共振線極化光實(shí)現(xiàn)原子矢量磁力儀的理論研究?

張軍海 王平穩(wěn) 韓煜 康崇 孫偉民

(哈爾濱工程大學(xué),纖維集成光學(xué)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,哈爾濱 150001)

1 引 言

原子磁力儀通過測(cè)量原子磁矩進(jìn)動(dòng)的拉莫爾頻率,來實(shí)現(xiàn)對(duì)外界磁場(chǎng)的高靈敏度測(cè)量[1].近年來隨著小型半導(dǎo)體激光器的發(fā)展,以及消除基態(tài)極化原子自旋交換弛豫效應(yīng)的實(shí)現(xiàn),原子磁力儀已經(jīng)成為當(dāng)今磁場(chǎng)靈敏度測(cè)量最精密的儀器,其最高靈敏度已經(jīng)達(dá)到0.16 fT·Hz?1/2水平[2].原子磁力儀按照測(cè)量磁場(chǎng)的能力分為標(biāo)量原子磁力儀和矢量原子磁力儀.前者能測(cè)量指定方向磁場(chǎng)的起伏,可用于磁共振[3,4]、生物醫(yī)學(xué)成像[5,6]、物理常數(shù)測(cè)量[7,8]等領(lǐng)域;而矢量磁力儀可以給出磁矢量的全部信息,在地磁導(dǎo)航、磁異常信號(hào)檢測(cè)、中子電偶極矩研究[9?11]等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用.矢量磁力儀結(jié)構(gòu)復(fù)雜,不易小型化,通常可利用三維磁場(chǎng)補(bǔ)償技術(shù)、交叉調(diào)制解調(diào)技術(shù)、多光束進(jìn)動(dòng)相位檢測(cè)、電磁感應(yīng)透明等方法獲取磁場(chǎng)方向參量[11?16].原子磁力儀按照激發(fā)磁矩的形式又可分兩類:一種是利用共振圓偏振光激發(fā)外層電子躍遷,使原子獲得沿光傳輸方向的矢量磁矩(magnetic vector moment,MVM),該磁矩有時(shí)也被稱為Orientation,通過記錄Orientation進(jìn)動(dòng)的頻率和在指定方向投影的相位來獲得磁場(chǎng)參數(shù),稱為MVM進(jìn)動(dòng)型原子磁力儀[17,18];另一種是利用共振線偏振光激發(fā)電子躍遷,使基態(tài)原子獲得沿光極化方向?qū)ΨQ分布的張量磁矩(magnetic tensor moment,MTM),此磁矩有時(shí)也被稱為Alignment,通過記錄Alignment進(jìn)動(dòng)信息來獲得磁場(chǎng)信息,稱為MTM進(jìn)動(dòng)型原子磁力儀[19?21].實(shí)驗(yàn)和理論證明具有量子數(shù)大于1/2的基態(tài)原子與共振線偏振光相互作用都將產(chǎn)生MTM,在具有任意強(qiáng)度射頻信號(hào)的外磁場(chǎng)中都將發(fā)生磁矩進(jìn)動(dòng)[22,23].由于線偏振光有傳輸矢量和電極化兩個(gè)特征方向,因此更有利于獲取磁場(chǎng)方向信息,這種MTM型矢量磁力儀具有磁探頭結(jié)構(gòu)簡單、易于集成和小型化、方便構(gòu)成磁力儀陣列等優(yōu)點(diǎn).文獻(xiàn)[22]提出在已知拉比頻率的條件下可以利用兩諧波振幅的比值和旋轉(zhuǎn)光極化方向的方法來確定磁場(chǎng)方向,但在矢量磁場(chǎng)的測(cè)量中,預(yù)先準(zhǔn)確知道射頻信號(hào)在垂直磁場(chǎng)方向的投影顯得不太現(xiàn)實(shí),而且旋轉(zhuǎn)光極化方向?qū)⒃黾邮噶看帕x結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性,因此需要深入研究線偏振光激發(fā)原子磁矩在磁場(chǎng)中進(jìn)動(dòng)的模型,研究在保持磁探頭簡單化的基礎(chǔ)上如何獲得磁場(chǎng)方向.

