單元起始課教學設計的思考與實踐
——以“分式”單元整體建構為例

■何麗華

一、緣起

2017年11月1日至2日，江蘇省中小學教學研究室在鹽城中學舉辦了2017年江蘇省初中青年數學教師優秀課觀摩與評比活動，筆者在區、市、省各級比賽（均是借班上課）中，一路過關斬將，獲得佳績。比賽路上，有個人創作的努力，有頭腦風暴的洗禮，有同伴互助的溫暖，有專家引領的震撼，帶來的不僅僅是榮譽，更多的是“醒腦”后的深度思考，故撰文與同行交流。

二、思考

（一）教材分析。

1.教材的地位作用。

蘇科版《數學》八年級下冊第10章“分式”，主要研究分式的概念、求值、基本性質、運算和分式方程等內容。如圖1，分式章節的研究既是社會生活實際的需要（分式、分式方程等問題），又是數學本身發展的需要（是繼整式之后對代數式的進一步研究，也是對整式運算的完善），也為后面研究反比例函數、二次根式等知識打下基礎和鋪墊。

圖1

2.對教材的理解認識。

“放眼長遠看全局”，起始課對全章來說起到了提綱挈領的作用，讓學生感受數學知識（分式）的整體性和系統性（如圖2），需要培養學生系統地思考：為何學——怎樣學——學什么；需要培養學生整體地把握“分式”章節簡單內容和結構框架。

圖2

（二）學情分析。

1.學生的“數學現實”。

學生已有列代數式的經驗，已掌握了分數、整式的相關知識，但還不能“順利地提取知識”和“有條理地梳理知識”，而且對知識的主動遷移能力較弱。

2.現有的“生活現實”。

對于認知主體——學生來說，數學學習熱情較高、思維活躍，也初步具備了獨立思考、探究問題的能力，但鑒于現有的學情思考，如何從學生現有的“數學現實”和“生活現實”進行學習呢？確定了本節課的認知路徑：會思考——會做題——會回顧——會梳理——會遷移——會反思。

（三）設計理念。

1.設計結構框圖。

2.核心活動思考。

根據前面的“教材分析”和對“學情分析”的思考，把分式章節內容分成三個主要板塊進行類比探究學習：

（1）概念類比——完善數學學習的“心臟”，幫助學生理解數學學習源泉。經歷分式概念形成過程，感受學習分式的必要性（數學內部發展的需要、數學與生活實際的關系），滲透建模思想，培養學生“從具體到抽象”“從特殊到一般”的思維能力。

（2）結構類比——完善數學學習的“骨架”，幫助學生建立認知結構框架。經歷分式與分數、整式的結構類比，在觀察、思考、猜想、歸納等活動中初步理解分式的整體研究思路和整章內容結構，發展學生系統地認識問題、發現問題、提出問題的意識和能力。

（3）內容類比——完善數學學習的“血肉”，幫助學生積累基本活動經驗。經歷分式與分數、整式的內容類比，初步理解分式研究學習的主要內容，感受類比學習的基本方法，激發數學學習的興趣，積累數學學習的活動經驗。

3.板書設計規劃。

由于本章新知識多、雜，新舊知識聯系多，采用“框架式”和“對比式”“貼紙移動式”結合的板書設計，能有效地整合知識，體現知識整合的內容、思路和方法及其邏輯過程。

三、實踐

活動一:概念類比研究。

（一）創境激趣。

問題：今年王偉同學年齡是15歲，我的年齡是36歲，6年之后王偉同學年齡與我的年齡之比為____。

（二）生活實際的建模。____

1.一塊長方形玻璃的面積是2平方米，長為3米，則寬為____米；

2.在物理課堂上，一輛勻速行駛的小車3秒行駛了s分米，它的速度為____分米/秒；

3.如果兩塊面積為3公頃、2公頃的梯田分別產棉花m千克、n千克，那么這兩塊梯田每公頃產棉花____千克。

設計意圖：“猜我的年齡有多大？”——“師生年齡問題”——“一般化思考”——“生活問題”——“物理問題”——“生產問題”等一系列問題拉近了三種“距離”：師生之間的距離，生活和數學之間的距離，數學知識（分數、整式與分式）之間的距離；學生明白“為何學”分式——社會生活實際的需要，也激發了學生學習數學的興趣。

（三）歸納概括。

1.概念歸納：這些式子有何共同點？能否用一個一般的式子表示出來？

2．概念辨析。

判斷下列各式中，哪些是分式？

3．概念精致。

問題：如何把一個分式變回原來的分數和整式呢？

設計意圖：“概念歸納——概念辨析——概念精致”這三個環節，讓學生經歷知識的發生發展過程，巧妙的引導讓學生第一次理解分式既有分數的“形”的特征，又有整式的“式”的痕跡；同時也感受到數學內部知識（分式和分數、整式）之間的區別與聯系，培養了學生“從具體到抽象”“從特殊到一般”“從一般到特殊”的思維能力。

