淺析微元法在物理解題中的應用

晁菁媛

微元法是一種深刻的思維方法，先分割逼近，找到規律，再累計求和，達到了解整體的目的。微元求和思想在高中物理教材中多處出現，如：必修（一）P38頁推導勻變速直線運動位移公式時、必修（二）P64頁研究重力做功時、必修（二）P69頁研究彈簧彈力做功時均用到了微元求和思想。關于微元法的題目，連續幾年出現在各地高考物理試卷中和各大高校的自主招生考試中。本文擬通過實例探討微元求和思想在物理解題中的應用。

一、微元法解題分析

在變力求功，變力求沖量，變化電流求電量等等情況下，可考慮用微元法解題。

（一）關于微元法

一般是以時間和位移為自變量，在時間Δt很短或位移Δx很小時，此元過程內的變量可以認為是定值。比如非勻變速運動求位移時在時間Δt很短時可以看作勻速運動，在求速度的變化量時在時間Δt很短時可以看作勻變速運動。運動圖象中的梯形可以看作很多的小矩形，所以，vΔt=Δx=Δs。微元法體現了微分的思想。

（二）關于求和Σ

許多小的梯形加起來為大的梯形，即ΣΔs=ΔS，（注意：前面的s為小寫，后面的s為大寫），比如ΣΔv=v-v0，當末速度v=0時，有ΣΔv=-v0，或v0=0時，有ΣΔv=v，這個求和的方法體現了積分思想。

（三）物理量有三種可能的變化情況

（1）不變（大小以及方向）：可以直接求解，比如恒力的功，恒力的沖量，恒定電流的電量和焦耳熱。

（2）線性變化（方向不變，大小線性變化）：比如力隨位移線性變化可用平均力來求功，力隨時間線性變化可用平均力來求沖量，電流隨時間線性變化可用平均電流來求電量。 電流的平方隨時間線性變化可用平方的平均值來求焦耳熱。

（3）非線性變化：可以考慮用微元法。

二、微元法解題程序

第1步，取元

隔離選擇恰當微元（空間元、時間元）作為突破整體研究的對象。微元可以是：一小段線段、圓弧；一小塊面積；一個小體積、小質量；一小段時間……，但應具有整體對象的基本特征。

第2步，模型化

將微元模型化（如視作點電荷、質點、勻速直線運動等），并運用相關物理規律，求解這個微元，并注意適當的換元。

第3步，求和

將一個微元的求解結果推廣一到其他微元，并充分利用各微元間的關系，如對稱關系、矢量方向關系、量值等關系），對各微元的解出結果進行疊加，以求出整體量的合理解答。

三、微元法解題范例

點評：微元法是分析、解決物理問題中的常用方法，也是從部分到整體的思維方法。用該方法可以使一些復雜的物理過程用我們熟悉的物理規律迅速地加以解決，使所求的問題簡單化。在使用微元法處理問題時，需將其分解為眾多微小的“元過程”，而且每個“元過程”所遵循的規律是相同的，這樣，我們只需分析這些“元過程”，然后再將“元過程”進行必要的數學思想或物理方法處理，進而使問題求解。值得注意微元法不是萬能的，有時反而會誤入歧途，微元法解題，本質上是用現了微分和積分的思想，是一種直接的求解方法，很多時候物理量的非線性變化可以間接求解，比如動能定理求變力的功，動量定理求變力的沖量，能量方程求焦耳熱等等。使用微元法分析求解問題會加強我們對已知規律的再思考，從而引起鞏固知識、加深認識和提高能力的作用。