基于自發(fā)參量下轉(zhuǎn)換源二階激發(fā)過程產(chǎn)生四光子超糾纏態(tài)?

何英秋 丁東 彭濤 閆鳳利 高亭

1)(承德醫(yī)學(xué)院生物醫(yī)學(xué)工程系,承德 067000)

2)(華北科技學(xué)院理學(xué)院,北京 101601)

3)(河北師范大學(xué)物理科學(xué)與信息工程學(xué)院,石家莊 050024)

4)(河北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,石家莊 050024)

1 引言

在光量子信息處理中,量子比特對(duì)應(yīng)的實(shí)際物理系統(tǒng)是由光子構(gòu)成的光學(xué)系統(tǒng)[1,2],其中最簡(jiǎn)單、最重要的糾纏資源是成對(duì)的糾纏光子.作為一種非線性光學(xué)過程,自發(fā)參量下轉(zhuǎn)換是指一束短脈沖紫外光子入射到非線性晶體BBO(β-barium-borate)上產(chǎn)生兩個(gè)糾纏光子的現(xiàn)象[3?5],對(duì)應(yīng)的這兩個(gè)光子分別稱為信號(hào)光子和休閑光子.自發(fā)參量下轉(zhuǎn)換過程分為兩類,在第一類中產(chǎn)生的信號(hào)光子和休閑光子的偏振方向相同,在第二類中產(chǎn)生的信號(hào)光子和休閑光子的偏振方向相互垂直.這里,以第二類自發(fā)參量下轉(zhuǎn)換過程為例,其相互作用過程中的哈密頓量為[6,7]

對(duì)于自發(fā)參量下轉(zhuǎn)換源,除了應(yīng)用一階激發(fā)過程產(chǎn)生成對(duì)的糾纏光子外,其高階激發(fā)同樣具有重要的研究意義.一般地,自發(fā)參量下轉(zhuǎn)換源高階激發(fā)過程[11?16]對(duì)應(yīng)產(chǎn)生的多光子糾纏態(tài)可表示為

其中,|n?m〉aH表示在空間模a中有n?m個(gè)H偏振光子,其他項(xiàng)具有類似的意義;τ=κt/?是相互作用參數(shù),t是相互作用時(shí)間.值得注意的是這里的態(tài)表示的是n對(duì)不可區(qū)分的光子態(tài),不同于n對(duì)相互獨(dú)立的光子對(duì).

一般地,光子可以在偏振、空間和頻率等自由度上糾纏.當(dāng)一個(gè)光學(xué)系統(tǒng)同時(shí)在兩個(gè)以上自由度上具有糾纏時(shí),通常稱之為超糾纏態(tài)[17?22].相對(duì)于單一自由度上的糾纏態(tài)而言,超糾纏態(tài)是一種應(yīng)用更為廣泛的糾纏資源,比如可應(yīng)用于糾纏態(tài)分析[23?28]、糾纏純化和濃縮[29?35]、超并行量子計(jì)算[36?38]及超糾纏量子通信[39?42]等.本文研究基于自發(fā)參量下轉(zhuǎn)換源二階激發(fā)過程產(chǎn)生四光子超糾纏態(tài)方案.方案中,應(yīng)用線性光學(xué)器件設(shè)計(jì)可行的量子線路,演化參量下轉(zhuǎn)換源激發(fā)的四個(gè)不可區(qū)分的糾纏光子態(tài).最后,基于四光子符合探測(cè),可制備一個(gè)同時(shí)包含偏振糾纏和空間糾纏的四光子超糾纏態(tài).

2 四光子超糾纏態(tài)的制備

這里研究基于二階自發(fā)參量下轉(zhuǎn)換過程制備四光子超糾纏態(tài)方案.如圖1所示,考慮一個(gè)短脈沖紫外光通過BBO晶體,在空間模a1和b1(或空間模a2和b2)激發(fā)四個(gè)不可區(qū)分的糾纏光子,即態(tài)

其中,|0〉表示真空態(tài),i=1,2.圖1中,分束器的作用是當(dāng)一個(gè)光子通過分束器時(shí)其通過和被反射的概率各占50%;半波片的作用是演化光子的偏振狀態(tài)|H〉到|V〉,或演化狀態(tài)|V〉到|H〉;偏振分束器的作用是使水平偏振光通過而垂直偏振光被反射.

