單調(diào)集值測度空間中的Egoroff型定理及Riesz型定理

吳 怡，吳健榮

（蘇州科技大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，江蘇 蘇州 215009）

所謂單調(diào)測度是指在空集處取值為零的單調(diào)集函數(shù)，模糊測度[1-3]、非可加測度[4-6]都屬于單調(diào)測度的范疇。由于實際應(yīng)用的需要，單調(diào)測度理論不斷發(fā)展，特別是經(jīng)典測度論中的一些重要收斂定理被先后推廣到單調(diào)測度空間中。1985年，王震源[1]在上自連續(xù)及下自連續(xù)的條件下，給出了四種關(guān)于模糊測度空間中的Riesz型定理；之后，在文獻[2-3]中被進一步推廣。2003年，Li[7]給出了一個關(guān)于單調(diào)集函數(shù)的Egoroff定理成立的充分必要條件。而在2004年，Murofushi等人[4]利用強序連續(xù)、S性質(zhì)等概念，討論了非可加測度空間中的Egoroff定理成立的一些充分（必要）條件。2005年，Song及Li[5]研究了非可加測度空間中四種Lebesgue型定理成立的充要條件。之后，李軍及Mesiar[8]在度量空間中給出了關(guān)于單調(diào)測度的Egoroff定理成立的一個等價條件，并在此基礎(chǔ)上得到了關(guān)于單調(diào)測度的Lusin定理，討論了單調(diào)測度空間中可測函數(shù)與連續(xù)函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系。2014年，Takahashi等人[6]在非可加測度空間中得到了Egoroff定理成立的一個新的等價條件。

近年來，Gavrilut等人[9-18]利用集合包含關(guān)系將單調(diào)測度推廣到了集值的情況，并且得到了關(guān)于單調(diào)集值測度的模糊性、正則性、原子與偽原子、Egoroff型定理及Lusin型定理等方面的豐富成果。而在2004年，郭彩梅和張德利[19]在實數(shù)集R的所有非空子集構(gòu)成的集族P0（R）上定義了一種新的序關(guān)系。2008年，高娜，李艷紅，王貴君[20]將文獻[19]中的序關(guān)系推廣到了m維正歐式空間P0（R+m）中，討論了取值于m維正歐式空間的模糊測度的自連續(xù)、一致自連續(xù)、逆自連續(xù)和一致逆自連續(xù)。2015年，開學(xué)文和吳健榮等人[21]利用以上的序結(jié)構(gòu)，在單調(diào)集值測度空間中得到了Lebesgue型定理以及Egoroff型定理，在單調(diào)集值測度空間中研究了可測函數(shù)幾種收斂性之間的關(guān)系。之后，吳健榮等人[22]又提出了單調(diào)集值測度的原子以及偽原子的概念，給出關(guān)于單調(diào)集值測度的（N）積分，并探討了該積分的一些性質(zhì)。該文是文獻[21]的繼續(xù)。首先，給出關(guān)于單調(diào)集值測度的Egoroff條件、S*性質(zhì)、PS*性質(zhì)、條件M*等概念，并研究了它們之間的關(guān)系；在此基礎(chǔ)上，給出了單調(diào)集值測度空間中Egoroff定理成立的兩個新的充分必要條件。其次，針對目前單調(diào)集值測度的Riesz定理的成果尚不多見的情況，該文利用S*性質(zhì)及PS*性質(zhì)將Riesz定理推廣到了單調(diào)集值測度空間中。

1 預(yù)備知識

該文中，X 表示任一非空集合，Ω 為 X 上的一個 σ-代數(shù)，即（X，Ω）為可測空間。 R+m＝{x；x＝（x1，x2，…，xm），xi≥0，i=1,2，3，…，m}表示 m 維正歐式空間，P0（R+m）表示 m 維正歐式空間 R+m中全體非空子集構(gòu)成的集類。關(guān)于m維正歐式空間及其子集類上的運算、序結(jié)構(gòu)及收斂定義如下：，其中其中其中

定義 1[20]設(shè)如果滿足條件：

定義2[20]設(shè)?A，An∈P0（R+m），若則稱A和B擬等價，記為

注 1顯然，P0（R+m）中兩個擬等價的元素并不一定相等，但等同于

注2“擬等價”是P0（R+m）中的一種等價關(guān)系，可作商空間P0（R+m）/≈，將每個等價類中元素不作區(qū)分，用一個元素來代表。在此意義下也常寫成

