主軸熱伸長建模耦合溫度測點優(yōu)化的研究*

陳 松 王永青 智 瑩 劉子恒

(①遼寧科技大學(xué)機械工程與自動化學(xué)院, 遼寧 鞍山 114051；②大連理工大學(xué)精密與特種加工教育部重點實驗室, 遼寧 大連 116024；③ 鞍山師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院, 遼寧 鞍山 114205)

數(shù)控機床主軸溫度場具有時變性、非平穩(wěn)性、時滯性等特點，主軸熱伸長也隨著主軸溫度場的變化呈現(xiàn)出非線性與交互關(guān)系[1-3]。溫度場信息的準確表達取決于溫度測點布置的準確性[4-5]。通常為確保溫度場信息完整，需要布置冗余溫度測點，以避免熱敏點的遺漏[6]，然而過多的溫度變量易導(dǎo)致主軸熱伸長預(yù)測數(shù)學(xué)模型計算量繁重[7-8]。另外冗余溫度變量的存在導(dǎo)致主軸溫度場熱敏點不明確，熱伸長建模的穩(wěn)定性與魯棒性受到嚴重影響[9-10]，甚至導(dǎo)致熱伸長預(yù)測數(shù)學(xué)模型出現(xiàn)歧義現(xiàn)象。為提高主軸熱伸長建模魯棒性，要求能夠判定并消除溫度變量的強耦合，從而準確提取主軸溫度場的關(guān)鍵溫度測點。然而主軸溫度場的連續(xù)分布特性，導(dǎo)致關(guān)鍵溫度測點間固有的相關(guān)性不易識別與排除。為解決此問題以提高主軸熱伸長建模精度，要求能夠有效地消除主軸溫度場重疊信息，從而建立溫度變量與主軸熱伸長的非線性關(guān)系，以達到主軸熱伸長的精準預(yù)測的目的。

1 強耦合溫度測點質(zhì)心聚類

主軸溫度場溫度測點的冗余布置具有隨機性，所以溫度測點的分組結(jié)構(gòu)無法確定，需將溫度測點按照耦合強弱分類以便于關(guān)鍵溫度測點的提取。溫度測點溫升值相似度代表溫度測點間的耦合程度。根據(jù)溫度測點聚類原則，溫度測點溫升變化程度亦需考慮。為簡化聚類度量標準，利用溫度測點溫升值的距離作為分類的度量方法，距離近的溫度變量分為一類，在不同類中的溫度變量距離較遠。聚類分組后，耦合性強的溫度測點聚類為同一類，變化程度弱的溫度測點聚類為同一類。總結(jié)歸納得到主軸溫度場溫度測點優(yōu)化策略：(1)排除溫度變量強耦合性，保證溫度變量間相關(guān)性較弱。(2)保證主軸溫度場信息完整性，適度減少溫度變量數(shù)目。(3)選擇影響熱伸長變化程度顯著溫度變量，最大化主軸溫度場信息。(4)量化優(yōu)化結(jié)果與定性分析結(jié)果一致。

通過溫度測點的溫升值可以構(gòu)建溫度變量矩陣T為

其中：m為溫度測點數(shù)目；n為溫度測點的溫升測量值樣本數(shù)目。T矩陣可視為n維空間中的m個點，可以利用歐氏距離作為溫度變量之間距離的度量標準。設(shè)第u個溫度變量為Tu，第v個溫度變量為Tv，Tu與Tv之間的歐氏距離為duv，Tu=(tu1,tu2,…,tun)，Tv=(tv1,tv2,…,tvn)，則：

(1)

(2)

其中：nU為分類GU的樣本數(shù)；nW為分類GW的樣本數(shù)；nV為分類GV的樣本數(shù)。

以KHC63臥式加工中心主軸熱伸長為研究對象，根據(jù)主軸溫度場的分布情況，布置溫度測點，主軸溫度場的溫度測點布置位置如圖1所示。

機床初始加工環(huán)境溫度為19～21 ℃；針對變轉(zhuǎn)速工況實驗進行研究，具體工況如圖2所示，空切削運轉(zhuǎn)，每1分鐘采集各溫度測點溫升與主軸熱伸長1次。溫度變量Ti與主軸熱伸長的實際測量數(shù)據(jù)如圖3所示，其中i∈N，i∈[1,10]。

針對此10個初始溫度測點，通過質(zhì)心聚類分析，生成的溫度測點質(zhì)心聚類樹形結(jié)構(gòu)如圖4所示。

2 聚類分組關(guān)鍵溫度變量灰色關(guān)聯(lián)分析

因為溫度測點的溫升變化直接影響主軸熱伸長的變化態(tài)勢[11]，所以在溫度測點分類內(nèi)，各溫度測點的溫升與主軸熱伸長的變化態(tài)勢的一致性，可作為關(guān)鍵溫度測點提取的參考依據(jù)。針對溫度測點的溫升變化，有的溫度測點對主軸熱伸長影響程度弱，有的溫度測點對主軸熱伸長影響程度強，所以要求在溫度測點聚類分組內(nèi)判定出主、次溫度測點，以提取關(guān)鍵溫度變量參加主軸熱伸長建模。

設(shè)溫度變量Ti為主軸熱伸長的影響因素，數(shù)控機床加工的時間序號為j，則Ti在j時刻的溫升測量值為ti(j)。則溫升時間序列為Ti=(ti(1),ti(2),…,ti(n))。主軸熱伸長變化趨勢的數(shù)據(jù)序列E=(e(1),e(2),…,e(n))。則比較序列Ti相對于參考序列E的灰色關(guān)聯(lián)系數(shù)為：

