貝葉斯頻率估計(jì)中頻率的先驗(yàn)分布對有色噪聲作用的影響?

楊棣 王元美 李軍剛

(北京理工大學(xué)物理學(xué)院,北京 100081)

1 引 言

量子參數(shù)估計(jì)作為量子度量學(xué)中的重要內(nèi)容之一,在量子基礎(chǔ)物理學(xué)和量子信息學(xué)中有著重要的研究意義[1?7].近些年來,在不同的物理系統(tǒng)和不同的外部環(huán)境下進(jìn)行參數(shù)估計(jì)的研究工作已經(jīng)取得了重大的進(jìn)展[8?12].量子參數(shù)估計(jì)過程大致可以分為如下三部分:首先制備合適的最優(yōu)量子探測系統(tǒng),然后通過探測系統(tǒng)與待測系統(tǒng)的相互作用把待測參數(shù)加載到探測系統(tǒng)上,最后對探測系統(tǒng)的末態(tài)進(jìn)行測量并從測量結(jié)果中估計(jì)出待測參數(shù)的值.在量子參數(shù)估計(jì)的過程中,最重要的就是要盡可能準(zhǔn)確地估計(jì)待測參數(shù)[13].在量子參數(shù)估計(jì)理論中,存在兩種不同的方法來研究參數(shù)估計(jì)過程[14,15].一種是基于量子費(fèi)舍爾信息的Cramér-Rao bound(CRB)方案[3,4,16?20],量子費(fèi)舍爾信息作為參數(shù)估計(jì)中一個(gè)非常重要的概念,其在理論上給出了一般參數(shù)估計(jì)實(shí)驗(yàn)所能達(dá)到的最大估計(jì)精度極限[21,22],CRB方法在量子參數(shù)估計(jì)理論研究中有著特殊的地位并已得到了廣泛的研究[23?25].第二種是貝葉斯估計(jì)方案[3].貝葉斯參數(shù)估計(jì)作為一個(gè)很重要的參數(shù)估計(jì)方案,在實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)和數(shù)據(jù)處理中發(fā)揮著重要的作用,因而被廣泛應(yīng)用到各個(gè)研究領(lǐng)域中.在貝葉斯參數(shù)估計(jì)方案中利用貝葉斯代價(jià)函數(shù)來評判估計(jì)的精度,可以通過研究貝葉斯代價(jià)函數(shù)隨時(shí)間變化的動(dòng)力學(xué)行為從而找到優(yōu)化方案的方法.以上兩種方法主要的區(qū)別在于對被估參數(shù)的先驗(yàn)信息的要求不同:在CRB方法中,幾乎要確切知道被測參數(shù)的值才能給出最優(yōu)的測量基,進(jìn)而得到最優(yōu)的估計(jì)精度,因此CRB方法在實(shí)際實(shí)驗(yàn)操作中很難實(shí)現(xiàn).相反地貝葉斯方案只需要知道被測參數(shù)的部分信息,就可以給出合適的測量基進(jìn)而得到最優(yōu)的估計(jì)精度,因此更有利于實(shí)驗(yàn)上實(shí)現(xiàn).

嚴(yán)格而言,自然界中不存在任何孤立的量子系統(tǒng)[26].例如:在固態(tài)探測系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)方面,特定材料的漲落通常會(huì)導(dǎo)致固有噪聲的產(chǎn)生.多年的實(shí)驗(yàn)和理論研究都證實(shí)了譜密度為1/fα型量子噪聲的存在[27,28].許多情況下導(dǎo)致系統(tǒng)噪聲的環(huán)境可以看作是由漲落子構(gòu)成的,它們會(huì)引起量子比特系統(tǒng)的相位相干性的衰減.在很多重要的物理系統(tǒng)中,由漲落子所產(chǎn)生的噪聲被認(rèn)為是非高斯的[29].在實(shí)際的量子參數(shù)估計(jì)過程中,尤其是利用固體探測系統(tǒng)來做參數(shù)估計(jì)的過程中,我們不可避免地要考慮到這種非高斯有色噪聲的影響.