活動二:結構類比研究。

問題1：有關“分數”你知道哪些知識。

問題2：有關“整式”你知道哪些知識。

問題3：觀察分數和整式的研究思路（或結構），猜想一下“分式”的研究思路是怎樣的？

設計意圖：（1）問題1、2的設計目的：引領學生復習分數和整式的相關內容，喚醒已有的知識和經驗，為問題3中構建知識的同化和順應做好鋪墊。（2）教法緣由。為什么要利用“以題想綱”“目錄研究”和“框架整理”的方式幫助學生回顧知識呢？一是心理學研究表明：“在記憶提取時，回憶的線索具有重要價值，線索回憶效果好于自由回憶，分類回憶好于隨機回憶。”因此利用“以題想綱”“目錄研究”和“框架整理”為知識回顧提供腳手架，便于學生順利地提取、整理知識；二是重“怎樣學”（學習方法）的指導。“授之以魚不如授之以漁”，教是為了不教，提升學生學習數學的能力，積累學習數學的經驗。（3）重“為何學”的引導和感悟。對整式內容的“目錄研究”，讓學生自主發現、提出——“為何七年級不安排整式除法的學習”，進一步感悟“為何學”分式。不僅是社會生活實際的需要，而且也是數學本身發展的需要，發展學生系統地認識問題、發現問題、提出問題、分析問題的意識和能力。（4）重整體把握“學什么”的框架。讓學生經歷分式與分數、整式的結構類比，初步把握分式的整體研究思路和整章內容結構。

活動三:內容類比研究。

類比活動1:求值的探究。

（1）整式的求值：已知a=2，求a-1的值；

類比活動2:基本性質的探究。

感悟提升：在類比學習過程中，我們應該關注什么？你有何感悟和收獲？

設計意圖：類比活動1采用“對比”的教學形式，感受整式、分式求值過程的相同點——方法都一樣（代入、求值）；不同點——分式需考慮分母是否為0。類比活動2繼續采用“對比”的教學形式，感受分式、分數的基本性質的異同。兩個活動都采用“對比”的教學形式，利于學生進行類比學習。一方面，學生經歷了知識的“自然生長”過程，理解了數學知識之間的區別和聯系；另一方面，學生通過“感悟提升”，理解并關注類比學習的關鍵——不同點和相同點。

類比活動3:分式運算的探究。

類比學習：根據黑板的知識框架思考。

（1）分式的運算與誰的運算比較“類似”？

（2）請利用下面式子舉例說明（或自己舉例）。

學習要求：

1.自主學習；

2.合作學習：交流自己的想法和困惑；

3.全班學習：派代表展示交流。

設計意圖：再一次讓學生經歷“學什么”和“怎樣學”的過程。學生在自主探究基礎上合作討論，最后展示交流，教師適時追問。在生生、師生等多維互動過程中，不斷地明確、明晰分式運算的內容，加深對知識之間聯系的理解；也再一次感受類比學習的基本方法，激發了興趣，積累了經驗。

類比活動4:分式方程的探究。

暢所欲言：面對一個陌生的方程，怎樣用類比方法學習它呢？說說你的想法。

回到生活：今年王偉同學年齡是15歲，我的年齡是36歲，多少年之后王偉同學年齡與我的年齡之比為1:2？

設計意圖：（1）“暢所欲言”環節的目的就是“完全放開”讓學生設計“學習分式方程的學習路徑”，再一次提升“類比學習”的自主能力。（2）從開頭的“猜年齡”到結尾的“算年齡”，遙相呼應，相得益彰，讓學生再一次感受數學（分式）學習的價值所在——“問題來源于實際，又回到實際中去”。（3）4個類比活動的兩個特點：①整體性：整體地把握分式章節的大致內容和學習方法；②層次性：學程設計從“扶”（類比活動1、2）到“半扶半放”（類比活動3），再到“完全放開”（類比活動4），讓學生拾階而上，步步為營，逐步掌握“感受——理解——簡單運用”的類比學習方法。