很明顯,二階自發(fā)參量下轉(zhuǎn)換過程激發(fā)的四光子糾纏態(tài)可能處于空間模a1和b1,當(dāng)然也可能激發(fā)于空間模a2和b2.首先考慮四光子處于空間模a1和b1的情況.由空間模a1,b1到空間模C1,C2,D1和D4,經(jīng)過兩個(gè)分束器的作用,光子的演化過程滿足

圖1 四光子超糾纏態(tài)制備原理圖Fig.1.The schematic diagram of generating four-photon hyperentangled state.

于是,四光子糾纏態(tài)演化為

接著,空間模C1和C2中的光子經(jīng)偏振分束器干涉,滿足

此時(shí),空間模D1,D2,D3和D4中的四光子糾纏態(tài)可表示為

隨后,光子經(jīng)過半波片和偏振分束器作用,即

從空間模Di到空間模ei,Ei,其中i=1,2,3,4,四光子糾纏態(tài)演化為

另一方面,考慮自發(fā)參量下轉(zhuǎn)換源激發(fā)的四光子處于空間模a2和b2的情況.同理,由于空間模a2和b2中兩個(gè)分束器和空間模c1,c2中偏振分束器的作用,最初激發(fā)的四光子糾纏態(tài)演化為

表1 四光子GHZ態(tài)的符合探測(cè)結(jié)果及其對(duì)應(yīng)的概率Table 1.The results of fourfold coincidence detections and the corresponding probabilities for the four-photon GHZ states.

接下來,經(jīng)過最后這組偏振分束器作用,空間模ei,Ei(i=1,2,3,4)中的四光子糾纏態(tài)演化為

這里,我們假定四個(gè)光子處于空間模a1和b1與空間模a2和b2這兩種激發(fā)狀態(tài)的概率相同、相對(duì)相位為零并且對(duì)光子的兩種激發(fā)狀態(tài)不進(jìn)行區(qū)分.于是,可以通過選擇適當(dāng)?shù)乃哪９庾臃咸綔y(cè)投影四光子態(tài)到不同的子空間.考慮四個(gè)光子同時(shí)出現(xiàn)在不同空間模的情況,此時(shí)可以得到人們熟知的四光子GHZ態(tài).具體地,對(duì)應(yīng)于不同的符合探測(cè)結(jié)果,得到的四光子GHZ態(tài)及其對(duì)應(yīng)的概率如表1所列.根據(jù)表1中的結(jié)果,不難發(fā)現(xiàn)基于參量下轉(zhuǎn)換源二階激發(fā)過程得到偏振糾纏四光子GHZ態(tài)的總概率為1/2.

另一方面,如果選擇不區(qū)分空間模ei和Ei(i=1,2,3,4)的四模符合事件,即考慮空間模e1(或E1),e2(或E2),e3(或E3)和e4(或E4) 中有且僅有一個(gè)光子的情況,得到態(tài)

顯然,該四光子糾纏態(tài)既具有偏振糾纏又有空間糾纏,是超糾纏態(tài).由表1中的結(jié)果可知,獲得該超糾纏態(tài)的概率為1/24.