文獻(xiàn)[23]基于CRB方法研究了在有色噪聲作用下頻率估計(jì)的精度問題,研究發(fā)現(xiàn),強(qiáng)耦合和弱耦合的條件下都會(huì)使參數(shù)估計(jì)的精度增加.前面提到,CRB方法對被估計(jì)參數(shù)的先驗(yàn)概率需求比較大,當(dāng)對被估計(jì)參數(shù)的信息了解不足時(shí),文獻(xiàn)[23]中的結(jié)論是否成立還不是很清楚,因此利用貝葉斯方法來研究有色噪聲作用下的頻率估計(jì)問題非常必要.

本文考慮一個(gè)處于譜密度為1/fα型的有色噪聲下的自旋為1/2的量子比特系統(tǒng)來估計(jì)一個(gè)未知強(qiáng)度的磁場,重點(diǎn)研究在廣義的先驗(yàn)概率分布下的貝葉斯頻率估計(jì)問題.通過研究貝葉斯代價(jià)函數(shù)隨時(shí)間的變化規(guī)律來分析頻率的先驗(yàn)分布對貝葉斯估計(jì)過程中非高斯性的抑制行為;討論在先驗(yàn)概率的不確定度不同的情況下,非高斯性對頻率估計(jì)精度的影響;進(jìn)而找到如何合理地利用先驗(yàn)概率的分布情況來提高頻率估計(jì)的精度的方法.

2 模 型

本文主要研究量子比特系統(tǒng)在有色噪聲下的頻率估計(jì)問題.在固態(tài)量子器件中,譜密度為1/fα型的有色噪聲是引起退相干的主要原因,其中參數(shù)α的取值范圍從1到2.有色噪聲的“色”可以按照α的取值不同來分類.例如,α=1對應(yīng)粉色1/f噪聲;當(dāng)α=2時(shí),譜密度為1/f2的噪聲與布朗運(yùn)動(dòng)相聯(lián)系,所以也被一語雙關(guān)地稱為棕色噪聲.有色噪聲的作用可以看成是量子比特系統(tǒng)與大量雙態(tài)漲落子耦合的綜合效果,其中每個(gè)漲落子與系統(tǒng)的耦合作用可以用隨機(jī)電報(bào)噪聲模型來描述,或者可以用翻轉(zhuǎn)率隨機(jī)變化的單個(gè)隨機(jī)電報(bào)噪聲模型來描述.所以有色噪聲可以用許多不同翻轉(zhuǎn)率的隨機(jī)電報(bào)噪聲的線性疊加來表示.對于每個(gè)翻轉(zhuǎn)率為ζ的漲落子的概率分布可以表示如下[30]:

為了給出有色噪聲作用下量子比特系統(tǒng)的密度矩陣,首先給出單個(gè)翻轉(zhuǎn)率為ζ的漲落子影響下量子比特系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性.此時(shí)待測系統(tǒng)的哈密頓量可以表示為

其中,σz是與量子比特系統(tǒng)相對應(yīng)的泡利算符;ω代表待測參數(shù),這里是待估計(jì)的磁場的大小;μ和ν分別是量子比特系統(tǒng)和磁場以及環(huán)境之間的相互作用強(qiáng)度;c(t)代表由于漲落子的影響而引入的隨機(jī)過程.注意到(2)式給出的哈密頓量表示了一個(gè)純相位耗散過程,這也是開放系統(tǒng)中一個(gè)經(jīng)典的模型.