本文受文獻(xiàn)[22]的啟發(fā),研究在矢量磁場(chǎng)和射頻信號(hào)的共同作用下,磁矢量引起基態(tài)電子MTM進(jìn)行拉莫爾進(jìn)動(dòng)的模型,通過求解劉維爾方程,獲得透射光時(shí)域完全解析解.研究發(fā)現(xiàn)兩諧波間的干涉效應(yīng)不僅可使直流分量和一次諧波對(duì)稱成分產(chǎn)生譜線分裂,使一次諧波反對(duì)稱成分在共振附近激起條紋,還將導(dǎo)致直流分量和二次諧波的線寬僅為一次諧波的38%.結(jié)果顯示待測(cè)磁場(chǎng)與光偏振方向的夾角決定利用哪種共振分量(直流、一次及二次諧波)測(cè)量磁場(chǎng)變化能獲得最佳靈敏度;同時(shí)還可利用共振時(shí)直流分量、兩諧波對(duì)稱成分的振幅及反對(duì)稱成分相位角來確定待測(cè)磁場(chǎng)的兩個(gè)方向角,進(jìn)而實(shí)現(xiàn)MTM型矢量原子磁力儀.

圖1 坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)變換 (a)實(shí)驗(yàn)室坐標(biāo)系;(b)以z為軸旋轉(zhuǎn)α角,使磁場(chǎng)位于x′oz′平面;(c)以y′為軸旋轉(zhuǎn)φ角,使磁場(chǎng)指向z′′方向;(d)以z′′為軸、ω為角速度使坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn),形成旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系xrotyrotzrotFig.1.The rotation transformation of the Cartesian coordinate frame:(a)A laboratory coordinate;(b)a rotation by angle α around the z-axis and the magnetic field is located in x′oz′plane;(c)a rotation by angle φ around the y′-axis,and the magnetic field is along the z′′-axis;(d)rotating x′′y′′z′′coordinate around the z′′-axis with angular speed ω forms a new rotating coordinate frame xrotyrotzrot.

2 理論模型

假設(shè)共振線偏振光沿y軸方向傳輸,極化方向沿z軸,見圖1(a)所示,極化強(qiáng)度E足夠弱,以至于它僅能使原子基態(tài)產(chǎn)生張量(二階)磁矩,即忽略對(duì)稱性更高的高階磁矩,則該磁矩在z方向的投影為[24,25]

其中F,M和pM分別代表基態(tài)能級(jí)超精細(xì)結(jié)構(gòu)量子數(shù)、磁量子數(shù)和該磁子能級(jí)上的布居數(shù).矢量磁場(chǎng)B0與z軸的夾角分別為φ,如圖1(a)所示,?α是磁場(chǎng)B0在xoy平面的投影與x軸方向的夾角,有0≤φ≤π,?π/2≤α≤π/2.假定磁矩進(jìn)動(dòng)的頻率遠(yuǎn)大于磁矩的弛豫系數(shù),則在磁矢量場(chǎng)的作用下磁矩在B0方向的穩(wěn)態(tài)解為[22]

在原子與光相互作用的同時(shí)存在沿x軸振蕩的射頻場(chǎng)B1cos(ωt),其中B1,ω分別代表射頻場(chǎng)振幅和頻率,該射頻場(chǎng)將激發(fā)原子基態(tài)磁子能級(jí)間的磁偶極躍遷,實(shí)現(xiàn)基態(tài)粒子布居數(shù)的重新分布,此時(shí)誘發(fā)原子塞曼躍遷的有效磁場(chǎng)為射頻信號(hào)中垂直B0的分量,可表示為

