挖掘課本內涵，培養思維能力

馬勇

摘要：培養學生思維能力是數學教學的重要目標，如何能實現這一目標.靈活處理認真研究課本的例（習）題，挖掘并掌握其中豐富內涵，是一種行之有效辦法，其對培養學生思維發散性、靈活性、深刻性、創造性、廣闊性都有很大作用。

關鍵詞：思維能力；課本例題

例（習）題是教材的重要組成部分，這些例（習）題是編者從茫茫題海中經過反復篩選、精心選擇出來的，是學生掌握雙基的重要來源，也是教師傳授知識的紐帶，它蘊含著豐富的教學功能，處理好例（習）題的教學，對教學質量大面積的提高、學生智力的發展、思維品質的培養都是至關重要.

一、引申拓廣，培養思維的發散性

教學中，若對一些典型的例、習題進行變式處理，如改變原題的條件、結論、方法或逆向思維、反例分析等，即可以在演變多解過程中，使得學生在知識及方法的縱橫方向分別得以拓廣和延伸，培養學生的發散性思維.

例1：數學必修⑷P122第3題證明：對任意a，b，c，d∈R，恒有不等式（ac+bd）2≤（a2+b2） （c2+d2） （1）

先讓學生推證，發現他們用比較法、綜合法、反證法、放縮法都可以得到證明.此時進一步追問：能否有更新穎的證法呢？

引導學生抓住“a2+b2”、“c2+d2”、“ac+bd”的結構特征，因此可考慮用構造法證明.

證法1 （向量法）構造向量

則ac+bd=a2+b2 ·c2+d2 cosθ，

（ac+bd） 2=（a2+b2）（c2+d2） cos2θ

≤（a2+b2）（c2+d2）

證法2（構造三角形）利用“三角形的兩邊之和大于第三邊”（上圖中OBCA為平行四邊形）

由|OA|+|OB|>|AB|及|OA|+|OB|>|OC|，不等式⑴迅速得證.

由解法一不少學生都能發現a與b，c與d可交換位置.

[變1]求證：（a2+b2）（c2+d2）≥（ad+bc） 2 ⑵

[變2]⑴式兩邊開方可否？

求證：a2+b2 c2+d2 ≥|ac+bd| ⑶

[變3]⑶式右邊去掉絕對值可否？

求證：a2+b2 c2+d2 ≥ac+bd ⑷

對于⑴式能否有更深刻的變化呢？將不等式⑴字母分別排序，得

（a12+a22）（b12+b22）≥（a1 b1+a2 b2） 2 ⑸

通過分析知道，可以按字母增加的方向演變.

[變4]設a1、a2 、a3 、b1、 b2、 b3∈R，

求證：（a12+a22+a32）（b12+b22+b32）≥（a1 b1+a2 b2+a3 b3） 2 ⑹

此時，利用學生的連續思維所產生的思維慣性，教師因勢利導，把問題推廣.

推廣 設ai，bi∈R（i=1，2……n），則

（a12+a22+……+an2） （b12+b22+……+bn2）

≥（a1 b1+a2 b2+……+an bn） 2 （當且僅當ai=kbi時，取“=”號）

這是一個重要的定理，叫柯西不等式.不等式⑸、⑹即柯西不等式當n=2和 n=3時的特例.如此層層推進，使結論更加完美，更具有普遍性.

上述對原題從不同角度進行演變和多解，這樣從一題多變到一題多解，使知識橫向聯系，縱向深入，拓寬了學生的思路，培養了學生的發散思維.

二、融會貫通，培養思維的靈活性

數學中有很多知識是相互聯系的，現行新教材特別注意用聯系的觀點處理問題，課本中例、習題為我們提供了充足的素材和廣闊的空間.因此，在教學中充分利用課本例、習題之間相互聯系、互相作用、互相影響這一規律，引導學生串通教材，做到融會貫通，開闊學生的視野，增強學生思維的靈活性.

如研究空間面面關系，線面關系，線線關系時經常要用到轉化思想方法來解題，通常有關線面平行、垂直的問題可轉化為線線平行、垂直的問題，而有關面面平行、垂直的問題可轉化為線面平行、垂直的問題.

三、標新立異，培養思維的創造性

例題教學中，在學生掌握基本方法的同時，應有意識地創設新活的思維情境，激勵學生不依常規、不受教材與教師傳授的方法的束縛，引導學生多角度、全方位地思考問題，鼓勵學生標新立異、探究新解，達到開拓學生思維、鍛煉學生思維創造的目的.

例2：數學必修⑷P111例7，已知A（-1，-1），B（1，3），C（2，5）試判斷A、B、C三點之間的位置關系.這是一道基本題，但應要求學生盡可能多地進行多方位、多層次的聯系，尋求不同解法，如一些學生僅想到一些常規解法：

（1）證明|AB|+|BC|=|AC|；（2）證明點B在直線AC上；（3）證明直線AB、AC的方程相同或斜率相等.而有一些同學，聯想寬廣深刻，不但有上述解法，還得到了如下的非常規解法；（4）證明點C到直線AB的距離為0；（5）證明△ABC的面積等于零；（6）證明點B是有向線段AC的一個定比分點，顯然后者的解法較之于前者，更難想到，因而更具有創新性，有利于培養思維的廣泛性、創造性。

四、聯想轉化，培養思維的廣闊性

數學是一個具有內在聯系的有機整體，各不同分支，不同部分，都是相互聯系、相互滲透的，解題方法、解題思路更是如此，因而，在課本例、習題的教學中應有意識地教給學生類比、聯想、轉化的方法，以提高學生分析問題、解決問題的能力，促進知識的正向遷移，培養思維的廣闊性。

例3：已知a，b，m∈R+，并且a

求證：a+mb+m >ab

教材上是用“分析法”證的，如果就此結束，效果不大，實際上，它內蘊著豐富的教學價值，如引導學生巧妙聯想，靈活轉換，構造函數來證，則很富有意趣。

證明：令f（x）=a+xb+x =（x+b）+（a-b）b+x =1+a-bx+b

∵a-b<0，∴f（x）在[0，+∞）上為增函數，

∵m>0，∴f（m） >f（0） 即a+mb+m >ab

這樣的教學就使學生不再把函數與不等式割裂開來，而是融合為一個有機的整體，以后處理有關問題時將能迅速遷移，另如例1巧妙地利用了數形轉換解題的思想方法，這些都有助于培養學生思維的廣闊性、創造性。

綜上所述，課本是教學之本，深挖教材的潛力，充分發揮教材的自身作用，處理好課本例、習題的教學十分重要.立足課本，對課本典型例、習題進行演變、探究、引申、拓廣、應用，由點到面，由題及類，解剖一例，帶活一串，注意數學思想方法的滲透，這樣教學，深化了基礎知識，培養了思維品質，發展了思維能力，這正是我們所要追求的目標。