單向相關下的機械零件動態可靠性分析

楊 娜

(蘭州職業技術學院機電工程系, 甘肅 蘭州 730000 )

應力-強度干涉模型是機械可靠性分析的理論基礎，其中的應力和強度都是廣義的概念，即廣義應力是載荷、振動、溫度、噪聲、腐蝕等所有可能導致零部件破壞的因素，屬于外部特性；廣義強度是零部件能夠抵抗破壞的能力，屬于內部特性。但傳統的應力-強度干涉模型存在兩方面的不足：(1)通常將應力與強度視為兩個隨機變量，未考慮其隨時間的變化，由此得到的是靜態的可靠度；(2)往往假設應力與強度之間相互獨立。而實際上，應力與強度間存在相關性，隨著載荷的作用，強度會逐漸降低。機械零部件在運行過程中，由于受載荷、振動、溫度、輻射、噪聲、腐蝕等外部環境及其自身材料缺陷、老化、分散性等綜合影響，其實際工作情況下的應力與強度是不確定的，是隨時間變化的隨機變量，即為隨機過程。因此，應力-強度干涉(stress-strength interference，SSI)過程應是一個動態過程，相應的可靠度也就是隨時間變化的函數。

隨著機械系統和工作環境日益復雜化，產品的性能和可靠性需要滿足更高的要求。對于機械零件的可靠性預測問題，國內外大量學者進行了相關研究。動態與漸變是機械產品不可避免的隨時間變化的形態，對機械產品進行動態與漸變可靠性探究是可靠性研究的遞進與升華[1]。文獻[2]運用順序統計量理論以及基于獨立的SSI模型，建立了以載荷作用次數為壽命度量指標的零件動態可靠度計算模型。文獻[3]建立了不確定性載荷作用下的零件時變可靠性模型，給出了基于載荷和強度分布的零件可靠度計算表達式。文獻[4]基于結構抗力與載荷效應相互獨立的基本假設，提出了考慮結構動態可靠性的全隨機過程模型。文獻[5]分析穩定應力和沖擊應力組成的復合應力，推導了考慮強度退化時的可靠性模型。上述模型雖然研究的是動態可靠性問題，但大多立足于應力與強度相互獨立的假設，因此，對于應力與強度間的相關性的描述存在明顯不足。文獻[6]考慮組合應力下的結構受力情形，分別探討了強度退化與否的動態可靠度。文獻[7]考慮隨機載荷的加載形式分別為動載荷累加、等幅并且服從Poisson分布、載荷隨時間變化且不服從任何分布的三種情況，利用應力-強度干涉理論和隨機過程理論建立了結構強度退化情況下的動態可靠性模型。文獻[8]考慮載荷隨時間變化及強度退化，運用隨機過程和順序統計理論，建立變幅隨機載荷和強度退化下零件的動態可靠性模型。文獻[9]通過定義次數等效系數和參考載荷，分析隨機載荷作用下強度發生退化，推導了存在共因失效的零件可靠度計算模型。上述文獻在一定程度上分析了載荷與強度的相關性，但其相關性多基于文獻[10]所提出的剩余強度模型來體現。在工程實際中，零部件的強度在不同的應力水平下會有不同的表現，也就是說強度與應力是單向相關的。所謂應力與強度單向相關，是指強度受應力特性的影響，并隨應力的作用逐漸降低，而應力則取決于外部載荷和工作環境，與強度無關。

為評估零件在應力與強度單向相關下的動態可靠度，本文利用Gamma過程來描述隨機載荷作用，基于經典的Miner累積損傷理論，進一步推導隨著載荷作用而產生的強度不斷降低的強度退化模型。結合傳統的應力-強度干涉模型，建立零件的動態可靠度預測模型。最后通過算例驗證模型的有效性。

1 傳統的應力-強度干涉模型

傳統的應力-強度干涉模型把應力與強度作為兩個隨機變量，若使零部件正常工作，則要求其強度大于工作應力，否則零部件將遭到破壞。應力和強度都應該是廣義的概念，廣義應力是載荷、振動、溫度、噪聲、腐蝕等所有可能導致零部件破壞的因素，屬于外部特性；廣義強度是零部件的抗熱性、耐磨性、抗腐蝕性等能夠抵抗破壞的能力，屬于內部特性。可靠度R則是零部件強度δ大于應力s的概率P，可以表達為：

R=P(δ>s)

(1)

將應力與強度作為兩個隨機變量，可以把式(1)作如下表達[11]：

(2)

式中：f(s)表示應力s的概率密度函數；g(δ)表示強度δ的概率密度函數。

上述模型是一個靜態模型，不能直接應用于當應力與強度隨時間變化的情況。而事實上，由于影響零件性能的外部環境因素是動態的隨機過程，應力與強度在很多情況下是隨時間變化的，即應力與強度均應為隨機過程。

2 動態可靠性分析

2.1 隨機載荷的描述

Gamma過程增量具有非負的單調性，多用于描述不可逆轉的單調變化的隨機過程。在描述載荷、溫度、磨損、腐蝕等方面得到了廣泛應用。在加速壽命試驗中，為減少試驗時間，常采用增加載荷的方法，Gamma過程在此類可靠性試驗中也得到了廣泛運用。

稱隨機過程{X(t),t≥0}服從形狀參數為a(t)、尺度參數為b的Gamma過程，如果其滿足下列條件：

(1)X(0)=0；

(2)X(t)在非相交的區間具有獨立增量X(t)-X(s)(t>s≥0)；

(3)對任意t>s≥0，有增量X(t)-X(s)～Ga(a(t)-a(t),b)。

其中：Ga(·)表示Gamma分布，a(t)和b分別為形狀參數和尺度參數，且a(t)為遞增的連續函數，a(0)=0，b>0。當a(t)為現象函數時，Gamma過程為平穩過程；當a(t)為非線性函數時，Gamma過程為非平穩過程。設X(t)為零件t時刻承受的載荷，則其概率密度函數為：

