跳躍擴(kuò)散Cox-Ingersoll-Ross利率模型

盛 潔，閆理坦

（東華大學(xué) 理學(xué)院，上海201620）

短期利率模型的成功性（體現(xiàn)在如Vasicek模型和Cox-Ingersoll-Ross模型等），主要在于模型在解析債券和債券期權(quán)定價上的可能性。經(jīng)典的時齊利率的模型包括Vasicek（1977）、Dothan（1978）和Cox-Ingersoll-Ross（1985）模型。這些經(jīng)典模型的表達(dá)式均為連續(xù)時間擴(kuò)散隨機(jī)微分方程，擁有如下形式

為了更加準(zhǔn)確地描述利率數(shù)據(jù)變化的隨機(jī)現(xiàn)象，隨后帶跳的擴(kuò)散過程得到了發(fā)展，并被廣泛應(yīng)用于實(shí)時變化的股價、收益率、固定收益、能源等市場，及信用相關(guān)的固定時間序列，如貸款、企業(yè)債券等?，F(xiàn)有大量證據(jù)表明金融過程中存在跳。早在1996年，Bates[1]就研究了貨幣市場中DM期權(quán)的跳過程；2002年Andresen[2]等人以及2003年Eraker[3]等人研究了股票市場的跳過程；Duffie和Singleton[4]研究了風(fēng)險信用問題中的跳過程；2004 年，Johannes[5]、Piazzesi[6]研究了債券市場的跳過程；Barndorff-Nielsen 和 Shephard[7]、Chen[8]、Anderson[9]等人研究了收益的波動中的跳過程。從統(tǒng)計角度看，跳躍擴(kuò)散過程是相對擴(kuò)散過程的一個更一般的模型，更貼近真實(shí)情況，且對真實(shí)情況有更好的處理效果（White[10]研究結(jié)果顯示帶跳模型可以對真實(shí)的數(shù)據(jù)更好地近似）。而在經(jīng)典的時齊短期利率模型中，Cox-Ingersoll-Ross模型在Vasicek的基礎(chǔ)上在擴(kuò)散系數(shù)中加入了平方根項(xiàng)，從而保證了它的瞬時短期利率始終為正，這與Vasicek模型相比更符合利率的實(shí)際情況。

因此，該文主要研究的是帶跳的Cox-Ingersoll-Ross模型（以下簡稱為JCIR模型），以求更加貼近實(shí)際的利率數(shù)據(jù)情況。

1 跳躍CIR模型

在CIR模型中加入跳躍項(xiàng)，同時又保留對債券價格的分析可追蹤性，Jamshidian附息國債和掉期期權(quán)分解部分可行性等其他的一些性質(zhì)。假設(shè)

其中J是純跳過程，跳躍發(fā)生率λ＞0，R+上跳躍尺度的分布為π。值得注意的是，限制了跳躍是正的，保留基本CIR過程的利率為正的特性。假設(shè)π是一個指數(shù)分布，期望為μ＞0，且其中M為強(qiáng)度為λ的時齊泊松過程，Ys呈參數(shù)為μ的指數(shù)分布。λ越大，發(fā)生跳躍頻率越高，μ越大，跳躍的尺度越大。為了更直觀的觀察，（1）式還可以寫成

其中W是標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動，Nt是泊松過程，跳的尺度J服從均值為μ的指數(shù)分布，跳發(fā)生時間服從均值為l=1/λ 的指數(shù)分布。 Wt和 Jt相互獨(dú)立，跳躍尺度和跳躍發(fā)生時間相互獨(dú)立。 則參數(shù) θ=（k，γ，σ，μ，l）∈Θ?Rd，Θ是緊集。 借用 George[11]的結(jié)果，（2）式的轉(zhuǎn)移密度特征函數(shù)（p=1，q=0）（給定 X0=x0，時間間隔為 δ）

其中

2 Laplace逆變換

先來回顧一下逆變換的基本概念。設(shè)隨機(jī)變量X為實(shí)值變量，有分布函數(shù)F，即F（t）=P（X≤t）。則X的特征函數(shù)（CF）為實(shí)數(shù)參數(shù)的復(fù)值函數(shù)

