電磁誘導透明暗孤子的耗散變分束縛分析

譚康伯 路宏敏 官喬 張光碩 陳沖沖

(西安電子科技大學,天線與微波國家重點實驗室,西安 710071)

1 引 言

在EIT的早期研究中,氣相材料是主要基材,然而氣態不穩定性對相關電磁控制的精確性構成不利影響.隨著材料科學的發展,基于半導體固態材料的量子點、量子阱技術,通過對半導體不同空間維度上的量子約束操作,使得相應研究逐漸具有對EIT受控性增強的潛力[9?19].較之氣相材料,半導體材料具有更大的非線性系數和帶間躍遷偶極矩,且通過結構材料和結構方向來調節這些因素更為方便,這就為半導體材料作為EIT效應的有效基材提供了便利.另外,固態材料因在成形、生成等方面所表現的突出可控性[16?19],使得基于此類材料的EIT在相關的EPC研究方向及應用前景上具有較強的靈活性和適用性.

然而,當電磁場與固態半導體材料發生誘導作用時,材料系統性環境的強色散與非線性特性不斷凸顯.對于色散與非線性環境約束,電磁耗散就成為EIT中EPC必須進一步考慮的實際因素.另外,較之單孤子形成,同態孤子對的耦合作用更為復雜.這些特征要素間的相互關系在相應半導體量子點和阱、色散與非線性所激發的孤子等形成機理中需要不斷研究,相關問題的分析也將有利于對EIT研究的深入.

本文基于雙阱固態EIT系統中孤子形成機理,通過變分方法對耗散暗孤子態間的相干耦合作用進行討論.

2 固態EIT系統中的暗孤子態變分分析

強電磁場在半導體材料中激發的特征是二者系統性作用的結果.在連續電磁脈沖作用下,雙阱半導體具有由量子相干而引發暗態的可能[19].在電磁材料分析中有兩種重要的技術:一種是略去固態多體效應等影響的半經典密度方程演化分析;另一種是受半導體材料色散與非線性環境束縛的電動力學作用分析.對于這種電磁材料的多物理場系統作用特征規律,可以通過把二者相結合,來協同研究.

針對實際應用環境,耗散是必須考慮的因素.電磁場的耗散特征受到固態材料色散與非線性的環境約束.下面將著重考慮耗散和相干束縛因素對于雙阱半導體量子相干孤子態的影響.在脈沖探針電磁作用中考慮材料線性及非線性極化與電場的電動力學關系,并于半導體材料中考慮雙量子阱Kerr相干作用及慢變包絡近似,則可得到相應的耗散非線性Schr?dinger方程組:

其中,um,n表示固態材料系統中的孤子態,Γc反映了固態材料系統中的耗散影響,Cc為非線性耦合系數,其余參量則采用與文獻[19]相類似的定義形式,s1=sgn(β2),s2=sgn(n2),β2為群速度色散(GVD)參量,n2為Kerr非線性調制系數.該方程組表征了相同運動狀態孤子的動力學特征.對于固體系統,單一孤子特征可通過解析形式進行分析[19],但對于更復雜的系統,變分的駐定特性是分析的有效途徑.變分方法可以通過試探解以較簡單的半解析形式來揭示復雜物理作用的內在規律[20,21].在此分析模型的基礎上,借助變分的駐定性對固體系統的復雜作用進行分析.對于前面電磁作用下半導體的非線性耗散模型,其所對應的作用量原理為

其中,Lagrange量為L=exp(2Γcz)L′,且L′為

(3)式中的指數項表征了耗散影響,其余項則表征了固態系統中的非線性量子運動.該Lagrange量的有效性,可通過如下Euler-Lagrange方程來表達:

目前,已發現的具有物理意義的非線性發展方程有幾百種,各個學科還在涌現新的方程,不少學者對這些新方程非常感興趣,發現了大量的求解非線性偏微分方程的方法,主要有逆散射法[1]、B?cklund法[2]、Darboux變換法[3]、Hirota雙線性法[4-5]、Painlevé展開法[6]等.利用數學軟件MATLAB和MAPLE等,學者們又發現了許多求解非線性偏微分方程的新方法,如雙曲函數法[7]、齊次平衡法[8]、Jacobi橢圓函數展開法[9]、包絡變換法[10-11]、ADM法[12]和F展開法[13]等.本文對F展開法進行擴展,擴展后的方法可以求得非線性偏微分方程更豐富的解.

通過將Lagrange量代入方程(4),可得方程(1).前面的Lagrange分析考慮了Caldirola量子耗散構型,所得成對支配方程具有共軛特點.

