光子的旋量波動方程

劉繼平, 吳向堯, 孟祥東, 張斯淇, 張曉茹, 劉 晗, 李 宏, 馬 季, 梁 禺

(1. 吉林師范大學 物理學院, 吉林 四平 136000； 2. 吉林大學 物理學院, 長春 130012)

目前, 關于光子局域化與光子波函數的關系已引起人們廣泛關注[1-4]. 文獻[5]研究表明, 光子局域化問題與光子位置算符密切相關; 文獻[6-7]研究表明, 用Riemann-Silberstein(RS)矢量可描述光子波函數; 文獻[8-9]研究表明, 在量子場論中,可用Klein-Gordon描述自旋為0的Boson標量波動方程; 文獻[10]研究表明, 用Proca方程描述自旋為1的Boson矢量波動方程; 文獻[11]研究表明, 可用Dirac方程描述自旋為1/2的Fermion旋量波動方程. 自Dirac發現自旋為1/2粒子的相對論波動方程后, 利用Lorentz群理論研究旋量和矢量已取得較大進展[12]. 在四維時空旋轉下, 旋量可更好地描述Lorentz不變性的概念[13-14]. 利用光子的旋量波動方程, 可以研究光在真空和介質中的量子特性[15-16]. 基于此, 本文提出自由和非自由光子的旋量波動方程, 給出自旋算子、 自旋與空間波函數及光場的Lagrange密度. 由單光子自旋波函數得到兩光子或多光子自旋波函數, 并給出多光子自旋糾纏態.

1 自由光子旋量方程

Dirac方程描述的是自旋為1/2的粒子, Dirac通過分解Einstein色散關系方程, 得到了時間空間一階導數的旋量波動方程, 將Einstein色散關系因子化為

(1)

從而

E-cα·p-m0c2β=0.

(2)

(3)

其中α和β為Dirac矩陣.

由Dirac的因子化方程, 可得自由光子的旋量波動方程. 由于光子的靜質量m0=0, 因此方程(2)可變為

E-cα·p=0,

(4)

由正則量子化方程, 可得光的旋量方程為

(5)

其中:H=-ic?α·為光子的Hamilton算符;ψ為光子的旋量波函數. 對正則Lorentz群LP, 自旋為1光子的不可約表示為D10,D01,D1/2,1/2, 其對應的維數分別為3,3,4. 選擇光子的旋量波函數作為三維不可約表示的基矢：

(6)

α矩陣可選為

(7)

顯然,α矩陣是厄米的,α+=α, 光子的Hamilton算符也是厄米的,H+=H. 方程(5)～(7)為自由光子的旋量波動方程(自旋s=1, 靜質量m0=0).

2 光子的自旋算符

下面證明方程(7)中α矩陣選取的合理性, 方程ψ可寫為

(8)

其中H=cp·α. 光子的軌道角動量滿足

(9)

即

[L,H]=i?c(α×p).

(10)

式(10)表示光子的軌道角動量不是守恒量, 由于自由光子的總角動量應守恒, 因此光子應存在固有角動量, 即自旋角動量s, 光子的總角動量J為

J=L+s,

(11)

其中J是守恒的, 即

[J,H]=0.

(12)

利用式(10)和式(12)可得

[s,H]=-[L,H]=-i?c(α×p),

(13)

即

[sx,H]=[sx,cα·p]=-i?c(α×p)x=i?c(αzpy-αypz),

(14)

從而

比較方程(15)兩邊可得

[sx,αx]=0, [sx,αy]=i?αz, [sx,αz]=-i?αy,

(16)

類似可得

利用式(16)和式(18)可計算光子自旋矩陣s, 先定義sx矩陣為

(19)

通過對易關系式(16), 計算可得

(20)

類似地, 由對易關系式(17)和式(18)可得

(21)

可證明光子的自旋矩陣sx,sy,sz的本征值均為±?, 如sx的本征值為

(22)

其特征值方程為

(23)

即

(a-λ1)[(a-λ1)2-?2]=0.

(24)

為得到本征值λ1=±?, 令a=0. 由sy和sz的本征值方程可得b=c=0. 因此, 光子的自旋矩陣為

(25)

式(25)為描述光子自旋s=1的自旋矩陣, 其本征值為±?, 矩陣的平方為

(26)

比較式(7)和式(26)可得

sx=αx,sy=αy,sz=αz.

(27)

3 光子的螺旋性

螺旋性由在動量方向自旋投影定義, 即

(28)

由

(29)

知α·p的本征值方程為

(30)

從而

(31)

即

λ(p2-λ2)=0,

(32)

本征值λ的解為

λ=±|p|,0.

(33)

因此光子螺旋度h為

h=+1,-1,0.

(34)

當h=+1時, 對應橫向右手圓極化螺旋態, 稱為右旋光子； 當h=-1時, 對應橫向左手圓極化螺旋態, 稱為左旋光子； 當h=0時, 為縱向極化態, 由實驗結果可知, 只存在橫向極化光子, 不存在縱向極化光子.

4 光子的幾率守恒方程

下面給出光子的幾率密度與幾率守恒方程, 式(5)的Hermitian共軛方程為

(35)

式(35)右乘ψ變為

(36)

式(35)左乘ψ+變為

(37)

式(37)與式(36)相減可得

(38)

即

(39)

從而光子的幾率守恒方程為

(40)

其中:ρ=ψ+ψ為光子的幾率密度;J=cψ+αψ為光子的幾率流密度.

5 自由光子的平面波解

自由光子的旋量方程為

(41)

其中:

(42)

(43)

其中

(44)

將式(43)和式(44)代入式(41)可得

cα·pu(p)=Eu(p),

(45)

即

(46)

展開式(46)可得

(47)

由u1,u2,u3的非零解條件可得

(48)

E的解為

E1=+c|p|,E2=-c|p|.