通過對c(t)求平均,可以得到量子比特系統(tǒng)的密度矩陣為

其中,〈·〉代表對所有的數(shù)求平均值,隨機(jī)密度矩陣定義為

本文選用隨機(jī)電報(bào)噪聲模型來表示漲落子對系統(tǒng)的影響.經(jīng)過計(jì)算并對其中出現(xiàn)的參數(shù)重新標(biāo)度,即令γ=ζ/μ,η=ν/μ且τ=μt,得到單個(gè)漲落子作用下的量子比特系統(tǒng)的約化密度矩陣[31]:

這里

當(dāng)考慮大量的漲落子集體作用時(shí),可以通過對漲落子概率分布的統(tǒng)計(jì)平均而得到有色噪聲作用下量子比特系統(tǒng)的密度矩陣,即這里的?α(γ)是重新標(biāo)度之后的概率分布.最后得到

這里G(τ)為有色噪聲的噪聲項(xiàng),可以表示為

其中,Nf指的是漲落子的數(shù)目,本文中取Nf=5,γ1=0.01且γ2=100.值得注意的是G(τ)隨時(shí)間的變化特點(diǎn)由α的大小來決定.從(1)式可以看出,當(dāng)α的值很大時(shí),翻轉(zhuǎn)率較小的漲落子占的比例較大,此時(shí)噪聲的非高斯性就表現(xiàn)得比較明顯,而系統(tǒng)與漲落子之間的有效耦合強(qiáng)度較大而當(dāng)α的值很小時(shí),翻轉(zhuǎn)率大的漲落子占的比例大,此時(shí)環(huán)境的非高斯性變?nèi)?而系統(tǒng)與漲落子之間的有效耦合強(qiáng)度變?nèi)?下面先簡單介紹貝葉斯代價(jià)函數(shù)的普適定義,然后給出量子比特系統(tǒng)下的貝葉斯代價(jià)函數(shù)的通用表達(dá)式.

3 貝葉斯代價(jià)函數(shù)

其中,Tr代表求跡符號(hào).貝葉斯代價(jià)函數(shù)定義為

這里?代表參數(shù)ω和χ所有的取值區(qū)間.厄米算符(χ)定義為

這里Cχ,ω表示參數(shù)的估計(jì)值和真實(shí)值差值的平方,

把(13)式代入(12)式,可以得到

這里

本文考慮單個(gè)量子比特系統(tǒng),因此可以用布洛赫矢量來表示相關(guān)的物理量[1].假定待測系統(tǒng)的初態(tài)為=|ψ〉〈ψ|,其中|ψ〉=cos(θ/2)|0〉+sin(θ/2)|1〉.然后利用布洛赫矢量和密度矩陣的關(guān)系式可以得到

其中,l0是一個(gè)實(shí)數(shù),=(lx,ly,lz)是一個(gè)實(shí)向量,而且

將(25)式代入(19)式, 可以得到l0的值和的表達(dá)式.

最后,利用(26)和(27)式計(jì)算出相應(yīng)的物理量,然后代入文獻(xiàn)[32]的(24)式便得到一個(gè)量子比特系統(tǒng)下的貝葉斯代價(jià)函數(shù)為[32]

這里Vpω是先驗(yàn)概率的方差,其中,

通過分析(28)式可以發(fā)現(xiàn),θ=π/2對應(yīng)的態(tài)是系統(tǒng)的最優(yōu)初態(tài).因此我們得到最優(yōu)初態(tài)和最優(yōu)測量下的貝葉斯代價(jià)函數(shù)

在(29)式中,|G(τ)|2表示噪聲項(xiàng),噪聲特性對貝葉斯代價(jià)函數(shù)的影響主要是通過它來體現(xiàn)的.可以看到,噪聲項(xiàng)的前面還有一個(gè)系數(shù)[A(τ)]2,當(dāng)該系數(shù)的值比較大時(shí),噪聲的影響效果比較大;當(dāng)該系數(shù)比較小時(shí),將會(huì)導(dǎo)致噪聲的影響效果不明顯,而它的大小與先驗(yàn)概率的分布有關(guān),因此我們可以說先驗(yàn)概率會(huì)影響噪聲對估計(jì)精度的影響.注意到上面我們利用布洛赫矢量方法得到了與文獻(xiàn)[33]中(23)式相似的結(jié)果,這說明本文所得結(jié)果是有效的.下面利用(29)式來具體討論貝葉斯代價(jià)函數(shù)在有色噪聲的影響下隨時(shí)間變化的動(dòng)力學(xué)行為.