實際分析表明[19],通過調節GVD參量和Kerr非線性系數,在材料失諧變化Δ=?0.48γ13附近,將形成GVD參量和非線性系數均為負的暗孤子.在此形成機理的基礎上,接下來將通過具體的變分分析,對該固態非線性系統耗散擾動影響進行動力學討論.基于變分的駐定性,定義該固態系統中同態孤子對的試探解為

其中,同態孤子特征參量{qm|tm,βm,θm}分別為中心時刻、色散參量、相位參量;α為背景幅值.將包含這些參量的試探解代入作用量原理(2)中,通過所得的時域作用量,即可對該系統的動力學特征進行分析.

3 實例分析

下面對固態耗散系統中的同態暗孤子特性進行具體變分分析和討論.考慮雙量子阱的能帶結構,該固態系統包含寬、窄兩個阱,其中能級|1〉為導帶中的束縛態,而對應各阱,|2〉和|3〉分別為價帶中的空穴定域態[6].在此固態系統中,通過對密度算符與電極化率的分析,可以在系統環境中參數γ13,γ12(γ13)和γ12(γ13)確定的情況下, 調節載頻失諧量Δ(γ13),進而控制系統動力學方程組(1)中的GVD參量和非線性調制系數,使之對應EIT系統中暗孤子形成的負約束,其中γ13=(γ1+γ3)/2,γ1和γ3分別為能級|1〉和|3〉的衰變率.

圖1給出了固態環境系統動力學傳輸的偏移譜,對應EIT非線性特征.對此,把試探解(5)代入作用量原理,使用變量代換及單位換算等動力學分析技術[19?23],將計算所得時域作用量再代入通過變分計算所得的方程如下:

理論討論中所采用的分析技術從本質上并不影響問題所表現的基本物理規律.在方程組(7)中,第一個方程表征了同態暗孤子的時空變化特性,第二個方程表征了固態系統的耗散特性,而第三個方程則表征了固態系統中同態暗孤子的色散特性,該方程組共同約束固態耗散系統中的同態暗孤子動力學特征.由于耗散環境的影響,實際固態系統中的暗孤子呈現出不同于無耗情況的特性,圖2給出了對比結果.

在圖2中,上部分為固態無耗環境中的孤子時空特征,下部分為固態有耗環境中的孤子時空特征.通過圖2可以看到,由于固態系統耗散的影響,暗孤子在演化中會呈現強度不斷減弱且時寬不斷展開的特點.顯然,通過材料技術對于固態系統中耗散因素進行適度調節,可以對暗孤子的作用形態形成有效控制.

圖1 固態環境系統動力學傳輸特征的偏移譜Fig.1.Spectrum of dynamic transmission deviation in solid environment.

圖2 無耗和有耗環境中的暗孤子Fig.2.Dark solitons in the perfect and dissipative environment.

在上面動力學特征分析的基礎上,若定義M=αD=α(t1?t2),則可進一步得到表征固態耗散環境中同態孤子對相干束縛態的約束關系:

其中,

由于形式復雜,該方程的直接求解較為困難.但是,通過分析可以發現,函數V(M)在自變量較小(|M|＜0.3)時,具有較好的線性特征,其函數特性如圖3所示.

在此基礎上,可以對方程(8)在函數值較小的取值范圍內進行近似求解.方程中的參量取Γc=0.02.該方程為類Bessel方程[23],通過分析,進一步可得到同態暗孤子對時距具有如下形式的解析解:

其中,J0(?)和Y0(?)分別為0階Bessel函數和0階修正的Bessel函數;P1,P2和P3為待定系數.在此基礎上,設同態暗孤子對的初始時距為0.3,于是可以在函數值較小的取值范圍內對上面參量進行計算,所得同態暗孤子對的時空軌跡及適用范圍如圖4所示.

圖3 V(M)的函數特性Fig.3.Function of V(M).

圖4 同態暗孤子時空作用特征Fig.4.Space-time characteristics of solitons under co-sate.

圖4中不同顏色范圍表示了不同近似適用區域(中間淺色區域:|M|＜0.3;較深色區域:0.6＜|M|＜0.3),圖中不同曲線表示了相同耗散且不同耦合強度下的同態暗孤子對所形成的時空束縛軌跡(虛線表示耦合較小,取0.5;實線表示耦合較大,取1).由圖4可以看到,同態暗孤子對時空束縛結果處于動力學約束方程(8)的有效適用區域內.通過動力學分析可知,暗孤子態會由于固體系統中的耗散與相干耦合,形成暗孤子對的時空束縛,并受空間耗散的影響而逐漸減弱.對此,固態材料系統中,耗散和相干耦合之間平衡的調節為實現對暗孤子間時空束縛進行有效的控制提供了途徑.

4 結 論

本文從電磁控制角度,對半導體固態系統中耗散環境以及同態相干耦合對暗孤子的影響作用進行了變分研究.通過動力學分析可以看到,對于固態材料系統中耗散以及相干耦合的準確調節將有利于電磁暗孤子演化的精密控制.

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