ARIMA乘積季節(jié)模型在財(cái)政收入預(yù)測(cè)中的應(yīng)用

蔣澤迪，程毛林

（蘇州科技大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，江蘇 蘇州 215009）

財(cái)政收入是衡量一個(gè)國(guó)家綜合經(jīng)濟(jì)實(shí)力的重要指標(biāo)之一，是國(guó)家制定相關(guān)經(jīng)濟(jì)政策的重要參考標(biāo)準(zhǔn)之一。對(duì)財(cái)政收入進(jìn)行提前預(yù)測(cè)，有利于國(guó)家對(duì)未來的財(cái)政支出作出更加合理的預(yù)算，有利于國(guó)家制定與未來經(jīng)濟(jì)走勢(shì)更加吻合的經(jīng)濟(jì)財(cái)政政策。國(guó)家財(cái)政季度收入是隨著時(shí)間變化的一組隨機(jī)數(shù)字序列，序列的整體變化呈現(xiàn)一定的規(guī)律性。因此，可以利用時(shí)間序列分析方法，對(duì)國(guó)家財(cái)政季度收入建立模型，利用建立的模型對(duì)未來的財(cái)政季度收入進(jìn)行預(yù)測(cè)。

文中介紹了ARIMA乘積季節(jié)模型的基本知識(shí)，通過乘積季節(jié)模型對(duì)2004年第一季度至2016年第三季度的中國(guó)國(guó)家財(cái)政收入的季度數(shù)據(jù)進(jìn)行建模，利用建立的模型對(duì)未來國(guó)家財(cái)政的季度收入進(jìn)行預(yù)測(cè)，得到了未來國(guó)家財(cái)政季度收入的預(yù)測(cè)值，可以為國(guó)家制定合理的財(cái)政政策提供一定的參考。

1 ARIMA乘積季節(jié)模型結(jié)構(gòu)與建模步驟

ARMA模型是由美國(guó)學(xué)者博克斯（George Box）和英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家詹金斯（Gwilym Jenkins）共同建立的，也稱為博克斯-詹金斯法，簡(jiǎn)稱B-J法[1]。ARMA模型主要的組成部分包括了AR自回歸模型與MA移動(dòng)平均模型。

1.1 ARIMA 模型[2－3]結(jié)構(gòu)

如果時(shí)間序列{Yt}是一個(gè)非平穩(wěn)序列，通過對(duì)其進(jìn)行d階的差分運(yùn)算，可以使其成為一個(gè)平穩(wěn)的時(shí)間序列，那么就稱{Yt}是一個(gè)具有階p，d，q的求和自回歸移動(dòng)平均模型（ARIMA），模型的結(jié)構(gòu)為

其中，▽d=（1-B）d，B 為后移算子，BYt＝Y(jié)t－1，▽為差分運(yùn)算，▽＝（1-B），d 為差分階數(shù)，Φ（B）＝1-φ1B-φ2B2-…-φpBp，φ1，φ2，…，φp為自回歸系數(shù)，Θ（B）＝1-θ1B-θ2B2-…θqBq，θ1，θ2，…，θq為移動(dòng)平均系數(shù)，E（εt）＝0，Var（εt）＝σt2，?s≤t，E（Yt·εt）＝0。

1.2 乘積季節(jié)ARIMA模型[4-5]結(jié)構(gòu)

季節(jié)性時(shí)間序列的典型特征主要表現(xiàn)為在時(shí)間間隔為周期長(zhǎng)度S的兩個(gè)時(shí)間點(diǎn)上的隨機(jī)變量有相對(duì)較

其中，D 是非負(fù)整數(shù)，▽SD=（1-BS）D，S 為季節(jié)性周期，D 為季節(jié)性差分階數(shù)，▽S=1-BS為季節(jié)差分算子，U（BS）=1-Γ1BS-Γ2B2S-…-ΓPBPS，Γ1，Γ2，…，ΓP為季節(jié)自回歸系數(shù)，V（BS）＝1-H1BS-H2B2S-…-HQBQS，H1，H2，…，HQ為季節(jié)移動(dòng)平均系數(shù)。