這里的系數(shù)1/2是考慮旋轉(zhuǎn)波近似的結(jié)果,即只有與進(jìn)動(dòng)方向相同的射頻信號(hào)才會(huì)激發(fā)磁子能級(jí)間的躍遷.為方便計(jì)算,首先xoy平面以o點(diǎn)為中心,z為軸旋轉(zhuǎn)α角,形成坐標(biāo)系x′y′z′,使旋轉(zhuǎn)后的x′軸與B0在xoy平面的投影相重合,如圖1(b)所示;然后再以o點(diǎn)為中心,y′為軸旋轉(zhuǎn)φ角,使旋轉(zhuǎn)后的z′軸與B0相重合,形成坐標(biāo)系x′′y′′z′′,如圖 1(c)所示;最后以z′′為軸、ω為角速度進(jìn)行旋轉(zhuǎn),形成xrotyrotzrot旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系,見圖1(d);原子狀態(tài)在xrotyrotzrot旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系與實(shí)驗(yàn)室xyz坐標(biāo)系之間滿足如下旋轉(zhuǎn)變換:

在圖1(d)所示的旋轉(zhuǎn)系中原子所感受的總磁場(chǎng)為

其中Γ0,Γ1,Γ2分別是布居數(shù)、MVM和MTM的弛豫系數(shù).利用Mathematica11軟件求方程(5)中m2,q的穩(wěn)態(tài)解,然后對(duì)穩(wěn)態(tài)解進(jìn)行旋轉(zhuǎn)逆變換,即乘以D?1(α,φ,ωt),獲得我們所關(guān)心的在xyz實(shí)驗(yàn)室靜止坐標(biāo)系下m2,0(?,δ,φ,t)的解析表達(dá)式.實(shí)驗(yàn)中通常利用激光透射光譜來分析原子磁矩的演化過程,為了描述方便,定義激光歸一化透射光譜信號(hào):

3 結(jié)果與分析

通過求方程(5)的定態(tài)解,歸一化光譜解析表達(dá)式可寫為

其中,hdc,hω,h2ω分別代表磁場(chǎng)方向?qū)ν干涔庵绷鳌⒁淮沃C波、二次諧波的影響;Adc,Aω,A2ω分別代表磁矩進(jìn)動(dòng)對(duì)透射光直流、一次諧波、二次諧波中對(duì)稱成分的影響;Dω,D2ω分別代表磁矩進(jìn)動(dòng)對(duì)一次諧波、二次諧波中反對(duì)稱成分的影響.研究發(fā)現(xiàn):當(dāng)??1時(shí),直流分量和一次諧波的線寬約為Γ1,二次諧波的線寬約為而當(dāng)Γ2≥2.38Γ1時(shí),二次諧波對(duì)直流分量和一次諧波分量的影響可以忽略,此時(shí)同MVM相比MTM進(jìn)動(dòng)頻譜不再具有提高測(cè)磁靈敏度的能力.為突出MTM在磁場(chǎng)中進(jìn)動(dòng)的物理本質(zhì),我們假設(shè)Γ0≈Γ1≈Γ2≈1.則這些符號(hào)所代表的具體解析表達(dá)式如下:

3.1 直流分量

從表達(dá)式(7d)中可以發(fā)現(xiàn)透射的直流分量包含兩項(xiàng),其中前一項(xiàng)類似于傳統(tǒng)的Mz磁力儀,具有洛倫茲吸收線型且不受射頻信號(hào)垂直磁場(chǎng)分量取向的影響[27];第二項(xiàng)是MTM進(jìn)動(dòng)所特有的干涉項(xiàng),其產(chǎn)生的原因與一次諧波對(duì)稱成分一致(見后面的分析).圖2是?=0.2,,1時(shí)的透射頻譜.分析發(fā)現(xiàn)存在臨界狀態(tài)即當(dāng)時(shí),隨著?的增加譜線呈展寬趨勢(shì),仍保持單吸收峰線型,其線寬(半高半寬)Δζdc≈1+1.78?2;但當(dāng)時(shí),單吸收峰出現(xiàn)劈裂,隨著?的增加吸收峰向兩側(cè)移動(dòng),使其分離的距離不斷加大,且雙峰間距滿足共振透射信號(hào)隨?的增大而增加,這種直流信號(hào)共振譜線分裂的現(xiàn)象在基態(tài)零場(chǎng)非線性漢勒效應(yīng)中曾被觀測(cè)過[24,28,29],但據(jù)我們所知它在線共振光激發(fā)MTM型Mz磁力儀的研究中未見報(bào)道.直流分量可用于辨析磁場(chǎng)大小,研究表明當(dāng)?=1.03最佳拉比頻率時(shí),中心干涉條紋寬度僅為0.38,考慮到φ=0°為最敏感方向,則利用直流共振干涉條紋可獲得最佳磁場(chǎng)鑒別斜率約為0.12.

圖2 不同拉比頻率下的透射信號(hào)的直流分量隨頻率失諧的變化Fig.2.The time-independent component of transmission spectrum as a function of radio-frequency detuning when the Rabi frequency is different.

3.2 一次諧波分量

從表達(dá)式(7e)和(7g)中可發(fā)現(xiàn)透射信號(hào)的一次諧波對(duì)稱和反對(duì)稱成分也包含兩項(xiàng),其中第一項(xiàng)類似于傳統(tǒng)的Mx磁力儀[13,30],第二項(xiàng)為相干項(xiàng),激起干涉條紋.圖3(a)—(d)分別是1,2時(shí)的透射頻譜,實(shí)線(虛線)代表對(duì)稱(反對(duì)稱)成分.研究發(fā)現(xiàn)相干項(xiàng)表達(dá)式分別是二次諧波對(duì)稱成分(7f)式第一項(xiàng)與一次諧波對(duì)稱成分(7e)式和反對(duì)稱成分(7g)式相乘的結(jié)果,我們認(rèn)為它是兩諧波相互干涉所致,該解釋不同于二次諧波和射頻場(chǎng)相互干涉[22].表達(dá)式(7e)與(7d)成正比,其比例系數(shù)僅為拉比頻率,因此顯示對(duì)稱成分分裂的閾值、譜線寬度及譜線分裂間距隨拉比頻率的變化與上面討論的直流分量滿足相同的規(guī)律;不同點(diǎn)在于當(dāng)時(shí),對(duì)稱成分的振幅于共振處達(dá)到最大值,見圖3(b),然后隨?的增大而減小;而反對(duì)稱成分在共振附近條件下將出現(xiàn)干涉條紋,且條紋幅度隨?的增大而增大(見圖3(c)和圖3(d)).在?→0條件下分析反對(duì)稱項(xiàng)表達(dá)式(7g)所對(duì)應(yīng)的線寬:Δζω=1,即極限線寬等于弛豫系數(shù),此時(shí)干涉項(xiàng)的影響可以忽略不計(jì).當(dāng)?=0.28時(shí)反對(duì)稱譜線的中心有最大的斜率,考慮到最靈敏的磁場(chǎng)取向φ=25.5°,此時(shí)可探測(cè)的最大斜率為:0.141.

圖3 (a)?=0.2,(b)(c)1,(d)2時(shí)一次諧波對(duì)稱(實(shí)線)、反對(duì)稱(虛線)成分隨頻率失諧的變化Fig.3.The symmetric(solid line)and antisymmetric(dash line)components of the first harmonic versus frequency detuning:(a)?=0.2;(b);(c)?=1;(d)?=2.

