關于幾何起始內容教學的思考

■徐德同

2017年11月，筆者有幸作為評委參加了江蘇省初中青年數學教師優秀課觀摩與評比活動。本屆評比活動精彩紛呈，在省內外都產生了較大影響，已成為研究課堂教學問題，探討課堂教學規律，提高課堂教學質量，促進教師專業發展的重要平臺，無論對參賽教師還是觀摩教師來說都是一次盛宴，是個人成長最好的催化劑。優課觀摩與評比活動“重在學習，重在過程，重在交流，重在研究”的活動宗旨也深入人心。優課觀摩與評比活動的課題之一是蘇科版《數學》七年級上冊第5章第2節“圖形的運動”。總體上看，每一位開課的教師都很好地詮釋了對幾何起始內容和幾何教學的理解，讓筆者領略了我省各地課堂教學改革的理念和青年教師英姿颯爽的風采，也引發了筆者更多的思考。

一、為什么學幾何？

平面幾何知識的產生幾乎與人類文明史同步，項武義教授在《基礎幾何學》中說：幾何學是人類理性文明對于我們和大自然中的萬物萬象共存于其中的空間“認識論”。幾何學的課題就是研究、理解空間的本質，它是我們研究大自然、理解大自然的自然起點和基石，它也是整個自然科學的啟蒙者和奠基者，是理所當然的第一科學。不論是在自然科學的發展順序上，還是在全局的基本重要性上，幾何學都是當之無愧的先行者和奠基者，是其他科學思想和方法論的自然發祥地。

幾何學的發展大體上可以分為四個階段：實驗幾何、推理幾何、坐標幾何和向量幾何。七年級的孩子學幾何入門處于實驗幾何向推理幾何發展階段。理解幾何學的重要性和初、高中幾何學習對應的幾何發展階段，對我們的教學是有幫助的。

二、怎么教幾何起始課？

教師都有這樣的體會，幾何難教，難在三處：入門難、論證難、表達難。三難中尤其要處理好入門難。不解決好這個首要的問題，影響學生的不僅是知識的掌握，更有可能導致從開始就產生對幾何的畏懼，甚至導致對整個數學學科的抵觸，那真是因小失大了。如何進行幾何起始課的教學？提幾點想法供大家參考。

1.幾何起始課教學要從直觀感知開始。

幾何是有嚴格邏輯體系的一門學科，它從基本的不加定義的概念和公理出發，以推理為思維方式。演繹幾何中的點、線、面是一個抽象的概念，也是基本的概念，是研究幾何學的基本元素。從數學的邏輯來講，應該從基本概念出發，研究它的性質，一直推演下去。為什么？因為幾何是公理體系，公理體系就應該以公理為起點。但實踐證明，這樣做是不行的。開始就是基本元素，就是公理，就是高度抽象的結果，必然會扼殺大多數學生的想象力、扼殺他們對數學美好的感受和期盼，幾何就會成為數學學習的瓶頸，學生入門就產生懼怕，學習必然有問題。這就是矛盾。數學的本來邏輯不適應學生的心理基礎，怎么辦？只好從三維空間開始，讓學生感受一下多姿多彩的圖形，感受由點、線到面，到圖形的運動。因為三維空間是我們現實的生活，是學生首先感知到的。所以，幾何學習應該從直觀感知開始：感受流星劃過的光線，感受雨刷刷過的扇面，感受旋轉形成的球面。在幾何教學乃至整個數學教學中當孩子的認知水平、理解能力和數學的邏輯結構產生矛盾時，我們往往犧牲數學的邏輯性，首先考慮孩子們已有的認知，要做到先激趣再明理。

總體來說，參加本次優課展示的教師都能注意創設體現數學與生活聯系的情境，讓學生感悟數學源于生活，源于實際。

2.幾何起始課教學要重視抽象和概括。

平面幾何中的概念基本上來源于我們生存的空間，我們要通過豐富的、現實的、靜態和動態的實例揭示幾何概念的形成過程，要讓孩子們感悟出實物和數學概念的區別和聯系，要能夠讓孩子們逐步明白所謂抽象和概括就是數學化的過程，也就是忽略事物的顏色、密度、厚度、材質等物理屬性而抓住其數學本質屬性。知其然更知其所以然，才是教育教學的要義所在。

某日聽七年級“線段、射線與直線”一節課，教師采用的是先學后討論的教學模式，把本節課所學內容先錄制成10分鐘的微視頻，微視頻中教師解讀了什么是線段、什么是射線、什么是直線，三者有什么樣的區別，怎樣數線段的個數等，上課前一天的晚上由學生自行觀看視頻并完成一定量的自學檢測。第二天的課主要討論檢測題，教師根據每題的答題情況邀請學生上臺評論。學生表現得很踴躍積極，對題目的討論也很有深度。課后筆者問了某個學生一個問題：“鉛筆是線段嗎？”他先愣了愣，反問我：“有長度限制嗎？”“鉛筆當然是定長的。”我說。“那鉛筆就是線段。”他很肯定地回答。