4 先驗(yàn)概率的影響

在這一部分,我們將研究在有色噪聲的作用下如何利用貝葉斯參數(shù)估計(jì)方法來估計(jì)頻率ω的大小,并通過研究貝葉斯代價(jià)函數(shù)隨時(shí)間變化的動(dòng)力學(xué)行為來考察參數(shù)的先驗(yàn)概率對估計(jì)過程的影響.首先假設(shè)待估計(jì)頻率滿足廣義的先驗(yàn)概率分布[15]

其中,

文獻(xiàn)[23]基于CRB方法研究了有色噪聲作用下頻率估計(jì)的精度問題,發(fā)現(xiàn)強(qiáng)耦合和弱耦合的條件下都會(huì)使參數(shù)估計(jì)的精度增加.而當(dāng)我們對參數(shù)的先驗(yàn)信息了解不是很全面時(shí),有色噪聲對參數(shù)估計(jì)的影響情況還不是很清楚.為了討論當(dāng)先驗(yàn)信息不足時(shí)以上結(jié)論是否成立,圖1給出了貝葉斯代價(jià)函數(shù)最小值隨α以及貝葉斯代價(jià)函數(shù)隨時(shí)間τ的變化特性.

圖1(a)給出了當(dāng)β=0.1時(shí),貝葉斯代價(jià)函數(shù)最小值Cmin隨著α變化的曲線.從圖1(a)可以看到,貝葉斯代價(jià)函數(shù)最小值Cmin開始隨著α的增大而增大,當(dāng)達(dá)到最大值后,又隨著α的增大而減小.這個(gè)變化趨勢與文獻(xiàn)[23]的結(jié)果一致,變化的趨勢可以通過貝葉斯代價(jià)函數(shù)的動(dòng)力學(xué)特性來解釋.圖1(b)給出了當(dāng)β=0.1時(shí),貝葉斯代價(jià)函數(shù)C(τ)隨時(shí)間τ的動(dòng)態(tài)演化過程.從圖1(b)可以看到,當(dāng)α比較小時(shí)(如α=1.0時(shí)),C(τ)一開始隨著τ的增大而減小,當(dāng)達(dá)到最小值后,C(τ)又隨著τ的增大而增大,之后趨于一個(gè)有限值.這個(gè)變化特性可以這樣來理解:在貝葉斯參數(shù)估計(jì)中考慮了先驗(yàn)概率對估計(jì)精度的影響,因此在貝葉斯代價(jià)函數(shù)中出現(xiàn)了先驗(yàn)概率的方差Vpω,見(32)式;又由于(32)式右邊第二項(xiàng)小于或等于零,所以貝葉斯代價(jià)函數(shù)的值被限制在Vpω以內(nèi);在未進(jìn)行測量時(shí),可以從參數(shù)的先驗(yàn)分布來估計(jì)參數(shù)的值,相應(yīng)的估計(jì)精度正好是先驗(yàn)概率的方差,因此圖1(b)中貝葉斯代價(jià)函數(shù)值在τ=0時(shí)等于先驗(yàn)概率的方差值;隨著時(shí)間的增加,測量所獲得的信息也逐漸增加,因此貝葉斯代價(jià)函數(shù)會(huì)隨著時(shí)間的增加而減小,然而由于外部噪聲的影響也同時(shí)隨著時(shí)間的增加而增加,因此當(dāng)時(shí)間進(jìn)一步增大時(shí),噪聲的影響效應(yīng)占了主導(dǎo)地位,貝葉斯代價(jià)函數(shù)則會(huì)在達(dá)到極小值后隨時(shí)間的增大而增大,進(jìn)而趨向一個(gè)穩(wěn)定的有限值.從圖1(b)以及進(jìn)一步的數(shù)值計(jì)算結(jié)果還可以發(fā)現(xiàn),當(dāng)α從1開始增加時(shí),C(τ)的最小值也隨之增加.這是因?yàn)楫?dāng)α的取值比較小時(shí),翻轉(zhuǎn)率大的漲落子出現(xiàn)的概率比較大,而系統(tǒng)與漲落子之間的相對耦合強(qiáng)度較弱,環(huán)境對估計(jì)精度的影響小,從而C(τ)的最小值也就比較小.這正是圖1(a)左端Cmin隨著α的增大而增大的原因.