定義 3[20]設(shè)，若?ε＞0，?N∈N，當(dāng) n＞N 時，有 A?An+ε 且 An?A+ε，則稱{An}依序?收斂于，記為

注3用不等式組且代替文獻[20]中的，這是考慮A-ε到未必再屬于 P0（R+m）。

注4由注1及注2可知，除極限值為外，上述極限在集合相等意義下一般是不唯一的；若把P0（R+m）中“擬等價”的元素視為同一元素，則極限是唯一的。

定義 4[21]設(shè)（X，Ω）為可測空間，集函數(shù) π：滿足以下條件：

則稱π為（X，Ω）上的單調(diào)集值測度，稱（X，Ω，π）為單調(diào)集值測度空間。

若無特別說明，該文總設(shè)（X，Ω，π）為單調(diào)集值測度空間，fn（n≥1），f均為定義在（X，Ω，π）上的實值可測函數(shù)。

定義 5[21]如果有則稱 π 是集值強序連續(xù)的。

定義6[21]設(shè)π為（X，Ω）上的單調(diào)集值測度，

（2）如果存在子集 E?X，滿足 π（E）={0?}（分別地，π（XE）=π（X））且在 XE 上， fn收斂于 f，則稱{fn}在 X上幾乎處處收斂（分別地，偽幾乎處處收斂）于 f，記作

（3）如果對?ε＞0，存在子集 Xε?X，滿足 π（Xε）?{εˉ}且在 XXε上，fn一致收斂于 f，則稱{fn}在 X 上基本一致收斂于 f，記作

2 關(guān)于單調(diào)集值測度的Egoroff型定理

首先，在單調(diào)集值空間中引入幾個新的概念。

定義7設(shè)π為（X，Ω）上的單調(diào)集值測度，

（1）若?{An}?Ω 滿足都存在子列{Ank}?{An}，使得則稱 π 滿足 S*性質(zhì)。 （2）若?{An}?Ω 滿足都存在子列{Ank}?{An}，使得則稱 π 滿足PS*性質(zhì)。

定義8設(shè)π為（X，Ω）上的單調(diào)集值測度，如果對于每個雙序列滿足以下條件：

則?ε＞0，都存在數(shù)列{nm}?N+，使得那么稱 π 滿足 Egoroff條件。

下面將給出一個 Egoroff條件成立的充分條件。 An↓A 且

定理1若單調(diào)集值測度π是集值強序連續(xù)的且滿足S*性質(zhì)，則π滿足Egoroff條件。

證明令雙序列滿足當(dāng) m≥m′，n≤n′時有由于{Anm}關(guān)于n遞減且 π 是集值強序連續(xù)的，所以從而存在正整數(shù) n（m）使得 π（An（m）m）由于 π 滿足 S*性質(zhì)，故存在數(shù)列{mk}?N+使得由π的強序連續(xù)性可知存在j∈N+使得定義數(shù)列{nm}?N+如下

從而

故π滿足Egoroff條件。

以下定理給出了Egoroff條件成立的必要條件。

定理2若π滿足Egoroff條件，則π是集值強序連續(xù)的。

證明假設(shè)π滿足Egoroff條件，令遞減序列{Bn}收斂至集合B且π（B）={0?}。定義雙序列{Anm}如下

由于 π 滿足 Egoroff條件，所以?ε＞0，存在數(shù)列{nm}?N+，使得

定理3π滿足Egoroff條件當(dāng)且僅當(dāng)若fn幾乎處處收斂于f，則fn基本一致收斂于f。

證明假設(shè)Egoroff條件成立并且可測函數(shù)列{fn}幾乎處處收斂于f。取m，n∈N+，使得

反之，假設(shè)若fn幾乎處處收斂于f，則fn基本一致收斂于f。令雙序列滿足當(dāng) m≥m′，n≤n′時有且?ε＞0，定義可測函數(shù)

那么，對?m，n∈N+

下面，定義另一個新的條件且該定義只涉及單序列。

定義9設(shè)π為（X，Ω）上的單調(diào)集值測度，如果則?ε＞0，存在嚴(yán)格遞增數(shù)列{mn}?使得則稱 π 滿足條件 M*。

引理1[6]設(shè)（X，Ω）為可測空間。對于任一雙序列滿足當(dāng) m≥m′，n≤n′時有都存在序列{En}使得并且對于任一嚴(yán)格遞增的數(shù)列{kn}?N+，都存在一個數(shù)列{ni}?N+使得

定理4設(shè)π為（X，Ω）上的單調(diào)集值測度，那么π滿足條件M*當(dāng)且僅當(dāng)π滿足Egoroff條件。

證明必要性：令雙序列滿足以下條件：（1）當(dāng) m≥m′，n≤n′時有由引理 1 可知存在序列{En}使得對?n∈N+，En都是可測的且有

由于π滿足條件M*，所以?ε＞0，存在嚴(yán)格遞增數(shù)列{ln}?N+使得由引理 1，存在數(shù)列{ni}?N+使得從而

下證存在數(shù)列{ki}?N+使得?l∈N+，由上述已證，存在數(shù)列{kil}?N+，使得對?m∈N+，定義則對任意l＞0的整數(shù)和h≥0，總有從而由于且所以由此可知從而有

