廣義線性模型在保險(xiǎn)領(lǐng)域的應(yīng)用

武亦文　李宛虹

【摘要】隨著保險(xiǎn)精算評(píng)估方法的快速發(fā)展，廣義線性模型在保險(xiǎn)領(lǐng)域的應(yīng)用越來越廣泛。本文詳細(xì)介紹了廣義線性模型的理論基礎(chǔ)，并且分別闡述了在不同的保險(xiǎn)領(lǐng)域廣義線性模型的應(yīng)用。對(duì)優(yōu)化保險(xiǎn)精算分析方法具有一定的借鑒意義。

【關(guān)鍵詞】廣義線性模型；保險(xiǎn)精算；定價(jià)；評(píng)估

一、背景介紹

廣義線性模型（Generalized Linear Models）在精算中的應(yīng)用起始于20世紀(jì)80年代。其應(yīng)用涉及到精算學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域，如生命表的修勻、損失分布、信度理論風(fēng)險(xiǎn)分類、準(zhǔn)備金和費(fèi)率估計(jì)等方面。廣義線性模型的建立，極大地推動(dòng)了以統(tǒng)計(jì)方法為基石的精算學(xué)的發(fā)展。

廣義線性模型是線性模型的擴(kuò)展，其特點(diǎn)是不強(qiáng)行改變數(shù)據(jù)的自然度量，數(shù)據(jù)可以具有非線性和非恒定方差結(jié)構(gòu)，主要是通過聯(lián)結(jié)函數(shù)，建立響應(yīng)變量的數(shù)學(xué)期望值與線性組合的預(yù)測(cè)變量之間的關(guān)系。廣義線性模型可以同時(shí)考慮所有的定價(jià)因素，并在人工參與的基礎(chǔ)上對(duì)這些因素的相關(guān)性以及各因素之間的相互作用進(jìn)行調(diào)整。該方法可以通過很多軟件實(shí)現(xiàn)，比如SAS、R，計(jì)算效率很高。

二、廣義線性模型的理論基礎(chǔ)

古典線性回歸模型中，將因變量表示為均值和一個(gè)隨機(jī)擾動(dòng)變量的和，而均值則表示為解釋變量的線性組合。線性回歸模型雖然很容易通過代數(shù)方法求解，但在精算應(yīng)用中，這種假設(shè)通常很難得到滿足。

（一）要求因變量服從正態(tài)分布且具有相同方差在很多情況下是不現(xiàn)實(shí)的，譬如索賠頻率和續(xù)保率等數(shù)據(jù)通常不會(huì)服從正態(tài)分布。雖然可以通過數(shù)據(jù)變換來滿足這一假設(shè)，如對(duì)因變量的觀察值取對(duì)數(shù)，但是通常難以給出對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行這種變換的合理解釋。

（二）在許多實(shí)際問題中，尤其是在保險(xiǎn)實(shí)踐中，因變量的取值往往是非負(fù)的，如索賠次數(shù)和賠款等變量。因變量服從正態(tài)分布的假設(shè)顯然不能滿足這一要求。（三）如果因變量是嚴(yán)格非負(fù)的，那么從直觀上看，當(dāng)因變量的均值趨于零時(shí)，其方差也應(yīng)該趨于零。換言之，因變量的方差是其均值的函數(shù)。而在古典線性回歸模型中，假設(shè)因變量的方差是固定的常數(shù)，與均值沒有任何關(guān)系。

（三）在古典線性回歸模型中，假設(shè)解釋變量通過加法關(guān)系對(duì)因變量產(chǎn)生影響，但在某些情況下，解釋變量之間可能通過一種乘法關(guān)系對(duì)因變量產(chǎn)生影響。

廣義線性模型是古典線性回歸模型的推廣，對(duì)因變量的預(yù)測(cè)值并不直接等于自變量的線性組合，而是該線性組合的一個(gè)函數(shù)變換。而誤差項(xiàng)也不僅僅限于正態(tài)分布。廣義線性模型的假設(shè)通常可以歸納如下。