只需在特征函數(shù)上做一點(diǎn)小調(diào)整即可得到f的Fourier變換，也就是說，φ（-s）是f的標(biāo)準(zhǔn)Fourier變換，F(xiàn)的Fourier-Stieltjes變換。 若 f（t）定義在正實(shí)數(shù)上，則 φ（is）是 f的 Laplace變換、F 的 Laplace-Stieltjes變換。即對于密度函數(shù)的Laplace變換和Fourier變換可視為它的特征函數(shù)。事實(shí)上，無論是從理論上還是從實(shí)踐上，Laplace逆變換效率更高，運(yùn)算速度更快，也有更好的誤差控制，與Fourier逆變換比唯一的不足是它只適用于正隨機(jī)變量。然而CIR過程可以保證利率始終為正，因而文中選用Laplace逆變換。Laplace逆變換因其簡單易操作的特性，而常被應(yīng)用于各種領(lǐng)域，先從Laplace變換來看

若f（x）是非負(fù)連續(xù)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)，則X的特征函數(shù)為

因此，可由特征函數(shù)得f（x）的Laplace變換

由上述可見，若某非負(fù)連續(xù)隨機(jī)變量的特征函數(shù)已知，即可通過Laplace逆變換求出它的概率密度函數(shù)。標(biāo)準(zhǔn)的Laplace逆變換為（7）式中Laplace變換函數(shù)的Bromwick等高線積分（選取特定的等高線并將其表達(dá)為實(shí)數(shù)域上取實(shí)值函數(shù)的積分）。任取等高線s=a使得沒有奇異點(diǎn)，則

文中選取的Laplace逆變換的數(shù)值方法是Abate與Whitt[12]的歐拉法，它基于Dubner與Abate[13]和Simon與Stroot[14]的研究，使用Bromwick積分求各公式歐拉和。為了得到Laplace變換后的計算f（t）在點(diǎn)t的實(shí)數(shù)值。Abate與Whitt[12]給出數(shù)值算法

并用 E（m，n+1，t）-E（m，n，t）來估計誤差。

3 貝葉斯估計的Monte Carlo模擬計算

由于大部分流行模型的似然函數(shù)都是未知的，短期利率模型的估計一直存在挑戰(zhàn)。因而經(jīng)常會選擇使用近似的似然函數(shù)，但是這一操作會導(dǎo)致在估計的過程中產(chǎn)生偏差，所以文中使用似然函數(shù)的逼近的同時也使用了Monte Carlo方法來擴(kuò)大數(shù)據(jù)量緩和離散和逼近帶來的偏差。并且由Philip Gray[15]的研究結(jié)果顯示，這種方法的貝葉斯估計后驗(yàn)密度的參數(shù)估計與真實(shí)后驗(yàn)密度極其相似。針對文中的目標(biāo)短期利率模型，經(jīng)驗(yàn)估計存在以下幾個難題：（1）因JCIR的隨機(jī)過程的轉(zhuǎn)移密度是未知的，所以基于觀察樣本的似然函數(shù)的估計方法是存在問題的，而若是運(yùn)用近似似然函數(shù)，則會在參數(shù)估計時引發(fā)偏差；（2）即便準(zhǔn)確的似然函數(shù)已知，傳統(tǒng)方法如極大似然估計一般采取大樣本的結(jié)果來推導(dǎo)模型參數(shù)的聯(lián)合分布，而這些漸進(jìn)近似的有限樣本表現(xiàn)主要還是未知的；（3）在數(shù)據(jù)采樣頻率（一般是按日、按周或按月）與連續(xù)時間假設(shè)的無限小時間間隔之間存在著顯著差異，使用離散樣本進(jìn)行估計也可產(chǎn)生偏差。

