基于無差異曲線的組合養老模式構建及最優選擇

董 宇

（青島大學 美術學院，山東 青島 266071）

0 引言

改革開放以來我國經濟保持了長達三十多年的持續穩定快速增長，2008年金融危機后世界經濟逐漸步入緩慢發展時代，全球經濟復蘇乏力，我國經濟增長也因此受到重創，開始進入降速提質的經濟調整期。與此同時，我國的人口結構失衡問題凸顯，長期以來的計劃生育政策導致老齡化社會的到來，社會撫養比例逐漸增加，人口紅利逐步消失，獨生子女的贍養義務壓力越來越大，老年人養老問題成為當前亟需解決的重大社會問題，受到學者們的普遍關注。根據國家統計局相關數據，截止2016年底我國60歲以上的老年人數量為2.6億，在整個人口數量中的比例為18.56%，而且這一比例還呈逐年增大的趨勢。對當前我國養兒防老和儲蓄養老兩種養老模式進行對比研究，探討養兒防老和儲蓄養老的替代關系，使用替代系數實證研究我國老年人對兩種養老模式的組合選擇問題。研究結論可以為老年人的養老組合決策提供理論依據，也可以為我國老齡化問題的解決提供政策參考。

1 組合養老模式的模型構建

“養兒防老”是我國民族傳統養老文化中最早的養老模式，是指人們通過撫養子女待子女成年自己年老時由子女來贍養自己的一種方式，撫養費用由父母承擔并給予子女以精神上的照顧，贍養費用由子女承擔并由子女給予父母精神上的撫慰。隨著經濟社會的發展及人們收入水平的提高，“儲蓄養老”成為很多人的選擇，所謂“儲蓄養老”是指人們通過年輕時的財富積累用于自己年老時的養老費用支出，是一種自我照顧而非子女照顧的養老模式。目前這兩種養老模式均普遍存在，而且在一定程度上存在著替代和互補的關系。

為了對這兩種養老模式進行經濟學分析，需要一些基本假設條件，假設每個人均經歷三個重要時刻：T1，T2，T3。其中T1為養老決策時刻，此時人們決定是否撫養孩子，到T2時刻子女成年，T3時刻自己年老。這里使用無差異曲線來測度老年人的晚年生活（見圖1），該曲線由養兒防老和儲蓄養老共同決定，其中橫軸表示養兒防老縱軸表示儲蓄養老，曲線凸向原點表示養兒防老和儲蓄養老存在相互替代的特征，而且二者的替代性呈遞減趨勢。

圖1 生活質量無差異曲線圖

接下來對老年人養老的成本收益進行比較研究，撫養子女需要資金投入和精神投入，其中資金投入是顯性的，精神投入是隱性的，假設人們的收入為W，則在T1到T2這個時間段的總收益TR可以用以下公式表達：

其中表示人們在T1到T2這個時間段未撫養子女時的生活質量。假設此時間段的日常支出為C1，則人們的凈收益NR可以表述為：

因此撫養子女的“價格”P可以表述為：

其中C3表示撫養子女的顯性成本，當C1和C2相等時，則有：

即撫養子女的價格為人們未撫養子女的生活質量與撫養子女時的生活質量之差，加上人們的收入和撫養子女的費用。養老函數的最優模式為在收入約束下的最大化解，假設收入為Y，則最優的養老模式可以用圖2表示，其中A點即是人們最大化的養老模式選擇，該點取決于人們的收入及生活質量無差異曲線的形狀。

圖2 最優養老模式圖

2 組合養老模式的差異拓展

相同的撫養投入所產生的撫養效應可能存在很大不同，即子女成年后的贍養能力具有差異性，這里使用標準量來表述撫養效應，包括撫養子女的資金投入標準量和貨幣儲蓄標準量。在人們收入約束線和生活質量無差異曲線相同的情況下考慮以下幾種情況：

2.1 子女贍養能力的差異

當人們的收入為Y，生活質量無差異曲線為U1時，最優化的養老模式選擇應該是在A點，但是由于子女的贍養能力存在一定差異（見圖3），其中Y表示人們的收入約束線，U表示老年人的生活質量無差異曲線，L表示子女的贍養能力。如果B的子女贍養能力較強對父母的關愛程度較大，則B子女的贍養能力曲線為L2，此時撫養子女的投入較高，生活質量無差異曲線也較高為U2，B的最優養老模式選擇點應該在B點。相反如果C的子女贍養能力較弱對父母的關愛較少，無法盡自己的贍養義務，則C子女的贍養能力曲線為L3，此時撫養子女的投入較低，生活質量無差異曲線也較低為U3，C的最優養老模式選擇點應該在C點。因此雖然收入相同生活質量無差異曲線也一樣，但B的生活質量要高于C。

圖3 子女贍養能力的差異

2.2 子女贍養意愿的差異

人們在T1時刻做出是否撫養子女的決定，T3時刻子女履行贍養義務，從T1到T3要經歷相當長的一段時間，因此撫養效應具有很長的滯后期，如果社會中的子女普遍具有贍養老人的良好表現，當人們年老時都可以通過子女的物質支持和精神撫慰安度晚年時，人們對子女的資金投入就會較高，這種情況可以通過圖4來表示，比如圖4中的B點，此時老年人的生活質量將會遠高于預期。相反如果社會中子女贍養老人的表現普遍較差，甚至出現養兒不能實現養老的情況，人們對子女的投入將會降低甚至接近于零，此時老年人的生活質量將會大大低于預期，比如圖4中的C點。