圖1(b)中還有一個(gè)有趣之處是,隨著α增大,C(τ)隨時(shí)間的演化過程中出現(xiàn)了第二個(gè)波谷,并且α的取值越大,這個(gè)波谷變得越明顯.不難發(fā)現(xiàn),當(dāng)取較大的值α=2時(shí),振蕩非常明顯以至于貝葉斯代價(jià)函數(shù)在第二個(gè)波谷處達(dá)到最小值,并且其最小值比α=1.0和α=1.5時(shí)的最小值都小.我們可以這樣解釋:當(dāng)α的取值比較大時(shí),翻轉(zhuǎn)率小的漲落子出現(xiàn)的概率增大,此時(shí)噪聲的非高斯性顯現(xiàn)出來從(32)式可以看出,貝葉斯代價(jià)函數(shù)的值與[A(τ,β)]2|G(τ)|2有關(guān),當(dāng)選取的β值比較小時(shí),先驗(yàn)概率的不確定度比較小,使得[A(τ,β)]2在|G(τ)|2出現(xiàn)振蕩時(shí)取得較大的值,此時(shí)環(huán)境的非高斯性表現(xiàn)得非常明顯,進(jìn)而有效地提高了參數(shù)估計(jì)的精度,這正是圖1(a)右端Cmin隨α的增大而減小的原因.

圖1 貝葉斯代價(jià)函數(shù)最小值隨α以及貝葉斯代價(jià)函數(shù)隨時(shí)間τ的變化特性 (a)β=0.1;(b)β=0.1,α=1.0,1.5,2.0;(c)β=1.0;(d)β=1.0,α=1.0,1.5,2.0Fig.1.The behaviors of the minimal value of Bayes cost as a function of α and Bayes cost as a function of τ:(a)β=0.1;(b)β=0.1 and α=1.0,1.5,2.0;(c)β=1.0;(d)β=1.0 and α=1.0,1.5,2.0.

以上結(jié)論是否對所有情況都成立呢?進(jìn)一步的數(shù)值計(jì)算之后我們發(fā)現(xiàn),情況并非如此.上面的結(jié)論只適用于先驗(yàn)概率的不確定度比較小時(shí)(例如β=0.1的情況),而當(dāng)先驗(yàn)概率的不確定度比較大時(shí),貝葉斯代價(jià)函數(shù)的動(dòng)力學(xué)行為卻有著很大的差別.

圖1(c)給出了當(dāng)β=1.0時(shí)貝葉斯代價(jià)函數(shù)最小值Cmin隨α的變化曲線.從圖1(c)可以看出,當(dāng)α比較小時(shí),Cmin的變化規(guī)律與β=0.1時(shí)的情況一致,隨著α的增大而增大.不同的是,當(dāng)α比較大時(shí),Cmin仍然隨著α的增大而增大,沒有減小的趨勢.這仍可從貝葉斯代價(jià)函數(shù)的動(dòng)力學(xué)特性來解釋.圖1(d)給出了當(dāng)β=1.0且α=1.0,1.5,2.0時(shí),貝葉斯代價(jià)函數(shù)隨τ的變化曲線.比較圖1(d)中三條曲線的最小值可以發(fā)現(xiàn),隨著α的增大,貝葉斯代價(jià)函數(shù)的最小值也隨之增大.這是由于隨著α的增大,系統(tǒng)與漲落子之間的相對耦合強(qiáng)度增大,量子比特系統(tǒng)受環(huán)境的影響變大,相應(yīng)的估計(jì)精度變得越來越小,即貝葉斯代價(jià)函數(shù)所能達(dá)到的最小值也隨之增大.然而當(dāng)α進(jìn)一步增大時(shí),并沒有顯著地出現(xiàn)第二個(gè)波谷,貝葉斯代價(jià)函數(shù)仍然在第一個(gè)波谷處取得最小值.這是由于當(dāng)β=1.0時(shí),先驗(yàn)概率的不確定度比較大,使得|G(τ)|2出現(xiàn)振蕩時(shí)對應(yīng)的[A(τ,β)]2比較小,因此環(huán)境的非高斯性被壓制,對提高參數(shù)估計(jì)的精度沒有太大的幫助.