在第二節(jié)中，已介紹了JCIR過程的轉(zhuǎn)移密度特征函數(shù)，因而通過第三節(jié)的Laplace逆變換的數(shù)值方法得到轉(zhuǎn)移密度函數(shù)的近似函數(shù)，如此算是初步解決了第一難題；估計參數(shù)的漸近正態(tài)性和漸近無偏性會在后續(xù)圖表中有所顯示；最后離散化所帶來的偏差，文中將使用Markove Chain Monte Carlo（以下簡稱MCMC）法來對聯(lián)合后驗(yàn)密度進(jìn)行參數(shù)估計，同時運(yùn)用Tanner和Wong[16]數(shù)據(jù)增強(qiáng)法則，在每對觀察點(diǎn)間加入過程的模擬值點(diǎn)來使利率的觀察樣本得到擴(kuò)大，從而減小離散化帶來的偏差。對于JCIR過程在（4）式等距間隔h取樣，并參考第四節(jié)中模型的第一種模擬方法，它的Euler離散近似為

其中εjh～N（0，1）。近似似然函數(shù)則可由第二節(jié)中JCIR轉(zhuǎn)移密度特征函數(shù)經(jīng)第三節(jié)中的Laplace逆變換所得到的轉(zhuǎn)移密度代替。

Euler近似的有效性來源于，當(dāng)h趨于零時：（1）離散化的近似方程弱收斂于原隨機(jī)微分方程；（2）Euler近似的似然函數(shù)收斂于原隨機(jī)方程的似然函數(shù)，但是作為轉(zhuǎn)移密度的近似誤差太大，因?yàn)殡m然近似中隱含假設(shè)隨機(jī)過程在兩觀察點(diǎn)之間的路徑為線性的，許多短期利率模型的路徑卻不是線性的。因此，Euler近似使用與觀測值同樣的頻率來對過程進(jìn)行離散是不合適的。為緩和偏差，根據(jù)Elerian、Chib和Shephard[17]的研究，通過增添一系列模擬點(diǎn)來增大觀測數(shù)據(jù)。也就是為了減少離散帶來的偏差，人為地制造一個頻率足夠高的樣本來模擬JCIR路徑：假設(shè)著手于一個在等距間隔h下有n個觀測點(diǎn)的短期利率樣本，用近似轉(zhuǎn)移密度來模擬在每對數(shù)據(jù)觀測點(diǎn)間的m個擴(kuò)充數(shù)據(jù)，且仍假設(shè)擴(kuò)充數(shù)據(jù)也是在等距間隔τ=h/（m+1），故這之后所有數(shù)據(jù)都可以按照間隔τ來查取。全體樣本（觀測值加上擴(kuò)充值）總共由υ=nm+n個點(diǎn)組成，再加上初始值（假設(shè)r0是固定的）。令觀測數(shù)據(jù)和擴(kuò)充數(shù)據(jù)分別表示為robs和raug，觀測數(shù)據(jù)點(diǎn)（擴(kuò)充點(diǎn)）對應(yīng)jτ/h，j=0，…，υ處的整數(shù)（非整數(shù)）值。想要估計模型參數(shù)（θ）以觀測數(shù)據(jù)（robs）為條件的后驗(yàn)密度，基本上要將擴(kuò)充數(shù)據(jù)（raug）看作未知參數(shù)。而模型參數(shù)和擴(kuò)充數(shù)據(jù)的聯(lián)合密度則由反復(fù)迭代條件密度 p（θ|raug，robs）和 p（raug｜θ，robs）得到。在一般條件下，這些條件密度的迭代收斂于真實(shí)聯(lián)合分布 p（θ，raug｜robs），因此，目標(biāo)后驗(yàn)密度 p（θ|robs）可由積分掉擴(kuò)充數(shù)據(jù)后得到。

在τ劃分的時間間隔下，（2）式的Euler近似如下

而假設(shè) Yi服從正態(tài)分布 N（a，b2），則

又由M的獨(dú)立性，有

根據(jù)貝葉斯法則，等價于

同樣地，根據(jù)貝葉斯法則等價于

在 2003 年 Jones[19]提出了一種調(diào)整方式：先從 p（rjτ|r（j-1）τ，θ）生成可能在 r（j-1）τ之后的循環(huán)，接著僅留下（接受）在臨近（r（j+1）τ之前的循環(huán)，且這個的接受概率由條件密度 p（r（j+1）τ|rjτ，θ）決定