圖4 子女贍養意愿的差異

2.3 儲蓄資產收益的差異

儲蓄資產收益的變化也會影響組合養老的決策選擇，假設A、B和C三人的預算收入相等，按照前述原則三人的最優選擇模式應該相同，但是由于三人對預算收入的理財方式不同從而可能導致資產收益出現差異。如下頁圖5所示，A的資產收益可能在A點，而B由于理財方式較好使資產升值資產收益為B點，B點高于A點，C可能由于理財失當導致資產貶值資產收益為C點，C點低于A點。從而A對應的生活質量無差異曲線為U1，B對應的生活質量無差異曲線為U2,C對應的生活質量無差異曲線為U3。當子女的贍養愿望較強烈對父母的照顧較好時，老年人的生活質量無差異曲線也較高，即老年人可以享受高于預期的晚年生活。

圖5 儲蓄資產收益的差異

3 差異贍養條件下組合養老模式的效用最大化

養兒防老和儲蓄養老兩種養老模式的組合選擇是為了實現效用的最大化，即需要求出圖2中的A點，這里使用效用函數進行推導求解。組合養老的效用函數U可以表述為：

其中R表示組合養老的收益，A表示組合養老的投資風險，因此組合養老的效用和養老收益正相關，和養老風險負相關。上述公式可以等價轉換為：

根據組合養老的第一種情況可以得到二元方程：

要想求出養老投資組合二元方程的最優解，需滿足一階導數為零，即：

此時子女贍養能力差異下組合養老的最大效用值為：

此時投資組合養老的期望回報率和方差可以表述為：

同理可以求出第二和第三種情況下的最大效用值、期望回報率和方差：

綜合考慮三種養老情況得到以下組合養老模式：

三種差異化養老中收益最大的即為最優的養老模式組合。本文根據我國養老模式的現狀對上述最優養老模式分別求解。為了對中國的傳統養老文化現狀進行統計分析，作者通過設計調查問卷進行實地調研，調研范圍為中國東、中、西部代表性的城市，共發放調查問卷10000份，其中東部地區城市發放3500份，中部城市發放3000份，西部城市發放3500份。養老模式的偏好設定為養兒防老型、儲蓄養老型和其他類型三大類，被調查者可以根據自己的偏好進行選擇，具體選項的設定基于五點量表法，每個選項的偏好程度設定為非常偏好、偏好、一般、弱偏好和無偏好。

根據調查問卷進行統計分析，統計結果列于表1，從表1的統計結果可以看出目前我國養老模式仍以養兒防老為主，全國樣本中占65%，儲蓄養老模式僅占30%。但從分區域統計結果來看表現出明顯的區域差異，東部地區以儲蓄養老模式為主，該模式占75%，西部地區以養兒防老模式為主，該模式占70%。這種模式的選擇可能與地區經濟發展水平有關，東部地區較高的經濟發展水平決定了以自己的收入養老，而西部地區經濟發展水平相對落后，更多地依靠子女養老。

表1 中國分區域養老模式統計結果

使用本文調查問卷所得數據，基于以下三種養老情況的組合養老模式，可以對東、中、西部的養老收益進行求解，求解結果見表2。

從計算結果來看，所有估計結果都通過了顯著性檢驗，表示本文的計算結果具有較高的可信度。具體來看，我國整體的組合養老模式回報率中養兒防老為53.41%，儲蓄養老回報率為41.09%，即目前我國仍然是以養兒防老為主的養老模式。從區域差異來看，東部地區儲蓄養老回報率為71.43%，養兒防老回報率為20.22%，即東部地區儲蓄養老已經成為養老模式的主流。西部地區養兒防老回報率為80.35%，儲蓄養老回報率為10.52%，即西部地區依然是以養兒防老這樣養老模式為主。中部地區養兒防老回報率為46.22%，儲蓄養老回報率為50.19%，即中部地區處于從養兒防老向儲蓄養老模式的過渡期。東部地區大部分養老資金均來自于自我儲蓄，西部地區老年人的養老對子女的依賴性相對較大。我國目前養兒防老和儲蓄養老兩種養老模式并存，東部地區儲蓄養老的選擇較多，西部養兒防老的模式選擇較多。

表2 組合養老最優回報率

4 結束語

本文利用經濟學中的無差異曲線對我國傳統養老模式進行研究，分析了養兒防老和儲蓄養老兩種模式的成本收益，基于子女贍養能力的差異、子女贍養意愿的差異和儲蓄資產收益的差異對組合養老選擇模型進行動態拓展，使用實地調查研究數據實證分析我國目前養老模式的現狀和回報率，得出以下主要結論：（1）總體來看，我國目前養兒防老和儲蓄養老兩種養老模式并存，而且兩種養老模式具有替代性，正從養兒防老養老模式向儲蓄養老模式過渡。（2）由于我國農村人口所占比例較大，中西部地區經濟發展水平較低等原因，養兒防老還是一種比較重要的養老模式。物質層面的養老資金從子女贍養資金為主向自有儲蓄資金為主轉化，精神層面的關懷和照顧從子女照顧為主向自我照料為主轉化。（3）雖然我國目前養兒防老和儲蓄養老兩種養老模式并存，但養老模式的地區差異比較明顯。東部地區大部分養老資金均來自于自我儲蓄，西部地區老年人的養老對子女的依賴性相對較大。東部地區儲蓄養老的選擇較多，西部養兒防老的模式選擇較多。

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