現(xiàn)在令Ei=Akii，則因為 π 滿足條件 M*，所以存在數(shù)列{hj}?N+使得

故π滿足Egoroff條件。

充分性：設(shè)序列{En}滿足定義雙序列{Anm}使得

注5由定理3及定理4可知條件M*也是Egoroff定理成立的充要條件。在文獻[21]中，開學(xué)文等人證明了條件E*為Egoroff定理成立的充要條件，所以Egoroff條件等價于條件M*也等價于條件E*。但是條件M*只涉及到了單序列，而Egoroff條件以及條件E*都是關(guān)于雙序列的條件，所以文中所提出的條件M*形式更簡潔，是對Egoroff定理研究的進一步推廣。

3 關(guān)于單調(diào)集值測度的Riesz型定理

定理5π滿足S*性質(zhì)當(dāng)且僅當(dāng)若則存在子序列{fnk}滿足

證明充分性：令{An}?Ω且

易知fnkm在上收斂于f，即故定理得證。

定理6π滿足PS*性質(zhì)當(dāng)且僅當(dāng)若則存在子列{fnk}滿足

證明充分性：令{An}?Ω且定義

必要性：設(shè) fn→p.πf，則存在遞增數(shù)列{nk}?N+，使得

由于 π 滿足 PS*性質(zhì)，所以存在子列{Akm}，使得

[1]WANG Z Y.Asymptotic structural characteristics of fuzzy measures and their applications[J].Fuzzy Sets and Systems，1985，16（3）：277-290.

[2]SUN Q H.Property （S） of fuzzy measure and Riesz’s theorem[J].Fuzzy Sets and Systems，1994，62（1）：117-119.

[3]HA M H，CHENG L X，WANG X Z.Notes on Riesz’s theorem on fuzzy measure space[J].Fuzzy Sets and Systems，1997，90（3）：361-363.

[4]MUROFUSHI T，UCHINO K，ASAHINA S.Conditions for Egoroff’s theorem in non-additive measure theory[J].Fuzzy Sets and Systems，2004，146（1）：135-146.

[5]SONG J J，LI J.Lebesgue theorems in non-additive measure theory[J].Fuzzy Sets and Systems，2005，149（3）：543-548.

[6]TAKAHASHI M，MUROFUSHI T，ASAHINA S.A new necessary and sufficient condition for the Egoroff theorem in non-additive measure theory[J].Fuzzy Sets and Systems，2014，244：34-40.

[7]LI J.A further investigation for Egoroff’s theorem with respect to monotone set functions[J].Kybernetika，2003，39（6）：753-760.

[8]LI J，MESIAR R.Lusin’s theorem on monotone measure spaces[J].Fuzzy Sets and Systems，2011，175（1）：75-86.

[9]GAVRILUT A C.Properties of regularity for multisubmeasures[J].Annals of the Alexandru Ioan Cuza University-Mathematics，2004，50（2）：373-392.

[10]GAVRILUT A C.Non-atomicity and the Darboux property for fuzzy and non-fuzzy Borel/Baire multivalued set functions[J].Fuzzy Sets and Systems，2009，160（9）：1308-1317.

[11]GAVRILUT A C，Croitoru A.Non-atomicity for fuzzy and non-fuzzy multivalued set functions[J].Fuzzy Sets and Systems，2009，160（14）：2106-2116.

[12]GAVRILUT A C.Regularity and autocontinuity of set multifunctions[J].Fuzzy Sets and Systems，2010，161（5）：681-693.

[13]GAVRILUT A C，CROITORU A.Pseudo-atoms and Darboux property for set multifunctions[J].Fuzzy Sets and Systems，2010，161（22）：2897-2908.

[14]GAVRILUT A C.A Lusin type theorem for regular monotone uniformly autocontinuous set multifunctions[J].Fuzzy Sets and Systems，2010，161（22）：2909-2918.

[15]GAVRILUT A C.Abstract regular null-null-additive set multifunctions in Hausdorff topology[J].Annals of the Alexandru Ioan Cuza University－Mathematics，2013，59（1）：129-147.

[16]GAVRILUT A C.Alexandroff theorem in Hausdorff topology for null-null-additive set multifunctions[J].Annals of the Alexandru Ioan Cuza University-Mathematics，2013，59（2）：237-251.

[17]PRECUPANU A，GAVRILUT A C.A set-valued Egoroff type theorem[J].Fuzzy Sets and Systems，2011，175（1）：87-95.

[18]RECUPANU A，GAVRILUT A C.Set-valued Lusin type theorem for null-null-additive set multifunctions[J].Fuzzy Sets and Systems，2012，204：106-116.

[19]GUO C M，ZHANG D L.On set-valued fuzzy measures[J].Information Sciences，2004，160（1-4）：13-25.

[20]高娜，李艷紅，王貴君.集值模糊測度的自連續(xù)性[J].四川師范大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2008，31（4）：386-389.

[21]開學(xué)文，吳健榮，李嬌嬌.單調(diào)集值測度空間上的Lebesgue和Egoroff型定理[J].西南師范大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2015，40（8）：10-16.

[22]WU J R，KAI X W，LI J J.Atoms of monotone set-valued measures and integrals[J].Fuzzy Sets and Systems，2016，304：131-139.