(49)

由式(47)可得

由式(50),(51)可得

(52)

則u(p)為

(53)

其中N為歸一化常數. 將u(p)歸一化可得

歸一化常數

(55)

則

(56)

從而自由光子的平面波解為

(57)

6 光子的自旋波函數

由式(25),(26)可知s2與sx,sy,sz對易, 下面計算s2和sz共同的本征態為χμ, 本征方程為

其共同的本征值(χμ)T=(φ1,φ2,φ3), 式(59)可表示為

(60)

其非零解條件為

(61)

即

-μ(μ2-1)=0,

(62)

μ的解為

μ1=0,μ2=1,μ3=-1.

(63)

將μ=0代入式(60)可得

(64)

即

φ1=φ2=0,φ3≠0,

(65)

從而歸一化的自旋波函數為

(66)

將μ=1,-1代入式(61)分別可得到對應的自旋波函數為

(67)

(68)

自旋波函數滿足的正交條件為

(69)

7 非自由光子的自旋波函數

下面給出非自由光子的旋量波動方程. 非自由粒子的Einstein色散關系為

(70)

將式(70)的因子變為

(71)

由于光子的m0=0, 因此式(71)可變為

(E-V)2-c2p2=(E-V-cp·α)(E-V+cp·α)=0,

(72)

則

(E-V-cp·α)=0.

(73)

將式(73)正則量子化為

(74)

由于光在介質中的勢能[14]為

V=?ω(1-n),

(75)

因此光在介質中的旋量方程為

(76)

通過分離變量法

ψ(r,t)=ψ(r)f(t),

(77)

式(76)變為

[-ic?α·+?ω(1-n)]ψ(r)=Eψ(r),

(78)

其中E為光子的總能量. 式(76)和式(78)分別為含時和不含時光在介質中的旋量波動方程,n為介質折射率, 因此由式(76)和式(78)可研究光在介質中的量子特性.

綜上, 本文利用Einstein色散關系方程, 提出了自由和非自由光子的旋量波動方程, 并給出了單個光子自旋算符與自旋波函數. 通過計算光子的螺旋度, 證明存在左旋和右旋光子. 由單光子自旋波函數得到兩光子或多光子的自旋波函數, 并給出了多光子自旋糾纏態, 該糾纏態可進一步應用于量子信息和量子計算中.

[1] Landau L, Peierls R. Quantenelektrodynamik im Konfigurationsraum [J]. Zeitschrift für Physik, 1930, 62(3/4): 188-200.

[2] Cameron R P, Barnett S M. Electric-Magnetic Symmetry and Noether’s Theorem [J]. New J Phys, 2012, 14(12): 123019.

[3] Fernandezcorbaton I, Zambranapuyalto X, Tischler N, et al. Electromagnetic Duality Symmetry and Helicity Conservation for the Macroscopic Maxwell’s Equations [J]. Phys Rev Lett, 2013, 111(6): 060401.

[4] Dressel J, Bliokh K Y, Nori F. Spacetime Algebra as a Powerful Tool for Electromagnetism [J]. Phys Rep, 2015, 589: 1-71.

[5] Keller O. On the Theory of Spatial Localization of Photons [J]. Phy Rep, 2005, 411(1/2/3): 1-232.

[6] Ludwig S. Elektromagnetische Grundgleichungen in Bivektorieller Behandlung [J]. Annalen der Physik, 2010, 327(3): 579-586.

[7] Englmana R, Yahalomb A. Cortical Dynamics and Awareness State: An Interpretation of Observed Interstimulus Interval Dependence in Apparent Motion [J]. Physica A, 1998, 260(3/4): 555-559.

[8] Oskar K, Von. Quantentheorie und Fünfdimensionale Relativit?tstheorie [J]. Zeitschrift für Physik, 1926, 37(12): 895-906.

[9] Gregor W. Zur Theorie des Comptoneffekts [J]. Zeitschrift für Physik, 1927, 43(1/2): 1-8.

[10] Proca Al. Sur la Théorie Ondulatoire des électrons Positifs et Négatifs [J]. J Phys Radium, 1936, 7(8): 347-353.

[11] Bargmann V, Wigner E P. Group Theoretical Discussion of Relativistic Wave Equations [J]. Pro Nat Acad Sci, 1948, 34(5): 211-223.

[12] Finkelstein R, Fronsdal C, Kaus P. Nonlinear Spinor Field [J]. Phys Rev, 1956, 103(5): 1571-1579.

[13] Cameron R P, Barnett S M, Yao A M. Optical Helicity, Optical Spin and Related Quantities in Electromagnetic Theory [J]. New J Phys, 2012, 14(5): 053050.

[14] Bliokh K Y, Dressel J, Nori F. Conservation of the Spin and Orbital Angular Momenta in Electromagnetism [J]. New J Phys, 2014, 16(9): 093037.

[15] 劉曉靜, 孟祥東, 梁禺, 等. 一維變頻光子晶體的透射特性 [J]. 吉林大學學報(理學版), 2017, 55(3): 684-689. (LIU Xiaojing, MENG Xiangdong, LIANG Yu, et al. Transmission Properties of One-Dimensional Variable Frequency Photonic Crystals [J]. Journal of Jilin University (Science Edition), 2017, 55(3): 684-689.)

[16] 劉曉靜, 梁禺, 劉繼平, 等. 新型二維函數光子晶體的透射特性[J], 吉林大學學報(理學版), 2017, 55(4): 985-989. (LIU Xiaojing, LIANG Yu, LIU Jiping, et al. Transmission Properties of New Type of Two-Dimensional Function Photonic Crystal [J]. Journal of Jilin University (Science Edition), 2017, 55(4): 985-989.)