活動四:課堂小結提升。

1.請你選擇感興趣的1至2個問題反思一下本節課的內容。

（1）本節課，你學到了哪些知識？

（2）本節課，讓你感受最深的是什么？

（3）課后你準備對哪方面進行進一步研究？

（4）還有哪些困惑？此外你還知道了什么？

2.練習反饋。

概念再精致：知識結構——類比填空。

數式：

設計意圖：（1）“課堂小結”的價值在于“編筐編簍，全在收口”。新穎的小結方式，可以激發學生主動參與的意識，讓學生針對自己的切身體會進行小結，這樣能充分尊重個體差異，為每一個學生都創造在數學活動中獲得活動經驗的機會。（2）“概念再精致”的目的是利于學生對已學的眾多“數”與“式”相關概念進行有序的編碼、儲存，同時避免了數學概念理解中“只見樹木不見森林”的現象。

四、反思

本單元起始課教學設計著力體現讓學生明白數學知識不是孤立存在的，它們之間存在千絲萬縷的聯系。著力點在于理順相應（分數、整式、分式）關系，把握數學本質，深層次加工整合，建立新舊知識、信息之間的聯系，經歷分式知識整體地、深度地生長過程，進行主動、聯系、有意義的深度學習。

（一）關注學生整體地認知。

系統論認為，系統整體功能不等于構成它的諸要素功能的簡單相加，而是大于構成它的諸要素功能之和。單元教學設計正是基于對系統功能觀的認識。單元教學起始課一開始就應從宏觀上整體、系統地認知“分式”這一章。

“眺望四周看局部”。分析學生已有的知識和經驗，我們發現：分數、整式與分式三者之間既不是上位概念又不是下位概念，而是并列關系，因此采用并列結合學習，非常好的方式就是類比學習。通過目標問題（分式）與源問題（分數、整式）各個方面（概念、結構、內容等）類比研究，達到主體整體認知運用的相關性——即認知操作中有認知程序的部分包容和認知方式的直接遷移。從而利于學生整體地把握“分式”章節內容和結構框架，幫助學生直擊學習內容的本質及其蘊涵的基本思想、方法，形成一個完整的知識鏈條和結構體系。

（二）關注學習經驗的積累。

《義務教育數學課程標準（2011版）》特別強調：數學活動經驗的積累是提高學生數學素養的重要標志。幫助學生積累數學活動經驗是數學教學的重要目標，是學生不斷經歷、體驗各種數學活動過程的結果。從熟悉的年齡問題入手，引導學生從已有的知識和經驗出發，由分數、整式的實際問題一般化思考后“自然建立”數學模型——分式，設計起點低、立意高。學生通過分數、整式、分式三者類比推理學習，運用知識的遷移規律，從概念、結構、內容三個方面進行主動、聯系、有意義的深度學習。“概念類比研究”讓學生感受了“尋找類比源”“特殊化與一般化”等學習經驗；“結構類比研究”讓學生初步理解“以題想綱”“目錄研究”等數學學習方法；“內容類比研究”讓學生初步感悟類比學習的關注點——相同點和不同點等；整節課的類比學習活動促進了知識、能力和方法的遷移，幫助學生積累了數學學習基本活動經驗。

（三）關注知識的自然生長。

李尚志教授曾說：“一條重要的核心素養是舉一反三的能力，就是能利用舊知識解決新問題的能力，更高一點，利用舊知識生長新知識的能力。”關注知識的自然生長，必須關注三個方面：為何要生長、怎樣生長、生長出什么？

為何要生長？“數學應用”和“數學本身不斷發展”是數學學科的兩個重要特性，這兩個特性鑄就數學知識需要不斷適應現代社會生活而促進數學概念得以自然生長，概念內涵得以發展延伸。通過“遙相呼應的年齡問題”讓學生體驗了數學應用的現實需要；對整式內容的目錄研究，進而產生對整式知識結構的思考——“為何七年級不安排整式除法的學習”，讓學生挖掘了數學內涵的發展需要。從“學習有用”和“數學發展”兩個維度設計教學，引領學生親身經歷數學知識的發展過程，感受其應用性和生長性，從而產生進一步探求新知的迫切需要。

怎樣生長、生長出什么？在概念的形成時，讓學生感受到概念的生長關鍵——“分式”概念定義（初中階段）的邏輯生長點是分數的“形”特征、整式的“式”痕跡，完善了數學學習的“心臟”——概念；在知識結構的架構時，讓學生理解到“分式的結構”既有“分數的知識結構”又有“整式的知識結構”，即三者在內部結構特征上具有結構的對應性——結構要素的并聯對應和結構要素的近似性，同時也明白了“結構生長”是“概念生長”的自然延伸，完善了數學學習的“骨架”——結構；在分式內容完善時，讓學生理解和掌握分數、整式、分式三者之間既有相同點又有不同點，同時也再一次讓學生感悟到前兩者既是后者學習的基礎，又是后者學習的“類比源”，完善數學學習的“血肉”——內容。