3 討 論

基于自發(fā)參量下轉(zhuǎn)換源二階激發(fā)過程,我們給出了一個(gè)四光子超糾纏態(tài)的制備方案.在基于自發(fā)參量下轉(zhuǎn)換源一階激發(fā)過程制備四光子超糾纏態(tài)方案[31]中,需要引入量子非破壞性測(cè)量[43?51]來區(qū)分參量下轉(zhuǎn)換源激發(fā)的兩對(duì)糾纏光子所處的狀態(tài).而對(duì)于僅包含二階激發(fā)過程的自發(fā)參量下轉(zhuǎn)換源而言,這里不需要區(qū)分四個(gè)糾纏光子所處的狀態(tài),因此當(dāng)前方案更具可行性.對(duì)于自發(fā)參量下轉(zhuǎn)換源同時(shí)包含一階激發(fā)和二階激發(fā)過程的情況,因?yàn)橛糜谘莼墓庾酉到y(tǒng)的量子線路及隨后的四光子符合探測(cè)選擇性地遺棄了一個(gè)空間模同時(shí)包含兩個(gè)處于相同偏振狀態(tài)的光子對(duì)應(yīng)的項(xiàng),于是,這里得到的態(tài)與一階激發(fā)過程中的兩對(duì)糾纏光子激發(fā)于同一空間模的情況相同,所以本文的方案可以提高超糾纏態(tài)的制備效率.當(dāng)前實(shí)驗(yàn)上,人們主要通過抑制參量下轉(zhuǎn)換源高階激發(fā)過程,以確保僅產(chǎn)生成對(duì)的糾纏光子并進(jìn)一步實(shí)現(xiàn)多光子糾纏態(tài)的制備.而實(shí)際上,本文的研究表明,對(duì)于四光子超糾纏態(tài)的制備,自發(fā)參量下轉(zhuǎn)換源二階激發(fā)過程不必刻意抑制,而恰恰是可以靈活應(yīng)用的.同時(shí),我們也注意到自發(fā)參量下轉(zhuǎn)換源二階激發(fā)過程的實(shí)驗(yàn)觀測(cè)[12,13,15]、一階激發(fā)與二階激發(fā)間的參數(shù)控制[14]以及高階激發(fā)光子的區(qū)分[52]等.隨著人們對(duì)自發(fā)參量下轉(zhuǎn)換源高階激發(fā)過程的深入研究,相信其在多光子糾纏態(tài)的產(chǎn)生、制備及應(yīng)用等方面一定有其獨(dú)特的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值.

4 結(jié) 論

基于自發(fā)參量下轉(zhuǎn)換源二階激發(fā)過程,提出了一個(gè)簡(jiǎn)單可行的四光子超糾纏態(tài)制備方案.方案中,應(yīng)用分束器、半波片和偏振分束器等線性光學(xué)器件設(shè)計(jì)量子線路演化參量下轉(zhuǎn)換過程激發(fā)的四個(gè)不可區(qū)分光子.通過四模光子符合探測(cè),四光子態(tài)可演化為同時(shí)具有偏振糾纏和空間糾纏的超糾纏態(tài).本方案的提出可為應(yīng)用自發(fā)參量下轉(zhuǎn)換源高階激發(fā)過程提供新的思路和方法.

[1]Kok P,Munro W J,Nemoto K,Ralph T C,Dowling J P,Milburn G J 2007Rev.Mod.Phys.79 135

[2]Pan J W,Chen Z B,Lu C Y,Weinfurter H,Zeilinger A,?kowski M 2012Rev.Mod.Phys.84 777

[3]Burnham D C,Weinberg D L 1970Phys.Rev.Lett.25 84

[4]Kiess T E,Shih Y H,Sergienko A V,Alley C O 1993Phys.Rev.Lett.71 3893

[5]Kwiat P G,Mattle K,Weinfurter H,Zeilinger A 1995Phys.Rev.Lett.75 4337

[6]Kok P,Braunstein S L 2000Phys.Rev.A61 042304

[7]Simon C,Weihs G,Zeilinger A 2000Phys.Rev.Lett.84 2993

[8]Wieczorek W,Schmid C,Kiesel N,Pohlner R,Gühne O,Weinfurter H 2008Phys.Rev.Lett.101 010503

[9]Yao X C,Wang T X,Xu P,Lu H,Pan G S,Bao X H,Peng C Z,Lu C Y,Chen Y A,Pan J W 2012Nat.Photon.6 225

[10]Wang X L,Chen L K,Li W,Huang H L,Liu C,Chen C,Luo Y H,Su Z E,Wu D,Li Z D,Lu H,Hu Y,Jiang X,Peng C Z,Li L,Liu N L,Chen Y A,Lu C Y,Pan J W 2016Phys.Rev.Lett.117 210502

[11]Ou Z Y,Rhee J K,Wang L J 1999Phys.Rev.Lett.83 959

[12]Lamas-Linares A,Howell J,Bouwmeester D 2001Nature412 887

[13]Simon C,Bouwmeester D 2003Phys.Rev.Lett.91 053601

[14]de Riedmatten H,Scarani V,Marcikic I,Acín A,Tittel W,Zbinden H,Gisin N 2004J.Mod.Opt.51 1637

