基于矩陣的多粒度粗糙集上、下近似表示

汪小燕，彭 剛，沈家蘭，申元霞

（安徽工業(yè)大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，安徽 馬鞍山 243032）

粗糙集理論[1]是波蘭學(xué)者Pawlak教授于1982年提出的分析不完整、不精確知識(shí)的數(shù)學(xué)工具。經(jīng)過(guò)幾十年來(lái)的發(fā)展，與粗糙集相關(guān)的研究已經(jīng)取得了巨大的進(jìn)步，并成功地運(yùn)用于數(shù)據(jù)挖掘、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、智能計(jì)算等領(lǐng)域。

多粒度粗糙集[2-9]是近些年粗糙集研究的一個(gè)重要方向，是Pawlak粗糙集理論的發(fā)展，它利用多個(gè)粒度空間對(duì)目標(biāo)概念進(jìn)行近似逼近，使得目標(biāo)概念的表示精度進(jìn)一步提高，并可以與其他處理不確定知識(shí)的理論結(jié)合。多粒度粗糙集模型中的關(guān)鍵理論是上、下近似，計(jì)算上、下近似對(duì)獲取決策知識(shí)具有重要的意義。一般上、下近似求取是根據(jù)定義中提供的公式來(lái)計(jì)算，計(jì)算過(guò)程不直觀且容易出錯(cuò)。矩陣在粗糙集中應(yīng)用廣泛，如：屬性約簡(jiǎn)[10]，屬性值分類[11]等。筆者提出多粒度二進(jìn)制矩陣，利用矩陣獲取集合的上、下近似，計(jì)算簡(jiǎn)單、直觀，而且很容易計(jì)算關(guān)于不同粒度組合的上、下近似。

1 基本概念

粒計(jì)算是近些年發(fā)展起來(lái)的一門(mén)學(xué)科，錢(qián)宇華等學(xué)者將粗糙集理論進(jìn)行擴(kuò)展，打破傳統(tǒng)的單粒度結(jié)構(gòu)，采用多個(gè)知識(shí)粒近似表示目標(biāo)概念，提出了多粒度粗糙集模型，包括樂(lè)觀多粒度粗糙集和悲觀多粒度粗糙集。目前，多粒度粗糙集已成為研究粒計(jì)算的重要工具。

定義 1[2]設(shè)信息系統(tǒng) IS＝＜U，AT，V，f＞，A={A1，A2，…，Am}是 AT 的 m 個(gè)屬性子集，?X?U，則 X 關(guān)于屬性子集A的樂(lè)觀多粒度粗糙集的下、上近似定義為

定義 2[2]設(shè)信息系統(tǒng) IS＝＜U，AT，V，f＞，A={A1，A2，…，Am}是 AT 的 m 個(gè)屬性子集，?X?U，則 X 關(guān)于屬性子集A的悲觀多粒度粗糙集的下、上近似定義為

2 多粒度粗糙集二進(jìn)制矩陣

定義 3設(shè) S＝＜U，AT，V，f＞是一個(gè)信息系統(tǒng)，其中 A1，A2，…，Am?AT，D 為決策屬性，A={A1，A2，…，Am}，U/D={Y1，Y2，…，Yn}，則多粒度粗糙集二進(jìn)制矩陣 M={mij}定義為

根據(jù)定義1、定義2中樂(lè)（悲）觀多粒度粗糙集的上、下近似定義，結(jié)合多粒度粗糙集二進(jìn)制矩陣，可得如下推論。

推論1M是多粒度粗糙集二進(jìn)制矩陣，A是所有條件屬性粒度集合，若某個(gè)對(duì)象x∈U與某個(gè)決策類Y∈U/D所對(duì)應(yīng)的元素mij包含1，則

推論2 多粒度粗糙集二進(jìn)制矩陣M中，A是所有條件屬性粒度集合，對(duì)Y∈U/D，則Y∈U/D列包含1的元素mij所對(duì)應(yīng)的對(duì)象x}。

推論3M是多粒度粗糙集二進(jìn)制矩陣，A是所有條件屬性粒度集合，若某個(gè)對(duì)象x∈U與某個(gè)決策類Y∈U/D所對(duì)應(yīng)的元素mij不包含1，則

推論4M是多粒度粗糙集二進(jìn)制矩陣，A是所有條件屬性粒度集合，U/D＝{Y1，Y2}，若某個(gè)對(duì)象x∈U與決策類Y2所對(duì)應(yīng)的元素mij不包含1，則

推論5M是多粒度粗糙集二進(jìn)制矩陣，A是所有條件屬性粒度集合，U/D＝{Y1，Y2}，則U：Y2列不包含1的元素mij所對(duì)應(yīng)的對(duì)象x}。

推論6M是多粒度粗糙集二進(jìn)制矩陣，A是所有條件屬性粒度集合，若某個(gè)對(duì)象x∈U與某個(gè)決策類Y∈U/D所對(duì)應(yīng)的元素mij包含m個(gè)1，則