（一）系統(tǒng)成分，即解釋變量的線性組合。系統(tǒng)成分和古典線性回歸模型沒有任何區(qū)別。值得注意的是，廣義線性回歸模型通常會(huì)包含截距項(xiàng)。

（二）隨機(jī)成分，即因變量或誤差項(xiàng)的概率分布，因變量的每個(gè)觀察值相互獨(dú)立且服從指數(shù)分布族中的一個(gè)分布。

在廣義線性模型中，因變量的分布通常用均值μ和離散參數(shù)φ來表示，因?yàn)槲覀冃枰攸c(diǎn)預(yù)測(cè)的就是因變量的均值。我們所熟悉的一些分布，如正態(tài)分布、泊松分布、二項(xiàng)分布、伽馬分布和逆高斯分布，它們都屬于指數(shù)型分布族。

（三）連接函數(shù)。連接函數(shù)g單調(diào)且可導(dǎo)，它建立了隨機(jī)成分與系統(tǒng)成分之間的關(guān)系。可見，在廣義線性模型中，對(duì)因變量的預(yù)測(cè)值并不直接等于解釋變量的線性組合，而是該線性組合的一個(gè)函數(shù)變換。

三、廣義線性模型在保險(xiǎn)領(lǐng)域的應(yīng)用分析

廣義線性模型目前應(yīng)用最多的為車險(xiǎn)的分類費(fèi)率厘定、未決賠款準(zhǔn)備金的預(yù)測(cè)分析和生命表的修勻。

車險(xiǎn)定價(jià)由于涉及到很多個(gè)方面的因素，如駕駛?cè)四挲g、使用年限、車型、地區(qū)等等，傳統(tǒng)定價(jià)方法很難將這些因素進(jìn)行全面考量，利用廣義線性模型可以將這些影響因素全都納入其中，一方面是模型可以運(yùn)用統(tǒng)計(jì)方法檢驗(yàn)，能達(dá)到更好的擬合效果，另一方面，可以實(shí)現(xiàn)差異化定價(jià)，在必要情況下能夠滿足不同群體的需求。

未決賠款準(zhǔn)備金目前的做法大多為鏈梯法，使用累積賠款的流量三角形計(jì)算鏈梯比率和進(jìn)展因子，并在此基礎(chǔ)上估計(jì)準(zhǔn)備金，但是它用到的參數(shù)較多，模型穩(wěn)定性可能會(huì)較差，且不能直接預(yù)測(cè)尾部賠款。廣義線性模型同樣可以用于準(zhǔn)備金的計(jì)算，利用賠付數(shù)據(jù)的流量三角形進(jìn)行建模，作出參數(shù)估計(jì)，可以直接預(yù)測(cè)各個(gè)進(jìn)展期的賠款。

在壽險(xiǎn)產(chǎn)品定價(jià)中，各年齡段死亡率預(yù)測(cè)的精確程度直接影響著費(fèi)率的厘定。在目前死亡率逐年改善的趨勢(shì)下，使用經(jīng)驗(yàn)生命表容易低估長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)，引進(jìn)廣義線性模型可以動(dòng)態(tài)預(yù)測(cè)各年齡層在各個(gè)年份的死亡率變化，但是這一過程計(jì)算量較大，在實(shí)際工作中的可操作性有待商榷。對(duì)再保公司而言，主要承保的是死亡風(fēng)險(xiǎn)的產(chǎn)品，死亡率的改善是利好的，使用經(jīng)驗(yàn)生命表進(jìn)行定價(jià)會(huì)相對(duì)保守，對(duì)死亡率動(dòng)態(tài)修勻的需求相對(duì)較弱。

對(duì)于健康險(xiǎn)而言，過去的賠付經(jīng)驗(yàn)對(duì)定價(jià)的指導(dǎo)意義更大，經(jīng)驗(yàn)分析也就顯得尤為重要。目前的工作中主要還是用鏈梯法來預(yù)測(cè)IBNR，這種方法可操作性強(qiáng)，技術(shù)難度低，精算師可以靈活加入個(gè)人經(jīng)驗(yàn)，有其一定的優(yōu)勢(shì)，但是也存在計(jì)算繁瑣，無法直接計(jì)算尾部賠款等不足。