3.3 二次諧波分量

二次諧波對(duì)稱和反對(duì)稱成分的解析表達(dá) 式 見(7f)和(7h),圖4(a)—(d)分 別 是?=時(shí)的透射頻譜,實(shí)線(虛線)代表對(duì)稱(反對(duì)稱)成分.對(duì)稱成分的線寬隨?的增加而增大,但不會(huì)出現(xiàn)分裂.反對(duì)稱成分在共振附近將不再出現(xiàn)干涉條紋,在?→0條件下分析反對(duì)稱項(xiàng)(7h)所對(duì)應(yīng)的線寬:Δζ2ω=0.38,僅為一次諧波線寬的38%,它可以解釋為兩諧波相互干涉導(dǎo)致的線寬壓窄,其形成機(jī)理目前正在研究中.當(dāng)?=0.1時(shí),分析諧波干涉對(duì)譜線對(duì)稱成分的影響,見圖5.虛線(點(diǎn)線)描述(7f)式中第一(第二)項(xiàng),實(shí)線是兩者疊加的結(jié)果,顯然此時(shí)干涉導(dǎo)致譜線明顯變窄.當(dāng)時(shí),反對(duì)稱譜線的中心有最大的斜率,如圖4(b)所示,考慮到最靈敏的磁場(chǎng)取向φ=90°,此時(shí)可探測(cè)的最大斜率為0.25.可見在探測(cè)信號(hào)磁等效噪聲譜密度相同的情況下,與一次諧波檢測(cè)相比,利用二次諧波可使標(biāo)量磁力儀靈敏度提高77%.

然而對(duì)矢量磁力儀而言,方向角φ直接影響利用直流、一次諧波和二次諧波探測(cè)磁場(chǎng)變化的靈敏度.在最佳拉比頻率的條件下,分析以上三種方式共振中心處鑒別磁場(chǎng)變化的曲線斜率隨方向角φ的變化,結(jié)果如圖6所示.圖中4個(gè)圓點(diǎn)代表取向分界點(diǎn),分別對(duì)應(yīng)φ1=13.2°,φ2=45.0°,φ3=135.0°,φ4=166.8°. 即在固定噪聲譜密度的情況下:當(dāng)0＜φ ＜φ1或φ4＜φ ＜180°時(shí)利用直流分量將獲得最佳測(cè)磁靈敏度,當(dāng)φ1＜φ＜φ2或φ3＜φ＜φ4時(shí)利用一次諧波檢測(cè)將獲得最佳測(cè)磁靈敏度,當(dāng)φ2＜φ＜φ3時(shí)利用二次諧波檢測(cè)將獲得最佳測(cè)磁靈敏度.

圖4 (a)?=0.2,(b)(c)2,(d)5時(shí)二次諧波對(duì)稱(實(shí)線)、反對(duì)稱(虛線)成分隨頻率失諧的變化Fig.4.The symmetric(solid line)and antisymmetric(dash line)components of the second harmonic versus frequency detuning:(a)?=0.2;(b)(c)?=2;(d)?=5.

圖5 當(dāng)?=0.1時(shí),二次諧波對(duì)稱成分隨頻率失諧的變化(劃線為不考慮諧波干涉的結(jié)果;點(diǎn)線為干涉項(xiàng)的變化曲線;實(shí)線為虛線和點(diǎn)線求和的結(jié)果)Fig.5.The dependence of the symmetric component of the second harmonic signal on frequency detuning(dash line,the result without taking harmonic interference into account;dot line,in fl uence of the harmonic interference on the spectrum;solid line,sum of the above both curves).

圖6 直流分量、一次諧波分量及二次諧波分量在共振中心處鑒別磁場(chǎng)變化曲線的斜率對(duì)φ的依賴關(guān)系Fig.6.The slopes of variation curves of magnetic intensity,discriminated by the direct current component, first harmonic,and second harmonic,as a function of φ.