推論7多粒度粗糙集二進(jìn)制矩陣M中，A是所有條件屬性粒度集合，對(duì)Y∈U/D，則Y∈U/D列包含m個(gè)1的元素mij所對(duì)應(yīng)的對(duì)象x}。

推論8M是多粒度粗糙集二進(jìn)制矩陣，A是所有條件屬性粒度集合，若某個(gè)對(duì)象x∈U與某個(gè)決策類Y∈U/D所對(duì)應(yīng)的元素mij包含0，則

推論9M是多粒度粗糙集二進(jìn)制矩陣，A是所有條件屬性粒度集合，U/D＝{Y1，Y2}，若某個(gè)對(duì)象x∈U與決策類Y2所對(duì)應(yīng)的元素mij含有0，則U：Y2列包含0的元素mij所對(duì)應(yīng)的對(duì)象x}。

推論10M是多粒度粗糙集二進(jìn)制矩陣，A是所有條件屬性粒度集合，U/D＝{Y1，Y2}，則

3 實(shí)例分析

設(shè)決策系統(tǒng) IS＝＜U，AT，V，f＞，其中對(duì)象集 U={x1，x2，…，x9}，條件屬性 AT={c1，c2，c3，c4}，d 為決策屬性，見(jiàn)表 1。由表 1 知 U/IND（g0gggggg）={D1，D2}，其中 D1＝{x1，x3，x5，x7，x9}，D2＝{x2，x4，x6，x8}，設(shè)決策信息系統(tǒng)的屬性子集族如下：A＝{A1，A2，A3}={{c1，c2，}，{c2，c3}，{c3，c4}}。

根據(jù)定義3建立多粒度粗糙集二進(jìn)制矩陣見(jiàn)表2。

表1 決策系統(tǒng)

表2 二進(jìn)制矩陣

由表2可獲得多粒度粗糙集的下近似、上近似分別為

當(dāng)粒度組合B={A1，A3}時(shí)，計(jì)算B關(guān)于D1，D2下近似、上近似時(shí)，只需要關(guān)注表2中每個(gè)mij的第一和第三個(gè)元素，現(xiàn)針對(duì)悲觀多粒度粗糙集，以決策類D1為例。

4 結(jié)語(yǔ)

研究了多粒度粗糙集的上、下近似計(jì)算，提出了多粒度粗糙集二進(jìn)制矩陣，該矩陣反映了不同粒度分類是否包含于決策類情況，根據(jù)矩陣元素值可確定相應(yīng)對(duì)象是否屬于上、下近似，也可以快速計(jì)算不同粒度組合的上、下近似。并通過(guò)實(shí)例證明了用矩陣表達(dá)上、下近似的有效性。

[1]PAWLAK Z.Rough sets[J].International Journal of Computer and Information Science，1982，11（5）：341-356.

[2]QIAN Yuhua，LIANG Jiye，YAO Yiyu，et al.MGRS：A multi-granulation rough set[J].Information Sciences，2010，180（6）：949-970.

[3]QIAN Yuhua，LIANG Jiye，DANG Chunying.Incomplete multi-granulation rough set[J].IEEE Transaction on SystemsManand Cybernetics：Part A，2010，40（2）：420-431.

[4]QIAN Y，LI S，LIANG J，et al.Pessimistic rough set based decisions：A multi-granulation fusion strategy[J].Information Sciences An International Journal，2014，264（6）：196－210.

[5]LIN Guoping，QIAN Yuhua，LIANG Jiye.NMGRS：Neighborhood-based multi-granulation rough sets[J].International Journal of Approximate Reasoning，2012，53（7）：1080－1093.

[6]YANG Y，SONG X，CHEN Z，et al.Multi-granulation Rough sets in incomplete information system[J].International Journal of Machine Learning&Cybernetics，2012，3（3）：223-232.

[7]XU Weihua，WANG Qiaorong，LUO Shuqun.Multi-granulation rough sets based on tolerance relations[J].Soft Computing，2013，17（7）：1241-1252.

[8]徐怡，楊宏健，紀(jì)霞.基于雙重粒化準(zhǔn)則的鄰域多粒度粗糙集模型[J].控制與決策，2015，30（8）：1469-1478.

[9]沈家蘭，汪小燕，申元霞.可變程度多粒度粗糙集[J].小型微型計(jì)算機(jī)系統(tǒng)，2016，37（5）：1012-1016.

[10]汪小燕，程澤凱，申元霞.一種新的決策表屬性值分類方法[J].蘇州科技大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2016，33（1）：61-64.

[11]汪小燕，楊思春，申元霞.變精度粗集模型的屬性約簡(jiǎn)研究[J].計(jì)算機(jī)工程與應(yīng)用，2015，51（14）：95-98.