這些由現實對象或實物直接抽象而成的概念與現實如此貼近，以致人們常常將它們與現實原型不分彼此、混為一談。教師在教學過程中要讓學生感悟這些概念是對現實對象或實物的“數學化”抽象，體會并逐漸內化這種數學抽象意識很重要。張奠宙先生在《我親歷的數學教育》一書中講了一個小故事：某知名老教師有位學生是上海飯店的電工，發現在地下室控制10層以上房間空調的溫度不準，分析之后，原來是使用三相電時，連接地下室和空調器的電纜長度不同，因而電阻也不同，剩下的問題是：如何用萬用表測量這三根電纜的電阻？直接測量顯然不行，因為萬用表沒有這么長的導線。電工在草稿紙上畫了一張圖，如圖1所示，很快想出了辦法，在房間里把電纜的上端兩兩相連，在地下室很容易測出兩根電纜的電阻和，分別記為a，b，c，接下來只要解方程組即可。這樣的方程誰都會解，但是，能夠把實際問題數學化，抽象出圖1和方程組，才是真正的創造！史寧中教授也指出：數學發展所依賴的思想本質有三個：抽象、推理和模型。通過抽象，在現實生活中得到數學的概念和運算法則，通過推理得到數學的發展，然后通過模型建立數學與外部世界的聯系。

圖1

“三根電纜”的故事堪稱數學教育的經典之作，它告訴我們數學教育的意義不僅僅在于解題，更重要的是培養學生的數學意識，能用“數學的眼光”去觀察思考，這種“眼光”可能就是人們常說的離開學校多少年之后大多數知識都忘了，留下的是深深植根于思維中的“意識”。

3.幾何入門課教學要突出動手實踐和操作。

數學教育家弗賴登塔爾認為：“數學學習是一種活動，這種活動與游戲、騎自行車是一樣的，不經過親身體驗，僅僅從看書本、聽講解、觀察他人的演示，是學不會的。”《義務教育數學課程標準（2011版）》明確指出：認真聽講、積極思考、動手實踐、自主探索、合作交流都是學習的重要方式。這就是說數學學習不僅要考慮數學本身特點，更要遵循學生學習數學的心理規律，數學課堂教學要從學生已有的生活經驗和知識出發，讓學生通過操作—觀察—探索新知（解決問題）—總結反思等流程親歷知識產生和發展的過程，在學生獲得數學理解的同時，促使他們在問題解決能力、實踐能力和創新意識上獲得發展。

從本次優課評比中，我們欣喜地看到，參賽教師都能設計貼近于學生的數學活動，讓學生通過觀察、操作，發現數學知識和數學規律。諸多課堂中，教師通過做一做、拼一拼、看一看、折一折、移一移、轉一轉等活動，讓學生感悟線段、射線和直線的形成過程，感悟圖形的三種運動方式。同時，參賽教師設計了各式各樣的教具和學具，既簡單又有效，既提升了孩子們動手實踐能力又提高了學生的學習興趣，為學生直觀形象地理解知識提供了很好的幫助。

4.幾何起始課教學要重視三種語言的轉換。

數學有三種語言，文字語言、符號語言和圖形語言，在平面幾何入門課階段，學生初次接觸這些語言，一時難以區分，出現混淆現象在所難免。比如，有的學生雖然能背誦“兩點之間線段最短”這句話，但讓學生在給定的圖形中，找出這句文字對應的圖形時，往往不能正確地找出來。幾何入門課的教學一定要重視三種語言之間的轉換，尤其要著力培養學生依據語言的描述畫出圖形的能力，依據語言的描述畫出圖形是動手做的一種重要形式和有效途徑。要逐步幫助學生建立“畫圖是一種解決問題的有效策略”的意識，使學生體會到作圖的價值，圖形特征越畫越深入，數量關系越畫越清楚，思路越畫越清晰，思考越畫越深入。

當然，教無定法，幾何入門課教學的話題應該是一個永恒的話題，任何想法都需要考慮幾何學科特點：圖形直觀與演繹推理相結合。圖形直觀是演繹推理的有力支撐，忽視圖形直觀，學生的思維特征、幾何的教育功能都不能充分展現。荷蘭學者赫爾曾提出幾何思維發展模式，認為幾何學習依次經歷直觀、分析、抽象、演繹、嚴密等五個水平，這為我們進行幾何入門課的教學也提供了一定的參考。同時我們也要認識到，幾何學習需要邏輯思維和形象思維相互協調，它既是演繹推理教學的載體，也是創造性教學的平臺。