斐波那契數列與紙藝樹

顧冰

冬天，寒風凜冽，萬木凋零，街道兩邊的大樹雖然只留下了光禿禿的樹干與枝椏，卻別有一番嚴冬的風味。其實這些樹干與枝椏還隱藏著許多奇妙的小秘密。

樹木的生長具有一定的規律，新生的枝條往往需要一段“休息”時間，供自身生長，而后才能再萌發新枝。所以，一株樹苗在一段時間的間隔后——例如一年——長出一條新枝;第二年新枝“休息”，老枝依舊萌發;老枝與“休息”過一年的枝椏同時萌發，當年生的新枝則下一年“休息”……

這種輪換休息的一株樹，各個年份的枝椏數就可以制作成下面一張有趣的表格：

其中的秘密你發現了嗎？

第一年的枝椏總數加第二年的枝椏，總數等于第三年的。用數學語言來表示，n代表年份數，F（n）代表枝椏總數，那么F（n+2）=F（n）+F（n+1），如1+1=2、1+2=3、3+5=8、5+8=13……

這個小秘密顯而易見，然而，它還隱藏著更多不易察覺的小秘密。

后來，人們發現了這個枝椏總數的數列1、1、2、3、5、8、13、21、34、55……就是著名的斐波那契數列。它是由12世紀的意大利數學家列昂納多·斐波那契最先發現的。大自然中一些植物的花瓣、萼片、果實的數目以及排列的方式上，都符合斐波那契數列。比如，向日葵中葵花籽排列的螺旋線，2組螺線的線條數往往成相繼的2個斐波那契數，一般是34條和55條螺旋線。這是為什么呢？有科學家認為，因為用斐波那契數排列的結構是最節約能量的。

斐波那契數列又叫做黃金分割數列，因為這個數列越往后，前一項與后一項的比值就越逼近黃金分割的比值——0.618：1÷1=1、1÷2=0.5、2÷3=0.666……3÷5=0.6、5÷8=0.625……55÷89=0.617977……144÷233=0.618025……46368÷75025=0.6180339886………越到后面，這些比值越接近黃金比。

在各種生物乃至浩瀚的宇宙空間，黃金分割律都大量存在。例如，人體下肢與上肢之比，前臂與上臂之比，身高與肚臍以下距離之比，手指每一節骨頭與后面一節骨頭之比等，都接近黃金分割定律，即1：0.618的近似值。芭蕾舞演員踮起腳尖跳舞，就是為了讓身體的比例更接近黃金分割律。

斐波那契數列在建筑、醫療美容中也有廣泛應用。

最后，讓我們運用有趣的斐波那契數列的規律性，來制作一棵紙藝樹吧。

需要準備的材料非常簡單，只需要一個廢棄的紙袋和一把剪刀，感興趣的讀者可以參考以下步驟進行制作。