向量在平面幾何中的應用

摘 要：向量在中學學習和研究中占有比較重要的地位，在平面幾何中有著廣泛的應用，如何用向量的知識去解決平面幾何問題是比較重要的。向量在平面幾何中的應用主要是用向量的線性運算及數量積解決平面幾何中的平行、垂直、平移、全等、相似、長度、夾角等問題。實際向量在幾何類問題中的考察要多角度，多方位的思考，注重數形結合，增加思維維度。

關鍵詞：向量；平面幾何；方法；應用

一、 證明線段平行問題

證明線段平行問題，包括相似問題，常用向量平行（共線）的充要條件：a∥ba=λb（x1y2-x2y1=0）。

【例1】 如圖1，若ABCD是平行四邊形，EF∥AB，AE與BF、DE與CF分別相交于N和M。求證：MN∥AD。

圖1

分析：本例是典型的平面幾何問題，如果利用平面幾何知識證明，很難找到突破口，而且思維過程較復雜，但用向量法處理就可使得問題變得簡單多了，關鍵在于已知向量或基向量的確定。

要證明MN∥AD，只要證明AD=λMN（λ≠0）即可。

證明：∵EF∥AB，

∴△NEF∽△NAB。

設AB=λ′EF（λ′≠1），

則ANEN=λ′，

∴AN-ENEN=AEEN=λ′-1，

∴AE=（λ′-1）EN，

同理，由于EF∥DC得DE=（λ′-1）EM，

于是AD=AE-DE=（λ′-1）EN-（λ′-1）EM=（λ′-1）（EN-EM）=（λ′-1）MN，

令λ=λ′-1，則AD=λMN（λ≠0），

∴MN∥AD。

二、 證明線段垂直問題

證明垂直問題，常用向量垂直的充要條件：a⊥ba·b=0（x1x2+y1y2=0）。

【例2】 如圖2所示，O為△ABC的外心，E為三角形內一點，滿足OE=OA+OB+OC。求證：AE⊥BC。

圖2

分析：要證AE⊥BC，即證AE·BC=0，選取OB，OC，將AE，BC表示出即可。

證明：∵ AE=OE-OA

=（OA+OB+OC）-OA

=OB+OC，

又∵BC=OC-OB，

∴AE·BC=（OC-OB）·（OC+OB）=|OC|2-|OB|2，

∵O為外心，∴|OC|2=|OB|2，

即AE·BC=0，AE⊥BC。

做題過程中，我們通常需要建立平面幾何與向量的聯系，確定已知向量或基向量，將其余所需要的向量用已知向量或基向量表示，或建立平面直角坐標系，將所需要向量用坐標表示出來，即用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉化為向量問題，注意分清已知向量和未知向量，進而選擇適當的向量運算公式和定理，通過向量的運算，研究幾何元素之間的關系，最后將運算結果還原成幾何關系。

三、 用向量解決問題的一般方法

用向量的方法解決平面幾何問題可以分為三步：

1. 建立平面幾何與向量的聯系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉化為向量問題。

2. 通過向量運算、研究幾何元素之間的關系。

3. 把運算結果“翻譯”成幾何關系。

向量集數與形于一身，既有代數的抽象性又有幾何的直觀性。因而向量方法是幾何研究的一個有力工具。而“三步曲”給出了利用向量的代數運算研究幾何問題的基本思想。在解決平面幾何問題時，將幾何問題轉化為向量問題是關鍵。

作者簡介：

葉巧渝，重慶市，重慶育才成功學校。