鑒于（11）式的近似轉(zhuǎn)移密度是正態(tài)（標(biāo)準(zhǔn)）的由上面（15）式生成的密度是平凡的。而Metropolis-Hasting算法則表明，每一次生成nm個擴(kuò)展數(shù)據(jù)迭代點(diǎn)都可以簡單的通過重復(fù)上述過程來遍歷擴(kuò)充數(shù)據(jù)組的每個元素。

結(jié)合上述的MCMC數(shù)值方法，目標(biāo)聯(lián)合后驗(yàn)密度的構(gòu)造方法可以如下總結(jié)：

（1）從（12）式到（13）式，使用 p（θ[i]|raug，robs）迭代；

（2）在以 θ[i]為條件，參照（15）式的 Metropolis-Hastings 算法做迭代；

（3）以（16）式中給出的概率α為閥值來?。ń邮埽┑?/p>

（4）然后重復(fù)上述過程直到得到一系列的（θ，raug）迭代。

在一般情況下，這個序列收斂于真實(shí)聯(lián)合后驗(yàn)密度 p（θ，raug｜robs），而目標(biāo)后驗(yàn)密度 p（θ｜robs）可將其中的擴(kuò)充數(shù)據(jù)（raug）積分出去從而得到。

4 模擬結(jié)果

該節(jié)所展示的便是模型（2）在運(yùn)用歐拉離散結(jié)果（11）式后得到的 θ≡（κ，γ，σ2，M）的貝葉斯估計，估計過程由上一節(jié)呈現(xiàn)。

表1顯示的是模型參數(shù)的后驗(yàn)密度的均值與標(biāo)準(zhǔn)差。數(shù)據(jù)分類為30日、90日和180日銀行承兌匯票（簡寫為BABs）以及13周和26周國債（簡寫為T-note），均來源于澳洲聯(lián)儲。BABs日度、周度和月度數(shù)據(jù)系列分別有6 512、1 526和307個觀察樣本，T-notes則為3 992、938和190個。參數(shù)的后驗(yàn)密度是由5 000個MCMC迭代和的m=2數(shù)據(jù)擴(kuò)充估計來的。由表中數(shù)據(jù)比較可觀察出，均值回歸速度κ從0.09變化到0.16，BAB遠(yuǎn)期均值利率約在7%，比T-note略高（T-note約為4%）。波動率在不同BAB下浮動很大，在T-note下則較為一致。

表1 不同數(shù)據(jù)分類下的參數(shù)估計

運(yùn)用近似后驗(yàn)密度5 000次MCMC迭代法進(jìn)行的點(diǎn)估計。近似密度由在每對觀察數(shù)據(jù)之間模擬的的擴(kuò)充數(shù)據(jù)點(diǎn)得到。BAB代表bank accepted bills，數(shù)據(jù)來源于澳洲聯(lián)儲1986年7月至2012年2月，總共1 526周度觀察。T-note代表treasury note，由政府發(fā)放，數(shù)據(jù)從1996年6月開始直至2012年2月，總共938周度觀察。

表2在與表1使用同樣的數(shù)據(jù)來源下，比較了30日BAB數(shù)據(jù)分類時用不同的樣本頻率的估計結(jié)果。在不同頻率的樣本下參數(shù)估計十分穩(wěn)定，唯一的例外是日度波動率，與表1中不同數(shù)據(jù)分類的波動率規(guī)律相比減小幅度較大。

表2 不同樣本頻率下的參數(shù)估計

運(yùn)用近似后驗(yàn)密度5 000次MCMC迭代法進(jìn)行的點(diǎn)估計。近似密度由在每對觀察數(shù)據(jù)之間模擬的m=2的擴(kuò)充數(shù)據(jù)點(diǎn)得到。數(shù)據(jù)來源于30日BAB的1 526周度觀察，1986年7月至2012年2月。

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