如果假設(shè) εt是 ARIMA（p，d，q）模型，那么（1）式可以改寫為

稱（2）式為乘積季節(jié) ARIMA 模型[2]，其中，Φ（B）＝1-φ1B-φ2B2-…-φpBp，U（BS）=1-Γ1BS-Γ2B2S-…-ΓPBPS，▽d=（1-B）d，▽SD=（1-BS）D，Θ（B）＝1-θ1B-θ2B2-…θqBq，V（BS）＝1-H1BS-H2B2S-…-HQBQS。

1.3 建模的基本步驟

（1）數(shù)據(jù)的獲取：通過國(guó)家統(tǒng)計(jì)局網(wǎng)站獲得2004年到2016年的國(guó)家財(cái)政收入的相關(guān)數(shù)據(jù)，經(jīng)過計(jì)算和處理得到2004年第一季度到2016年第三季度的國(guó)家財(cái)政收入的季度數(shù)據(jù)，建立財(cái)政收入的時(shí)間序列；

（2）數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性檢驗(yàn)及處理：利用ADF單位根檢驗(yàn)的方法，對(duì)時(shí)間序列進(jìn)行單位根檢驗(yàn)，確定序列是否為平穩(wěn)的時(shí)間序列，如果序列是非平穩(wěn)的時(shí)間序列，則需要對(duì)原序列進(jìn)行普通差分和季節(jié)差分[6]，使其成為平穩(wěn)的時(shí)間序列；

（3）模型的識(shí)別與建立：利用Box-Jenkins方法對(duì)乘積季節(jié)模型的階數(shù)和模型的參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，通過觀察時(shí)間序列的自相關(guān)、偏自相關(guān)函數(shù)的截尾或者拖尾特性，確定模型的參數(shù)p、d、P、D；

（4）模型的檢驗(yàn)與診斷：對(duì)建立模型的殘差序列進(jìn)行診斷，判斷殘差序列是否是白噪聲序列，如果殘差序列不是白噪聲序列，則需要對(duì)已經(jīng)建立的模型進(jìn)行修改，重新建立模型；

（5）預(yù)測(cè)：利用已經(jīng)建立的模型對(duì)序列在未來某個(gè)時(shí)刻的取值進(jìn)行預(yù)測(cè)，比較預(yù)測(cè)值與實(shí)際值的相對(duì)誤差[7－8]，如果相對(duì)誤差小于5%，則說明已經(jīng)建立的模型的預(yù)測(cè)精度比較高，對(duì)未來的預(yù)測(cè)值比較準(zhǔn)確。強(qiáng)的相關(guān)性。如果時(shí)間序列{Yt}是一個(gè)季節(jié)性時(shí)間序列，關(guān)于{Yt}的季節(jié)性模型結(jié)構(gòu)為

2 模型的建立

2.1 數(shù)據(jù)來源

文中的財(cái)政數(shù)據(jù)來源于中國(guó)國(guó)家統(tǒng)計(jì)局網(wǎng)站，通過對(duì)歷年財(cái)政收入（億元）的數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算與處理，得到了2004年第一季度到2016年第三季度的中國(guó)國(guó)家財(cái)政收入的51個(gè)季度數(shù)據(jù)，將51個(gè)季度數(shù)據(jù)構(gòu)成的時(shí)間序列記為X。

2.2 數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性檢驗(yàn)和處理[9]

通過軟件Eviews8.0對(duì)數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性進(jìn)行檢驗(yàn)，將由2004年第一季度到2016年第三季度的中國(guó)國(guó)家財(cái)政收入的51個(gè)季度數(shù)據(jù)所構(gòu)成的時(shí)間序列X導(dǎo)入到Eviews8.0[10－11]中，對(duì)序列X做對(duì)數(shù)處理，記為Y=log（X），生成新的序列Y，對(duì)序列Y作出時(shí)間序列折線圖（圖1）。通過對(duì)Y序列折線圖的觀察，可以發(fā)現(xiàn)序列Y具有趨勢(shì)性和季節(jié)性波動(dòng)。采用ADF單位根檢驗(yàn)的方法對(duì)序列Y進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn)（圖2），通過觀察可以發(fā)現(xiàn)，檢驗(yàn)t統(tǒng)計(jì)量的值為-2.729 691，大于顯著性水平為5%的臨界值-2.928 142。因此，認(rèn)為序列Y存在著單位根，是非平穩(wěn)序列。

