基于三維自治系統復雜網絡的混沌保密通信系統

付宏睿, 董永剛, 張建剛

(1. 安陽學院 建筑工程學院, 河南 安陽 455000; 2. 蘭州交通大學 數理學院, 蘭州 730070)

目前, 基于復雜網絡的混沌同步問題已引起人們廣泛關注[1-2]. 文獻[3]通過設計控制器, 對基于自適應的非線性耦合網絡進行了有限時間同步控制； 文獻[4]研究了復雜網絡在脈沖信號下的網絡同步問題; 文獻[5]基于Lorenz系統, 研究了小世界網絡各變量間替換耦合的同步問題； 文獻[6]基于投影同步, 研究了復雜網絡混沌系統的有限時間同步. 但對復雜網絡同步應用的研究文獻報道較少. 本文將一個三維自治系統與復雜網絡相結合, 利用該系統的混沌同步將其應用于保密通信[7-12]中. 在信息傳輸中加入Gauss白噪聲[13-14]對混沌保密通信系統進行干擾, 并用小波變換[15]原理對信號進行去噪處理, 由MATLAB數值仿真結果可見, 該系統可無失真地恢復有用信號.

1 數學模型

選取一個三維自治混沌系統, 該系統的狀態方程為

(1)

其中:X=(x1,x2,x3)T∈3為系統的狀態變量;a,b,c∈為系統參數. 該系統用矩陣表示為其中:

由矩陣表達式可知, 該系統中a11a22=0. 由于Lorenz系統為a11a22>0, Chen系統為a11a22<0, Liu系統為a11a22<0, 且該系統與上述3個經典混沌系統不具有拓撲等價性, 因此該三維自治系統是處于經典混沌系統間新的臨界系統.

1.1 系統(1)的耗散性與吸引子的存在性

由于系統(1)的向量場散度為

圖1 混沌吸引子的相圖Fig.1 Phase diagram of chaotic attractor

1.2 系統(1)吸引子的數值仿真

當系統(1)的參數a=5,b=4,c=-4時, 由于

V=-2a-c<0.

因此其具有耗散性, 該系統存在如圖1所示的混沌吸引子, 其中： (A)為三維相空間的混沌吸引子； (B)為x-y平面投影； (C)為x-z平面投影； (D)為y-z平面投影.

2 基于系統

(1)的復雜網絡同步

選取由N個相同節點通過耦合構成的全局耦合網絡, 其中第i個節點的n維動力系統狀態方程為

(2)

將系統(1)表示為網絡的各節點, 若取節點數N=3, 則由該系統組成3個節點的全局耦合網絡模型為

(3)

(4)

(5)

根據系統(3)～(5)節點組成的網絡模型, 通過MATLAB進行數值仿真, 可得如圖2所示的同步誤差結果, 其中： (A)為節點1和2的同步誤差; (B)為節點2和3的同步誤差； (C)為節點1和3的同步誤差. 由圖2可見, 各系統的初始參數不同, 但通過控制后, 各節點間均能較快達到同步.

圖2 耦合網絡同步誤差Fig.2 Synchronization error of coupling network

3 基于耦合網絡同步的混沌保密通信

3.1 保密通信原理

圖3 保密通信系統原理Fig.3 Principle of secure communication system

基于三維自治系統的全局耦合網絡模型的同步, 提出一種復雜網絡的混沌保密通信系統, 如圖3所示. 先在發送端將信息經兩次加密后, 再在接收端經兩次解密后恢復信息. 由于該三維自治系統線性部分系數矩陣對應的項與經典混沌系統不同, 是處于經典混沌系統間的臨界系統. 因此將其應用于保密通信將極大提高信息的保密性.

3.2 基于小波去噪的保密通信數值仿真

將如圖4所示的Gauss白噪聲信號加入保密通信的過程中, 由于信息在傳輸過程中受嚴重干擾, 因此在解密過程中需考慮噪聲的消除問題.

小波去噪原理如圖5所示. 該去噪方法先將待測信號與噪聲信號進行疊加, 由于混沌信號的能量譜較集中, 而噪聲在小波域中的能量譜較分散, 因此含噪信號在經預處理后, 利用小波變換原理[16]對信號進行多尺度分解, 再選擇適當的小波閾值進行分尺度去噪, 最后將去噪處理后的信號進行重構即可得到原有用信號.

圖4 Gauss白噪聲及其頻譜Fig.4 Gaussian white noise and frequency spectra

圖5 小波去噪原理Fig.5 Principle of wavelet de-noising

選取系統(3)為發射端, 系統(4)為接收端, 用上述保密通信方法, 將離散信號h(t)作為有用信息進行傳輸, 則含噪信號為

s(t)=h(t)+x22(t)+n(t),

其中n(t)為5 dB的Gauss白噪聲信號.

令節點1為發射系統:

節點2為接收系統:

通過MATLAB進行數值仿真, 保密通信下離散信號的傳輸如圖6所示, 其中： (A)為x22的時間序列; (B)為有用信息h(t); (C)和(D)分別為信道中第一次與第二次加密后的含噪信號s(t)和s′(t); (E)和(F)分別為第一次解密與第二次解密后的含噪信號h′(t)和h″(t); (G)為采用小波閾值去噪處理后的有用信號h1(t).

由圖6可見, 經兩次加密與兩次解密后, 離散信號可被恢復, 但信號波形發生了改變, 這是由于受噪聲干擾所致. 通過小波閾值去噪處理后, 離散信號可被較好地恢復.

圖6 保密通信下離散信號的傳輸Fig.6 Transmission of discrete signals under secure communication

綜上, 本文將一個三維自治系統作為網絡節點, 研究了該系統復雜網絡的混沌同步問題, 并設計了基于該網絡同步的保密通信系統. 由于該系統的結構與動力學特性較復雜, 因此可提高保密程度, 從而增加破譯難度. 為對信息傳輸進行干擾, 在傳輸過程中加入了Gauss白噪聲, 經小波閾值去噪處理后, 使得有用信號可無失真地被恢復.

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