(3)

其中ζ為分辨系數(shù)，ζ∈(0,1)，j=1,2,…,n，i=1,2,…,m，這里ζ取值為0.6。

由于灰色關(guān)聯(lián)系數(shù)反映的關(guān)聯(lián)信息分散，不利于溫度變量序列之間的整體比較。將溫度變量序列曲線各個時刻的關(guān)聯(lián)系數(shù)進行均值計算得到Ti相對于E的灰色關(guān)聯(lián)程度，以解決溫度變量序列之間難以比較的問題，灰色關(guān)聯(lián)度為：

(4)

根據(jù)灰色關(guān)聯(lián)度的規(guī)范性，則0<γie1，即主軸溫度場中的溫度變量都與主軸熱伸長相關(guān)。R(Ti,E)=1?Ti=E，說明溫度變量序列的灰色關(guān)聯(lián)度越接近于1，其影響主軸熱伸長的程度越大。將m個關(guān)聯(lián)度的數(shù)值進行降序排序，從而得到溫度變量的灰色關(guān)聯(lián)序。若R(Tu,E)>R(Tv,E)，則比較序列Tu相對于參考序列E優(yōu)于Tv，即相對于Tv序列曲線，Tu序列曲線更接近E序列曲線記為Tu>Tv。

根據(jù)公式4計算各個溫度變量的灰色關(guān)聯(lián)度。溫度變量的灰色關(guān)聯(lián)序的降序排列結(jié)果為：T9>T10>T8>T7>T5>T4>T6>T3>T2>T1

根據(jù)溫度變量的質(zhì)心聚類得到4組分類，在同一分類內(nèi)，依據(jù)各溫度變量的灰色關(guān)聯(lián)度提取關(guān)鍵溫度測點。關(guān)鍵溫度測點分類提取的結(jié)果如表1所示。

表1 關(guān)鍵溫度測點提取結(jié)果

質(zhì)心聚類分類結(jié)果提取的關(guān)鍵溫度測點主軸位置T1T2T2主軸前軸承T3T4T5T6T5主軸箱T7T8T8變速箱T9T10T9主軸電動機

3 關(guān)鍵溫度測點相關(guān)性的主成分分析

溫度變量強耦合性經(jīng)過溫度測點優(yōu)化得以消除，但是關(guān)鍵溫度變量間固有的相關(guān)性卻難以排除。溫度變量的主成分分析方法采用降低維度技術(shù)，將溫度變量轉(zhuǎn)化為綜合溫度變量，而綜合溫度變量主成分能夠反映絕大部分溫度場信息，同時消除了主軸溫度場的重疊信息。

設(shè)綜合溫度變量C為

則綜合溫度變量的矩陣表達形式為：

C=βT

(5)

其中β為主成分系數(shù)矩陣。

λ1,λ2,…,λm為β的特征根，λ1≥λ2≥…≥λm>0，所對應(yīng)的單位特征向量為u1,u2,…,um，有正交陣U=(u1,u2,…,um)，s.t.

(6)

如果前u個主成分的累計貢獻率達到85%以上，則說明這u個主成分包含了全部的溫度場信息。

溫度變量樣本的協(xié)方差矩陣S=[suv]m×m，第u個溫度變量Tu與第v個溫度變量Tv的協(xié)方差為：

(7)

利用關(guān)鍵溫度變量T2、T5、T8、T9構(gòu)建T矩陣，計算得到關(guān)鍵溫度變量的協(xié)方差矩陣S，計算S的特征根與相對應(yīng)的單位特征向量：λ1=53.13；λ2=15.44；λ3=0.84；λ4=0.02；

可以看出，經(jīng)過主成分分析后，原先4維空間數(shù)據(jù)點的分布在2個維度上得到濃縮，證實了主軸溫度場信息得到簡化處理。

4 基于主成分的最小二乘支持向量機熱伸長建模

最小二乘支持向量機[11]將不等式約束轉(zhuǎn)換為等式約束，泛化能力強，樣本數(shù)量依賴性弱，核函數(shù)解決了溫度變量與主軸熱伸長的非線性難以表達問題。

(8)

實驗結(jié)果表明，變轉(zhuǎn)速工況條件下，主軸熱伸長達到60 μm以上，預(yù)測殘差曲線波動幅度為3 μm以內(nèi)，證明預(yù)測結(jié)果可靠，可滿足主軸熱伸長建模精度的要求。

5 結(jié)語

通過質(zhì)心聚類利用歐氏距離為度量手段，聚類強耦合、不顯著變化溫度變量，以溫度變量的灰色關(guān)聯(lián)序為依據(jù)，在同類溫度變量中提取與主軸熱伸長關(guān)系緊密的熱敏點，實現(xiàn)了主軸溫度場溫度測點的精簡。基于主成分分析，利用溫度變量的累積貢獻率，降低了關(guān)鍵溫度變量維度，進一步簡化了主軸熱伸長的數(shù)學(xué)建模結(jié)構(gòu)，利用綜合溫度變量的主成分來反映主軸溫度場信息，消除了主軸溫度場的重疊信息，提高了主軸熱伸長建模的魯棒性，基于最小二乘支持向量機的主軸熱伸長預(yù)測結(jié)果表明關(guān)鍵溫度測點判定準確，主軸溫度場關(guān)鍵溫度測點耦合信息消除，提高了主軸熱伸長預(yù)測模型的可靠性。

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