多軸機床通用運動學建模方法

李進進 呂學庚

(哈爾濱工業大學機電工程學院，黑龍江 哈爾濱 150001)

刀位文件是用于描述加工過程中刀具運動的中性文件，他包含刀具相對于工件的位置信息和刀軸矢量信息。數控機床無法識別刀位文件，只能識別特定格式的加工代碼，加工代碼描述的是機床各運動軸的相對運動分量。加工代碼具有特異性，一種結構形式的機床只能識別一種特定格式的加工代碼。因此，需研究如何將中性的刀位文件轉換為機床可識別的加工代碼，這個轉換過程被稱作后處理。后處理的核心是跟據機床的結構形式，建立機床運動學方程，將刀具的位置坐標和刀軸矢量轉換成數控機床各直線軸的移動坐標和旋轉軸的轉角。

Bu P等[1]分別建立工件坐標系及刀具坐標系相對于床身坐標系的坐標變化關系，以床身為參考系的連接點，建立了XYZ-AC式五軸機床運動學模型，并以OpenGL為框架將加工代碼轉換為刀具的運動軌跡。Lin M T等[2]利用螺旋理論建立了五軸機床運動學方程。Liang Z等[3]借用串聯型機器人指數乘積公式建立了五軸機床運動學方程，并利用VC++平臺開發了機床后處理程序。She C H等[4]采用坐標變換的方法分別對旋轉軸水平正交和旋轉軸傾斜的五軸機床建立了運動學方程，并將刀位文件轉換成加工代碼。Zheng L等[5]將機床運動學方程應用于機床的刀具跟隨控制系統中，可簡化多軸機床的后處理算法。Wang Feng等[6]分別建立了轉臺偏置、刀軸偏置、轉臺刀軸同時偏置的五軸機床運動學模型，并構建了運動學模型庫。Chang C等[7]針對主軸電動機在床身，旋轉軸傾斜的旋轉頭式五軸機床，建立了運動學模型，開發了后處理應用程序。Jung.Y.H等[8]研究了傾斜式雙轉臺機床的結構，通過建立機床運動學方程，將加工代碼轉換為刀具的運動路徑，避免刀具發生干涉，實現虛擬仿真加工過程。Anotaipaiboon. W等[9]建立了機床運動學模型，采用數學工具來描述刀尖的運動軌跡，通過優化機床的初始位置減小加工的軌跡誤差。

現階段對于五軸機床運動學建模的研究主要針對某種特定結構的機床，并將運動學方程應用于數控加工的后處理。由于五軸機床的結構類型繁多，對于任意結構的機床，能否采用統一的方法，建立運動學方程并對其進行求解是本文的主要研究內容。本文提出了多軸機床通用運動學建模方法，通過引入邊界條件的方式，求解運動學方程，可用于建立各類結構機床運動學模型。

1 數控機床中的坐標系

數控機床中的坐標系主要有3種，分別是機床坐標系、工件坐標系和加工坐標系。機床坐標系符合右手笛卡爾坐標原則，主要用于確定機床各運動部件在機床中的相對位置。工件坐標系又被稱作編程坐標系，在進行數控編程時，以工件上某一點為坐標原點建立的坐標系就是工件坐標系，該點被稱為工件坐標系的工件原點。刀位文件中刀具的運動信息就是在工件坐標系下確定的。加工坐標系是刀具運動軌跡輸出的定位基準。加工坐標系的原點可由工藝員在編譯工藝時確定，通常與工件坐標系的原點重合，加工坐標系的坐標軸與機床坐標系的坐標軸重合。

在數控加工時，通過對刀的方式，測量工件坐標系原點與機床坐標系原點間的相對距離，確定工件在機床中的位置坐標。這一距離被稱作工件的零點偏置，零點偏置可預先設置在機床控制系統的相關寄存器(G54-G59)中。當機床加工工件時，機床控制系統自動將寄存器中的偏置距離疊加至工件坐標系上，機床控制系統便可按照機床坐標系下的絕對坐標值控制機床各軸的相對運動，實現工件的加工。因此，車間工藝員在數控編程時無須考慮工件在機床中的實際位置，只需按照工件的輪廓形狀進行刀具的軌跡規劃。機床的運動學方程和后處理也是在工件坐標系下建立的。

2 多軸機床通用運動學建模方法

當機床的運動軸數t≤3時，對于這類低軸機床的運動學方程，由于空間平移運動的齊次坐標變換滿足交換律，因此可采用相同形式的機床運動學方程來描述這類低軸機床的運動。針對于任意結構的三軸機床，運動學方程均為公式(1)，各運動軸的依附關系對機床運動學方程沒有影響。

(1)

當機床的運動軸數t≥4時，對于這類多軸機床的運動學方程，由于空間旋轉運動的齊次坐標變換不滿足交換律，因此無法采用如公式(1)所示的運動學方程進行描述，需要針對不同結構形式的機床，建立不同的機床運動學方程，來描述刀具坐標系與工件坐標系間的相對運動關系。