3.4 磁場(chǎng)方向分析

與圓偏振光相比,共振線偏振光激發(fā)的MTM進(jìn)動(dòng)頻譜更利于辨析待測(cè)磁場(chǎng)方向,實(shí)現(xiàn)原子矢量磁力儀.在保持物理探頭結(jié)構(gòu)簡單的基礎(chǔ)上,為了獲得磁場(chǎng)的方向信息,得到兩個(gè)方向角,必須找到僅依賴磁場(chǎng)取向的可觀測(cè)物理量,因?yàn)樯漕l場(chǎng)在垂直待測(cè)場(chǎng)方向投影產(chǎn)生的拉比頻率完全不可預(yù)知.經(jīng)過上面的分析,發(fā)現(xiàn)在δ=0條件下直流信號(hào)與二次諧波對(duì)稱成分振幅的比值Rdc/2ω、二次諧波對(duì)稱成分與一次諧波對(duì)稱成分振幅的比值R2ω/ω,如下:

可見Rdc/2ω僅是φ的函數(shù),與拉比頻率和α都無關(guān),可通過(8a)式確定磁場(chǎng)所具有的方向角φ,見圖7(a).由于?恒大于零,(8b)式的符號(hào)可決定φ是銳角還是鈍角,即圖7(a)中φ=0.5π直線平分整個(gè)平面,曲線關(guān)于該直線對(duì)稱.在確定φ以后,分析共振情況下兩諧波反對(duì)稱成分相移的差值,有

如圖7(b)所示.圖7(a)和圖7(b)顯示在φ=0.5π附近,即此時(shí)MTM型矢量磁力儀具有測(cè)量磁場(chǎng)大小的最佳靈敏度,但失去了方向分辨能力.

圖7 (a)磁場(chǎng)方向角φ與Rdc/2ω的依賴關(guān)系;(b)磁場(chǎng)方向角α與諧波相位角θ的依賴關(guān)系Fig.7.(a)The dependence of φ on Rdc/2ω;(b)the dependence of α on θ.

4 結(jié)論與展望

本文受文獻(xiàn)[22]啟發(fā),理論研究了共振線偏振光使原子獲得MTM,及在射頻場(chǎng)存在的條件下矢量磁場(chǎng)引起原子MTM進(jìn)行拉莫爾進(jìn)動(dòng)的模型,獲得了透射光信號(hào)時(shí)域完整的解析解.當(dāng)拉比頻率大于時(shí),發(fā)現(xiàn)兩諧波間的干涉效應(yīng)將導(dǎo)致直流分量和一次諧波對(duì)稱成分的譜線分裂,一次諧波反對(duì)稱成分在共振附近呈現(xiàn)干涉條紋,直流分量和二次諧波譜線寬均小于弛豫系數(shù).理論論證了在不同的φ角區(qū)間,分別利用直流分量、一次諧波和二次諧波共振信號(hào)獲得最佳的磁測(cè)靈敏度;同時(shí)發(fā)現(xiàn)可利用共振時(shí)的直流分量、一次諧波對(duì)稱成分振幅、二次諧波對(duì)稱成分振幅來確定磁場(chǎng)與光極化方向的夾角,利用兩諧波反對(duì)稱成分相移來確定待測(cè)磁場(chǎng)在垂直于光極化方向的投影與射頻場(chǎng)方向的夾角,進(jìn)而實(shí)現(xiàn)MTM進(jìn)動(dòng)型矢量原子磁力儀.然而這種矢量磁力儀仍然存在死區(qū)問題,一個(gè)是磁場(chǎng)沿x軸方向,另一個(gè)是磁場(chǎng)位于魔角(magic angle)方向[25].因此,利用共振光偏振態(tài)調(diào)制代替這里的射頻場(chǎng)[31],利用激光偏振平衡分析代替這里的透射光強(qiáng)檢測(cè)[32],實(shí)現(xiàn)全方位無死區(qū)高靈敏度磁場(chǎng)矢量測(cè)量將是我們下一步努力的方向.同時(shí)從實(shí)驗(yàn)角度改善原子氣室內(nèi)表面鍍膜工藝,減小磁矩進(jìn)動(dòng)的弛豫系數(shù),并實(shí)現(xiàn)Γ0≈Γ1≈Γ2也值得細(xì)致的研究.

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