比較圖1(a)和圖1(c)可以得到以下結(jié)論:掌握的先驗(yàn)信息越多,有色噪聲的非高斯性就越顯著,進(jìn)而可以提高頻率的估計(jì)的精度;相反,當(dāng)掌握的先驗(yàn)信息非常少時(shí),有色噪聲的非高斯性被壓制,使得頻率估計(jì)的精度下降.

我們還研究了在有色噪聲的作用下,貝葉斯代價(jià)函數(shù)在高斯先驗(yàn)概率和均勻先驗(yàn)概率下隨時(shí)間變化的動(dòng)力學(xué)行為,發(fā)現(xiàn)貝葉斯代價(jià)函數(shù)在這兩種先驗(yàn)概率下隨時(shí)間變化的動(dòng)力學(xué)行為與在廣義的先驗(yàn)概率下隨時(shí)間變化的動(dòng)力學(xué)行為是相似的.總而言之,當(dāng)先驗(yàn)概率的不確定度比較小時(shí),利用有色噪聲的非高斯性,可以使頻率估計(jì)更加準(zhǔn)確.而當(dāng)先驗(yàn)概率的不確定度比較大時(shí),則會(huì)降低頻率估計(jì)的精確度.

5 結(jié) 論

本文利用貝葉斯估計(jì)方法研究了1/fα型譜密度的有色噪聲對頻率估計(jì)精度的影響,重點(diǎn)討論了廣義先驗(yàn)概率的不確定度對有色噪聲作用的影響.研究發(fā)現(xiàn),先驗(yàn)概率的不確定度對貝葉斯代價(jià)函數(shù)有著很大的影響.對于先驗(yàn)概率的不確定度比較小的情況,如果α的取值非常小以至于系統(tǒng)與漲落子之間的相對耦合強(qiáng)度較弱,環(huán)境對估計(jì)精度的影響小,這時(shí)頻率測量就會(huì)更加準(zhǔn)確;當(dāng)α的取值非常大時(shí),噪聲的非高斯性顯現(xiàn)出來,這時(shí)頻率估計(jì)也會(huì)更加準(zhǔn)確.然而對于先驗(yàn)概率的不確定度比較大的情況,噪聲的非高斯性被抑制,不能再為頻率的估計(jì)精度的提高起到促進(jìn)作用.如果在實(shí)驗(yàn)中已知先驗(yàn)概率的分布情況,利用有色噪聲的非高斯性,可以提高測量的精度.

近年來機(jī)器學(xué)習(xí)技術(shù)正在被應(yīng)用到各個(gè)領(lǐng)域,比如文獻(xiàn)[34,35]利用機(jī)器學(xué)習(xí)技術(shù)來推斷量子系統(tǒng)的哈密頓量,文獻(xiàn)[36]則把機(jī)器學(xué)習(xí)用在了量子系統(tǒng)的消相干刻畫方面.把本文的結(jié)果與機(jī)器學(xué)習(xí)方法結(jié)合起來,將是一個(gè)很有意義的研究方向.