由于機床的運動形式與其他機械結構的運動形式存在明顯區別，在研究機床的運動時，更關注刀具相對于工作臺的位置及姿態的變化，尤其是針對多軸機床來說，這是兩個非慣性系間的坐標變換。傳統的機械結構，例如，當建立機器人結構的運動學方程時，則是通過在相對靜止的零號桿件(即機座)上建立慣性參考系來研究末端執行機構的位置及姿態的變化。當建立機床的運動學方程時，以工作臺為零號部件，按照運動軸的依附關系將各運動軸依次連接，將機床視為串聯型結構，床身視為相對運動部件，刀具視為最末端的執行機構。通過建立相鄰運動部件間的坐標變換關系，建立刀具相對于工作臺的機床運動學方程。

坐標變換是指采用數學方法將空間中一個坐標系下的點或矢量，通過變換得到其在另一個坐標系下坐標的過程。齊次坐標變換矩陣是實現齊次坐標變換的重要數學工具。因此，在進行多軸機床運動學建模時，首先需要為機床中的每個運動部件建立局部坐標系，每個坐標系均符合右手笛卡爾坐標系規則，且坐標軸的方向統一，每個局部坐標系表示一個運動部件，采用4×4階齊次坐標方陣表示相鄰部件間的運動關系。

3 多軸機床通用運動學建模步驟

步驟1 部件編號

根據機床結構劃分運動部件，依據各運動部件間的依附關系，將包括機床床身在內的各運動部件(床身視為相對運動部件)，從工作臺至刀具進行由0依次遞增地編號κ。對于通用運動學建模方法，無論旋轉軸在哪一端(工件端或者刀具端)，可先分別假設旋轉軸在兩端同時存在，在工件端的第一旋轉軸局部坐標系為RCSw1，第二旋轉軸的局部坐標系為RCSw2；在刀具端第一旋轉軸的局部坐標系為RCSt1，第二旋轉軸的局部坐標系為RCSt2。從工作臺到刀具的多軸機床通用坐標變換矩陣可表示成如下的形式：

WCS→RCSw2→RCSw1→XCS→YCS→MCS→

ZCS→RCSt1→RCSt2→TCS

式中：WCS為工作臺的局部坐標系；XCS為直線軸X軸的局部坐標系；YCS為直線軸Y軸的局部坐標系；ZCS為直線軸Z軸的局部坐標系；MCS為機床床身的局部坐標系；TCS為刀具的局部坐標系。其中，工作臺坐標系WCS的編號κ=0，各運動軸的編號依次遞增，床身坐標系MCS的編號κMCS=5，刀具坐標系TCS的編號為κ=9。

步驟2 確定矩陣符號

根據編號，計算各運動軸的矩陣符號，矩陣符號的計算函數為

(2)

式中:λ=κ-κMCS，物理意義為比較運動部件在機床中的相對位置關系，以機床床身坐標系為基準，若運動部件靠近工作臺端，則根據運動部件的性質(直線運動或旋轉運動)作相應齊次坐標變換的逆變換；若運動部件靠近刀具端，則作相應齊次坐標變換的正變換。

步驟3 建立齊次坐標矩陣

根據各運動部件的運動性質，建立相鄰運動部件間的齊次坐標變換矩陣

WTT=WTRw2·Rw2TRw1·Rw1TX·XTY·
YTM·MTZ·ZTRt1·Rt1TRt2Rt2TT

(3)

式中：iTi+1為運動部件i+1相對于運動部件i的齊次坐標變換矩陣。

在進行特定機床運動學建模分析時，可將通用運動學建模過程中不存在的旋轉軸齊次坐標變換矩陣歸約為單位陣。

步驟4 匹配矩陣系數

根據公式(2)確定的各運動部件矩陣符號系數，將各運動部件的齊次坐標變換矩陣同其矩陣符號系數相匹配，如公式(4)。

(4)

步驟5 平移矩陣融合

(5)

公式(5)稱為通用機床的形狀函數。

步驟6 計算運動學方程

將通用機床的形狀函數左乘刀具坐標系的齊次坐標變換矩陣，獲得刀具在工件坐標系下的位置及姿態坐標，即運動學方程

(6)

式中：Kx、Ky、Kz分別為在工件坐標系下的刀軸矢量與各坐標軸的方向余弦；Qx、Qy、Qz分別為工件坐標系下刀具的位置坐標。

步驟7 定義并引入邊界條件

將機床各轉動軸轉角φ1和φ2至零，此時工件坐標系下的刀具位置坐標與加工代碼中各直線軸的運動分量相等，以此作為運動學方程求解的邊界條件。

當φ1=φ2=0時[QxQyQz1]T=[XYZ1]T

(7)

將公式(7)代入公式(6)求得刀具相對于工作臺的綜合坐標變換矩陣中的各項移動系數。

步驟8 求運動學方程逆解

將移動系數Px、Py、Pz代入公式(6)，根據矩陣元素對應相等原則得運動學方程逆解

步驟9 求運動學方程正解

聯立運動學方程逆解，求得運動方程正解

4 仿真與驗證

利用上文所述的多軸機床通用運動學建模方法，求解如圖1所示的一種XYZ-BC式擺頭轉臺五軸機床運動學方程。并將某一型號精鍛葉片進氣緣處的銑削精加工刀位文件轉換成數控加工代碼。在VERICUT仿真平臺中搭建虛擬仿真機床，進行銑削仿真驗證。