[15]Nagata T,Okamoto R,O’Brien J L,Sasaki K,Takeuchi S 2007Science316 726

[16]Ding D,HeY Q,Yan F L,Gao T 2017 arXiv:1705.00392 [quant-ph]

[17]Kwiat P G 1997J.Mod.Opt.44 2173

[18]Barreiro J T,Langford N K,Peters N A,Kwiat P G 2005Phys.Rev.Lett.95 260501

[19]Vallone G,Ceccarelli R,de Martini F,Mataloni P 2009Phys.Rev.A79 030301

[20]Du K,Qiao C F 2012J.Mod.Opt.59 611

[21]Ding D,He Y Q,Yan F L,Gao T 2015Acta Phys.Sin.64 160301(in Chinese)[丁東,何英秋,閆鳳利,高亭2015物理學(xué)報(bào)64 160301]

[22]Deng F G,Ren B C,Li X H 2017Sci.Bull.62 46

[23]Walborn S P,Pádua S,Monken C H 2003Phys.Rev.A68 042313

[24]Wei T C,Barreiro J T,Kwiat P G 2007Phys.Rev.A75 060305

[25]Sheng Y B,Deng F G,Long G L 2010Phys.Rev.A82 032318

[26]Ren B C,Wei H R,Hua M,Li T,Deng F G 2012Opt.Express20 24664

[27]Li X H,Ghose S 2016Phys.Rev.A93 022302

[28]Xia Y,Chen Q Q,Song J,Song H S 2012J.Opt.Soc.Am.B29 1029

[29]Sheng Y B,Deng F G 2010Phys.Rev.A81 032307

[30]Ren B C,Long G L 2014Opt.Express22 6547

[31]He Y Q,Ding D,Yan F L,Gao T 2015J.Phys.B:At.Mol.Opt.Phys.48 055501

[32]Ren B C,Du F F,Deng F G 2014Phys.Rev.A90 052309

[33]Du F F,Li T,Long G L 2016Ann.Phys.375 105

[34]Liu H J,Xia Y,Song J 2016Quantum Inf.Process.15 2033

[35]Ren B C,Wang H,Alzahrani F,Hobiny A,Deng F G 2017Ann.Phys.385 86

[36]Ren B C,Wang G Y,Deng F G 2015Phys.Rev.A91 032328

[37]Li T,Long G L 2016Phys.Rev.A94 022343

[38]Wei H R,Deng F G,Long G L 2016Opt.Express24 18619

[39]Wang T J,Song S Y,Long G L 2012Phys.Rev.A85 062311

[40]Sheng Y B,Zhou L 2015Sci.Rep.5 7815

[41]Jiang Y X,Guo P L,Gao C Y,Wang H B,Alzahrani F,Hobiny A,Deng F G 2017Sci.China:Phys.Mech.Astron.60 120312

[42]Wu F Z,Yang G J,Wang H B,Xiong J,Alzahrani F,Hobiny A,Deng F G 2017Sci.China:Phys.Mech.Astron.60 120313

[43]Nemoto K,Munro W J 2004Phys.Rev.Lett.93 250502

[44]Munro W J,Nemoto K,Beausoleil R G,Spiller T P 2005Phys.Rev.A71 033819

[45]Barrett S D,Kok P,Nemoto K,Beausoleil R G,Munro W J,Spiller T P 2005Phys.Rev.A71 060302

[46]Lin Q,He B,Bergou J A,Ren Y H 2009Phys.Rev.A80 042311

[47]Ding D,Yan F L 2013Phys.Lett.A377 1088

[48]Ding D,Yan F L,Gao T 2014Sci.China:Phys.Mech.Astron.57 2098

[49]He Y Q,Ding D,Yan F L,Gao T 2015Opt.Express23 21671

[50]Zhou L,Sheng Y B 2015Phys.Rev.A92 042314

[51]Sheng Y B,Pan J,Guo R,Zhou L,Wang L 2015Sci.China:Phys.Mech.Astron.58 060301

[52]He Y Q,Ding D,Yan F L,Gao T 2017Sci.Rep.7 15356