圖1 Y序列的時(shí)間序列折線圖

圖2 Y序列的ADF單位根檢驗(yàn)結(jié)果

所以，下面對(duì)序列Y做一階差分處理，記為DY，對(duì)DY采用ADF單位根檢驗(yàn)的方法進(jìn)行檢驗(yàn)，如圖3。可以觀察到t統(tǒng)計(jì)量的值為-3.210 999，小于顯著性水平在5%的臨界值-2.928 142，對(duì)應(yīng)的概率為0.025 8，小于0.05，所以認(rèn)為序列DY不存在單位根，是平穩(wěn)的序列。通過對(duì)DY的自相關(guān)和偏自相關(guān)分析圖（圖4）的觀察，可以發(fā)現(xiàn)，序列DY的趨勢(shì)基本消除，但季節(jié)性依舊存在。

為了消除序列DY的季節(jié)性影響，需要對(duì)序列DY做一階季節(jié)差分，記為SDY，繪制序列SDY的自相關(guān)和偏自相關(guān)分析圖（圖5）。由圖觀察發(fā)現(xiàn)，序列SDY的季節(jié)性基本消除，采用ADF單位根檢驗(yàn)的方法對(duì)SDY進(jìn)行單位根檢驗(yàn)（圖6）。從圖6中可以看出，統(tǒng)計(jì)量t的值為-5.367 031，小于顯著性水平1%的臨界值-3.592 462，對(duì)應(yīng)的概率為0.000 1，遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于0.05，所以SDY是平穩(wěn)序列。

圖3 序列DY的ADF單位根檢驗(yàn)結(jié)果

圖4 時(shí)間序列DY的自相關(guān)和偏自相關(guān)圖

圖5 時(shí)間序列SDY的自相關(guān)和偏自相關(guān)圖

圖6 序列SDY的ADF單位根檢驗(yàn)結(jié)果

2.3 模型的識(shí)別與建立

筆者發(fā)現(xiàn)序列Y經(jīng)過一階差分和一階季節(jié)差分之后，序列的周期性和季節(jié)性基本消除，所以d=1，D=1。由圖5可以知道，s=4的時(shí)候，偏自相關(guān)系數(shù)顯著不為0，所以選擇P=1。自相關(guān)系數(shù)顯著不為0，所以選擇Q=1，初步判斷ARIMA乘積季節(jié)模型為（p，1，q）×（1，1，1）4。 根據(jù)對(duì)圖 5 關(guān)于 SDY 的自相關(guān)和偏自相關(guān)圖的觀察，可以發(fā)現(xiàn)SDY的自相關(guān)和偏自相關(guān)圖都是拖尾的，結(jié)合ARMA（p，q）模型定階的基本原則，主要考慮的模型[12－13]為 ARIMA（4，1，4）×（1，1，1）4，ARIMA（4，1，3）×（1，1，1）4，ARIMA（3，1，3）×（1，1，1）4。 模型選擇之后，就要對(duì)選擇的模型的參數(shù)進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)，并且根據(jù)AIC準(zhǔn)則選擇最優(yōu)模型。三個(gè)模型的參數(shù)估計(jì)結(jié)果分別如圖7，圖8和圖9，比較三個(gè)模型的參數(shù)檢驗(yàn)結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)模型 ARIMA（4，1，4）×（1，1，1）4為最優(yōu)模型，AIC=-2.795 602為最小的，SC值也比較小，R2值達(dá)到了最大，所以選擇第一個(gè)模型 ARIMA（4，1，4）×（1，1，1）4是合適的。

圖 7 ARIMA（4，1，4）×（1，1，1）4

圖 8 ARIMA（4，1，3）×（1，1，1）4

圖 9 ARIMA（3，1，3）×（1，1，1）4

根據(jù)圖 7 可以得到模型 ARIMA（4，1，4）×（1，1，1）4的參數(shù)估計(jì)，從而得到模型的擬合方程為

2.4 模型的檢驗(yàn)與診斷[14-15]