在圖1中，B軸為搖擺軸，可使機床主軸繞Y軸搖擺。C為旋轉軸，可使工作臺繞Z軸旋轉。分別在刀具端建立刀具坐標系、工件端建立工件坐標系，并以刀具坐標系Y軸為軸心建立旋轉軸B軸的旋轉坐標系，以工件坐標系Z軸為軸心建立旋轉軸C軸的旋轉坐標系。

根據前文所述的建模方法，兩個旋轉軸分別在刀具端和工件端，根據旋轉軸的位置，將兩個旋轉軸的旋轉齊次坐標變換矩陣帶入通用運動學方程中，并將刀具端和工件端多余的旋轉齊次坐標變換矩陣歸約為單位陣，則擺頭轉臺式五軸機床的運動學形狀函數為：

對于圖1所示的擺頭轉臺機床，將φy=B、φz=C帶入運動學形狀函數得機床運動學方程的通解：

(8)

根據邊界條件的定義，當B=C=0時：

[QxQyQz1]T=[X Y Z 1]T=[PxPyPz1]T

(9)

將邊界條件(9)帶入運動學方程通解(8)得運動學方程特解為：

(10)

運動學方程的逆解可由運動學方程(10)矩陣元素對應相等原則得出：

運動學逆解可用于將加工代碼轉換為刀位文件，即反后處理過程。

通過聯立運動學逆解，求得運動學正解為：

表1 葉片進氣緣的銑削加工刀具路徑和轉換后的加工代碼

GOTO/75.6497,87.7327,179.0142,0.0863515,-0.9413518,0.3261904N29X-80.455Y83.348Z179.014B70.962C-84.759GOTO/75.5403,87.7158,178.8319,0.1293071,-0.9349534,0.3303661N30X-76.54Y86.845Z178.832B70.709C-82.126GOTO/75.3268,87.6702,178.4673,0.2143985,-0.9168330,0.3368241N31X-68.215Y93.311Z178.467B70.317C-76.838GOTO/74.9213,87.5304,177.7382,0.3790510,-0.8598503,0.3420201N32X-49.872Y103.863Z177.738B70.C-66.21GOTO/74.5445,87.3253,177.0090,0.5321863,-0.7767414,0.3368241N33X-49.872Y110.852Z177.009B70.317C-55.583GOTO/74.3667,87.1985,176.6444,0.6029633,-0.7261498,0.3303661N34X-19.578Y112.919Z176.644B70.709C-50.295GOTO/74.2805,87.1291,176.4621,0.6366633,-0.6987558,0.3261904N35X-14.377Y113.589Z176.462B70.962C-47.662

運動學逆解可用于將刀位文件轉換為加工代碼，即后處理過程。

運用運動學方程的正解，將精鍛葉片進氣緣處精加工刀位文件中刀具位置坐標和刀軸矢量夾角轉換為擺頭轉臺式數控機床各移動軸運動分量和各轉動軸轉角，部分代碼的轉換結果如表1所示。

在VERICUT仿真平臺中搭建XYZ-BC式擺頭轉臺五軸機床，如圖2所示。

采用Fanuc-30i數控系統進行虛擬仿真加工，加工代碼的運行過程如圖3a所示，當數控程序運行至N30行時，刀具的加工過程如圖3b及機床各運動部件的相對位置如圖3c所示。

通過虛擬仿真加工過程可以看出，由擺頭轉臺式五軸機床運動學正解轉換得到的數控加工代碼滿足加工要求。因此，驗證了多軸機床通用運動學建模方法的正確性。

5 結語

(1)為提出適用于各類多軸機床的通用運動學建模方法，首先將多軸機床視為同時具備四個旋轉軸的串聯型機構，通過采用對各運動部件編號及排序的方法，確定相鄰部件齊次坐標變換的方向性。

(2)為解決移動坐標系原點不重合導致運動學建模困難的問題，提出了平移齊次坐標變換矩陣融合的方法，將3個平移矩陣轉換為刀具相對于工作臺的綜合移動矩陣，建立機床的通用運動學形狀函數。

(3)為提高求解運動學方程的準確性，定義了求解運動學方程的邊界條件。當各轉動軸轉角為零時，刀位文件中的刀具位置坐標與加工代碼中各移動軸運動分量相等。邊界條件適用于任何復雜結構機床運動學方程的求解。

(4)通過本文提出的通用運動學建模方法建立了XYZ-BC式擺頭轉臺五軸機床運動學方程，并將銑削精鍛葉片進氣緣處的刀位文件轉換為加工代碼，通過VERICUT仿真平臺搭建虛擬機床，進行仿真加工，驗證了多軸機床通用運動學建模方法的正確性。

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