[1]Wiseman H M,Milburn G J 2009Quantum Measurement and Control(England:Cambridge University Press)pp51,52

[2]Paris M G A,?ehá?ek J 2010Quantum Estimation Theory(Berlin:Springer-Verlag)pp1,2

[3]Helstrom C W 1976Quantum Detection and Estimation Theory(New York:Academic Press)pp231,252

[4]Holevo A S 1982Probabilistic and Statistical Aspects of Quantum Theory(Amsterdam:North-Holland)p64

[5]Dowling J P 2008Contemp.Phys.49 125

[6]Braunstein S L,Caves C M 1994Phys.Rev.Lett.72 3439

[7]Pairs M G A 2009Int.J.Quantum Inform.7 125

[8]Giovannetti V,Lloyd S,Maccone L 2011Nat.Photon.5 222

[9]Demkowicz-Dobrzański R,Ko?odyński J,Gu?ǎ M 2012Nat.Commun.3 1063

[10]Escher B M,de Matos Filho R L,Davidovich L 2011Nat.Phys.7 406

[11]Liu Y C,Xu Z F,Jin G R 2011Phys.Rev.Lett.107 013601

[12]Liu G Q,Zhang Y R,Chang Y C,Yue J D,Fan H,Pan X Y 2015Nat.Commun.6 6726

[13]Giovannetti V,Lloyd S,Maccone L 2006Phys.Rev.Lett.96 010401

[14]Jarzyna M,Demkowicz-Dobrzański R 2015New J.Phys.17 013010

[15]Demkowicz-DobrzańskiR 2011Phys.Rev.A83 061802R

[16]Cramér H 1946Mathematical Methods of Statistics(Princeton,NJ:Princeton University Press)pp498–500

[17]Lu X M,Sun Z,Wang X G,Luo S L,Oh C H 2013Phys.Rev.A87 050302

[18]Li N,Luo S L 2013Phys.Rev.A88 014301

[19]Lu X M,Wang X G,Sun C P 2010Phys.Rev.A82 042103

[20]Zhang Y M,Li X W,Yang W,Jin G R 2013Phys.Rev.A88 043832

[21]Chin A W,Huegla S F,Plenio M B 2012Phys.Rev.Lett.109 233601

[22]Monras A,Paris M G A 2007Phys.Rev.Lett.98 160401

[23]Li X L,Li J G,Wang Y M 2017Phys.Lett.A381 216

[24]Ma J,Huang Y X,Wang X G,Sun C P 2011Phys.Rev.A84 022302

[25]Zhong W,Sun Z,Ma J,Wang X G,Nori F 2013Phys.Rev.A87 022337

[26]Weiss U 1993Quantum Dissipative System(Singapore:World Scienti fic)p5

[27]Yoshihara F,Harrabi K,Niskanen A O,Nakamura A,Tsai J S 2006Phys.Rev.Lett.97 167001

[28]Kakuyanagi K,Meno T,Saito S,Nakano H,Semba K,Takayanagi H,Deppe F,Shnirman A 2007Phys.Rev.Lett.98 047004

[29]Bergli J,Galperin Y M,Altshuler B L 2009New J.Phys.11 025002

[30]Benedetti C,Buscemi F,Bordone P 2013Phys.Rev.A87 052328

[31]Benedetti C,Paris M G A,Maniscalco S 2014Phys.Rev.A89 012114

[32]Ban M 2016Quantum Inf.Process.15 2213

[33]Li J G,Wang Y M,Yang D,Zou J 2017Phys.Rev.A96 052130

[34]Wiebe N,Granade C E,Ferrie C,Cory D G 2014Phys.Rev.Lett.112 190501

[35]Wang J W,Paesani S,Santagati R,Knauer S,Gentile A A,Wiebe N,Petruzzella M,O’Brien J L,Rarity J G,Laing A,Thompson M G 2017Nat.Phys.13 551

[36]Stenberg M P V,K?hn O,Wilhelm F K 2016Phys.Rev.A93 012122