通過模型的識(shí)別與建立，筆者選擇了模型 ARIMA（4，1，4）×（1，1，1）4作為最佳模型。 現(xiàn)在對(duì)模型 ARIMA（4，1，4）×（1，1，1）4進(jìn)行殘差檢驗(yàn)，如果殘差為白噪聲序列，說明已經(jīng)建立的模型 ARIMA（4，1，4）×（1，1，1）4包含了原始序列的所有趨勢(shì)，提取了原始數(shù)據(jù)中所包含的信息，則模型通過適應(yīng)性檢驗(yàn)。如果殘差序列不是白噪聲序列，那么說明模型還需要改建，需要重新進(jìn)行模型的識(shí)別和建立。對(duì)模型 ARIMA（4，1，4）×（1，1，1）4的殘差序列進(jìn)行檢驗(yàn)，作出模型 ARIMA（4，1，4）×（1，1，1）4殘差序列的自相關(guān)和偏自相關(guān)圖（圖10），如圖所示。殘差序列的各滯后階數(shù)的自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)都接近于零；對(duì)殘差序列進(jìn)行單位根檢驗(yàn)，檢驗(yàn)結(jié)果如圖11。檢驗(yàn)t統(tǒng)計(jì)量的值為-6.542 360，小于顯著性水平為1%的臨界值，殘差序列為白噪聲序列，所以 ARIMA（4，1，4）×（1，1，1）4模型通過了殘差檢驗(yàn)，該模型可以很好的擬合時(shí)間序列的變化趨勢(shì)。

圖10 殘差序列的自相關(guān)和偏自相關(guān)圖

圖11 殘差序列的ADF單位根檢驗(yàn)結(jié)果

表1 財(cái)政收入預(yù)測(cè)數(shù)值與實(shí)際數(shù)值的比較

2.5 預(yù)測(cè)

通過運(yùn)用已經(jīng)建立的 ARIMA （4，1，4）×（1，1，1）4模型進(jìn)行預(yù)測(cè)。將預(yù)測(cè)的數(shù)值進(jìn)行指數(shù)變換，即可得到2015年第一季度到2017年第三季度的財(cái)政收入季度數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)數(shù)值，并將預(yù)測(cè)數(shù)值與實(shí)際數(shù)值進(jìn)行比較分析，結(jié)果如表1所示。同時(shí)，通過模型可以得到X時(shí)間序列的所有預(yù)測(cè)值，畫出時(shí)間序列X的真實(shí)值和模型預(yù)測(cè)值的時(shí)間序列圖（如圖 12）。

通過對(duì)表1的觀察可以發(fā)現(xiàn)，將2015年第一季度到2016年第三季度的預(yù)測(cè)數(shù)值與實(shí)際數(shù)值進(jìn)行比較，相對(duì)誤差都在 5%以內(nèi)，說明模型 ARIMA（4，1，4）×（1，1，1）4的擬合效果比較好。同時(shí)，由圖12可以看出X序列的真實(shí)數(shù)值和預(yù)測(cè)數(shù)值的變化趨勢(shì)基本一致，預(yù)測(cè)數(shù)值與實(shí)際數(shù)值基本吻合。所以，文中建立的模型的擬合效果比較好，預(yù)測(cè)精度比較高。

圖12 X序列真實(shí)值和預(yù)測(cè)值

3 結(jié)語

通過對(duì)2004年第一季度到2016年第三季度的財(cái)政收入數(shù)據(jù)進(jìn)行時(shí)間序列分析，運(yùn)用Eviews8.0軟件進(jìn)行探究財(cái)政收入趨勢(shì)性和季節(jié)性的內(nèi)在變化規(guī)律，建立 ARIMA 乘積季節(jié)模型 ARIMA（4，1，4）（1，1，1）4。該模型很好的擬合了財(cái)政收入季度數(shù)據(jù)時(shí)間序列的趨勢(shì)性和季節(jié)性，可以在短期內(nèi)預(yù)測(cè)國(guó)家的財(cái)政收入，對(duì)政府制定相應(yīng)的宏觀經(jīng)濟(jì)政策和財(cái)政政策都具有一定的參考意義。

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