表2和圖5。

表2 ARIMA(1,1,1)和GM(1,1)模型預測結果

圖5 2002-2016年廣州市年用水總量變化曲線

按照表2與圖4所示模擬預測結果，可以發現兩類模型除了在局部年份下具有顯著性的誤差以外，均在整體上表現出了相對較好的擬合精度，但是對比兩類模型相對誤差大小時，則可進一步發現ARIMA(1,1,1)的相對誤差在總體趨勢上表現為逐步降低并收斂的態勢，且誤差除2004-2006年以外，其余均控制于±3以內；而GM(1,1)模型擬合相對誤差則在總體上表現為先收斂后發散的變動趨勢，即擬合初期相對誤差較高，尤其是在2004年時更是突破了相對誤差為5的臨界值，而后期呈現為下降的態勢，并于2006-2008年期間相對誤差與ARIMA(1,1,1)模型差異較小，但在擬合后期(2015-2016年)則又出現了較大程度的波動。同時，對比兩者的平均絕對誤差(Mae)和平均相對誤差(Mre)，ARIMA(1,1,1)模型要低于GM(1,1)模型，這說明前者的模擬效果要強于GM(1,1)模型。

此外，觀測ARIMA(1,1,1)和GM(1,1)模型在數據樣本模擬區間內的各年份下擬合值，通過對比用水總量實際值可知兩類模型在多數情況下均出現了“同向擬合過度或不足”的現象，即在同一年份下擬合值均同時低于或同時高于實際值，說明兩類模型并不適合做加權組合預測模型。據此，本文選用ARIMA(1,1,1)模型對廣州市用水總量趨勢進行預測分析。

2.2 用水總量變化趨勢預測

參考廣州市2016-2020年最嚴格水資源管理制度中對全市劃定的時間節點，本文將用水總量變化趨勢預測的規劃年份定于2020年。利用ARIMA(1,1,1)模型對廣州市2017-2020年用水總量進行預測，結果見表3和圖6所示。

根據預測結果，可知廣州市若按照現階段的用水態勢，其在未來的4 a內用水總量將保持較為顯著的下降態勢，尤其是在2018-2020年期間，其用水下降速率相對穩定，并到2020年時，其用水總量可控制在56 億m3的水平。

表3 廣州市用水總量2017-2020年預測結果

圖6 廣州市年用水總量預測圖

3 結果討論

自2012年全國開始實行最嚴格水資源管理制度開始，全國各地區對用水總量進行嚴格控制，廣州市從2012年開始用水總降低率趨于平穩，并穩定在3%左右，而從本文對其全省用水總量的預測情況(見表3)，可知未來到2020年用水總量降低率也較為平穩。這說明近年來廣州市在用水總量控制上所實施的政策措施較為有效，且在“十三五”期間全市用水總量控制水平穩定，同廣州市“水利十三五規劃”總體要求可保持相對一致。而在全市用水總量整體變化趨勢呈穩定下降的態勢下，廣州市到2020年劃定用水總量紅線為49.52 億m3，但是從本文的預測值(55.92 億m3)來看，如果按照現有年降低率，廣州市到2020年應對用水總量紅線指標將面臨嚴峻挑戰。

水資源是社會經濟發展的重要支撐性資源，其使用量變化與經濟增長情況具有緊密相關性。而對比觀測廣州市經濟增長與水資源使用量的變化(見表4)，可進一步發現農業用水量與農業生產總值之間在數值波動上基本一致，但若從變量的增長率比較中，則存在非同步現象。農業用水量為“先降后增”的趨勢，而農業生產總值則為“先增后降再增”的特點。同樣的非同步現象出現于工業用水量與其生產總值的增長率對比之間，即工業用水量為“先增后降再增”，而其生產總值則是“先將后增再降”的趨勢。導致上述問題的因素有多種，其中既有自然資源的不確定性因素影響，也有涉水政策的宏觀調控及節水技術、工藝、設備使用等，但在推進社會經濟穩定發現的前提下，實現用水總量的控制則需要對其增長率進行嚴格調控，從該方面來看廣州市仍有較大節水潛力進行挖掘。

此外，通過統計廣州市2011-2015年用水總量構成結構變化(見表4)，可知全市雖然生態與生活用水量雖然隨著社會經濟水平的提高，其總體上呈現出上升態勢，但從所占比率來看工業和農業用水量依然是用水消耗的主要對象。而且在此期間，生活用水量在整體上保持相對穩定的變化，而工業用水總量呈上升趨勢，農業用水并未因灌溉技術升級等因素而出現明顯降低。所以，在“十三五”中后期，廣州市應該以“加快農業灌溉技術水平提升，重點解決工業用水的用水效率”為用水調控主線，降低萬元GDP增加值的工業用水量，同時強化農業用水過程中的節水管控力度，從而保障其完成控制用水紅線的基本目標。

表4 廣州市2011-2015年工業、農業用水量

4 結 語

本文利用ARMA和灰色理論分別構建區域用水總量預測模型，并以廣州市用水總量2002-2016年歷史數據為樣本對模型的有效性進行對比，結果基于現有數據條件下：

(1)ARIMA(1,1,1)模型較灰色GM(1,1)模型更適用于用水總量的預測，其平均絕對誤差與相對誤差較低，而在樣本擬合預測中，ARIMA(1,1,1)模型相對誤差表現出了穩定收斂下降的趨勢，灰色GM(1,1)模型則呈現為先收斂后發散的誤差變動特點，進一步說明ARIMA(1,1,1)模型預測精度更為理想。而將模型的模擬預測與實際值比較，發現兩類模型均具有“同向擬合過度或不足”的現象，即不適用于進行加權組合進行用水總量預測。

(2)選取ARIMA(1,1,1)模型模擬預測中發現，廣州市自實行最嚴格水資源管理制度后其用水總量具有平穩下降的特點，但全市2020年用水總量將達到55.92 億m3，同比廣州市劃定的2020年用水總量紅線相比高出6.4 億m3，說明在用水總量處于穩定下降的態勢下，其用水總量紅線控制風險依然較高，需要在未來4 a內加大用水總量控制力度。

(3)結合ARIMA(1,1,1)模型預測結果，進一步分析2011-2015年廣州市農業、工業用水總量等變化情況，發現工業和農業用水分別與其生產總值之間的增長率變化存在非同步現象，而在以2020年廣州市達到用水總量紅線指標要求的前提下，全市在“十三五”中后期亟需加大工業用水效率，通過應用先進的節水技術、工藝和設備等進一步降低萬元工業產值用水量，同時提高農業灌溉技術的研發與投入使用力度以控制農業用水量，從而實現對用水總量的嚴格控制。

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