(3)

式中：Γ(·)表示Gamma函數，即：

(4)

IA(x)為示性函數；當x∈A時，有IA(x)=1，若x?A時，有IA(x)=0。由平穩增量的性質可知，在任意時刻t，隨機過程X(t)的數學期望和方差將隨時間呈線性增長的趨勢，則有下列表達式：

μX(t)=at/b

(5)

(6)

2.2 隨機載荷下的強度退化模型

材料的疲勞性能通常用其承受的應力s與失效時的應力循環次數N之間的關系來描述，即經典疲勞強度理論中的s-N曲線。在s-N曲線上，對應于壽命N時的應力值，稱為材料壽命為N時的疲勞強度。因此，s-N曲線也稱為疲勞強度-壽命曲線。s-N曲線反映的另一種信息是：隨著載荷作用次數的增加，材料強度在逐漸降低。

s-N曲線通常用冪函數表示，即零件疲勞性能曲線滿足下式[12]：

smN=C

(7)

式中：m、C為與材料性質有關的常數，N為載荷s作用下的零件壽命。

由式(6)可知，當應力s作用時，零件的壽命為N。由Miner累積損傷理論，應力s作用時對零件造成的損傷為1/N，即有1/N=sm/C。

假設零件在某隨機載荷s(t)作用下工作，則由式(6)可得到：

(8)

零件在經時間t之后，其累積損傷D(t)為：

(9)

零件在下一時刻t+Δt載荷作用時不發生失效，則要求：

(10)

考慮零件的安全性，式(10)右端可設為一個小于1的數，受多種因素的影響，該值實際上為分布在1附近的隨機變量。為簡化討論，這里取為常數1。將式(8)代入式(9)并化簡得：

(11)

所以，在經歷載荷作用時間t之后，零件能夠抵抗的臨界載荷S(t)為：

(12)

在初始時刻，即t=0時，由式(12)可知s(0)=C1/m。從廣義上來說，臨界載荷可以稱為強度。式(11)即是隨機載荷下的剩余強度模型，該式表明，隨著載荷作用時間的增加，零件強度逐漸降低，也就表現了載荷與強度之間的單向相關性。

3 單向相關下的動態可靠性模型

早期對可靠度的計算多采用強度與應力相獨立的假設，以此得到的結果與工程實際有一定的偏差。實際上在應力作用的過程中，強度通常會逐漸降低，即強度與應力是相關的。這與事實相符合，也得到了大量實驗的驗證。零部件的強度往往受到應力的影響，在不同的應力條件下表現出不同的特性，而應力則取決于載荷、工況等外部環境，與強度無關。因此，強度與應力表現為一種單向相關的現象。

上文利用Gamma過程對隨機載荷進行了描述，并由Miner損傷累積建立了隨機載荷下的零件強度退化模型。根據應力-強度干涉模型，零件在任意時刻的動態可靠度函數可以表示為：

(13)

式(13)即為應力與強度單向相關下的零件動態可靠度模型。

4 算例分析

為對本文方法的有效性進行驗證，在此以文獻[13]中提供的風電葉片復合材料疲勞試驗數據為例。試樣材料為單向碳/環氧復合材料，在瑞士產AMSLER 10HFP1-478高頻疲勞試驗機上進行軸向拉-拉加載疲勞試驗，疲勞試驗數據如表1所示。

表1 疲勞試驗數據

應力水平/MPa試樣數疲勞壽命(×103)667112.4,3.7,3.8,4.5,4.6,5.6,6.5,12.6,14.5,34.9,39.85881210.9,13.2,23.0,74.7,78.7,96.0,114.7,120.0,129.6,145.3,269.0,899.75301178.7,98.3,106.6,134.8,182.6,193.7,293.0,306.4,604.5,2911.8,6216.347116185.1,228.9,350.7,538.7,734.2,807.0,1221.2,1239.9,2210.8,5553.0,8823.5,11492.0,12385.9,13531.0,16462.0,26550.0

根據表1中的試驗數據(第一列與第三列)，利用最小二乘法，對式(7)中的未知參數進行估計，得m=17.999 9，C=9.675 2×1054。則單向碳/環氧復合材料試樣的s-N曲線的方程式為：

s17.999 9N=9.675 2×1054

(14)

零件在隨機載荷作用下工作，載荷加載過程用平穩的Gamma過程描述，a=0.05，b=20。對隨機載荷進行抽樣分析，仿真結果如圖1所示。對零件的可靠度進行Monte Carlo仿真，運用式(13)可得零件的可靠度變化曲線如圖2所示。由圖2可知，零件的可靠度曲線隨著時間的增加具有明顯下降的趨勢，在t=630 h之前，零件能保持穩定工作，之后零件的可靠度迅速降低，并最終不能滿足工作需求而發生失效。

5 結語

本文利用Gamma過程來描述隨機載荷作用，基于經典的Miner累積損傷理論，推導了隨著載荷作用而產生的強度不斷降低的強度退化模型。結合傳統的應力-強度干涉模型，提出了一種基于隨機過程的應力-強度單向相關下的零件動態可靠度分析方法，并建立了相應的可靠度模型。通過算例驗證了模型的有效性。算例結果表明：該模型能夠有效用于可靠性分析，具有一定的工程指導意義。

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