基于IPSO-BP神經網絡的跟蹤微分器?

王 坤

1 引言

無論在傳統的PID控制器的設計中，還是在信號處理與分析領域中，常常需要對測量到的信號進行求微分處理。由于理想微分器是物理不可實現的，在工程實際中往往采用一階比例微分環節或采用慣性環節來近似代替微分變換提取微分信號。但利用慣性環節進行微分信號提取時，必須將慣性環節的時間常數設置的很小，時間常數越小，微分信號的逼近精度越高，但同時由于時間常數過小，使得噪聲放大效應越明顯，嚴重時甚至會淹沒真正有用的微分信號。對此，中國科學院系統所的韓京清研究員提出了一種有效地獲取一階微分信號的方法—跟蹤微分器（Tracking Differentiator，TD）。跟蹤微分器是自抗擾控制技術中的重要組成部分，利用它不僅能較好地復現系統的狀態信號，而且還能夠得到較為滿意的一階微分信號［1］。此外，通過多個跟蹤微分器的直接級聯還可以獲得二階甚至更高階的微分信號，因而得到了工程應用領域的廣泛關注［2～5］。文獻［6］從二階系統的時間最速控制出發，建立了基于符號函數的跟蹤微分器的數學模型。但由于所構造的函數是非光滑、非連續的，在控制過程中會因切換而產生抖動，跟蹤和微分效果不夠理想，且收斂速度較慢。針對此問題，文獻［7～8］構造了離散形式的最速跟蹤微分器，并在極值點附近設置線性區域以消除抖動。文獻［9～11］在此前研究的基礎上，從構造的綜合控制函數出發，又對跟蹤微分器的數學模型進行了一系列的改進，提出了不同形式的數學模型。但是在這些文獻里所建立的跟蹤微分器的數學模型中存在一個共同的問題，就是在其數學模型的表達式中含有多個未知的待定參數，而這些參數的取值將直接影響到跟蹤微分器輸出的跟蹤信號以及其一階微分信號的精度。

為此，本文以跟蹤微分器常見的時間連續形式和離散形式的數學模型為研究對象，將粒子群優化算法及非線性系統神經網絡建模的思想引入跟蹤微分器的未知參數整定問題，提出了基于改進型粒子群算法的BP神經網絡建立跟蹤微分器數學模型的設計方法。通過對單個和級聯的跟蹤微分器系統的仿真，表明利用該方法設計的跟蹤微分器具有良好的動態響應，得到的各階次“微分信號”的精度較高，并且利用文中所提出基于IPSO-BP神經網絡設計出的跟蹤微分器還具有較強的魯棒性。

2 跟蹤微分器

跟蹤微分器是一個動態的濾波、求導系統。輸入控制系統的狀態信號v(t)，它將輸出兩個信號x1(t)，x2(t)，其中x1(t)是對輸入信號v(t)的跟蹤與復原，x2(t)是x1(t)的微分，即為v(t)的一階微分信號x2(t)≈v˙(t)。由跟蹤微分器得到的微分信號是輸入信號廣義導數的一種光滑逼近。

為了驗證本文算法的正確性，在此給出兩種非線性跟蹤－微分器的具體形式［6～8］。

2.1 連續時間數學模型

由二階最速開關系統，可以得到二階時間連續跟蹤－微分器的數學模型為

其中

時間連續形式的跟蹤-微分器是根據二階系統的時間最優控制得到的，具有良好的快速性。通過在開關線附近添加適當線性區域會更進一步改善輸出信號的性能，減小顫振，得到比較好的跟蹤和微分效果性。

2.2 離散時間數學模型

為了消除原點附近的顫振，提高系統的穩態精度，改善系統動態響應特性，在大量的研究基礎上，提出了跟蹤微分器的離散形式。跟蹤-微分器的離散形式如下

通過上面的分析可以看出，跟蹤-微分器連續時間形式的數學模型中，參數R，δ為未知參量。跟蹤-微分器離散時間形式的數學模型中，參數h，r也是待定的未知參數。而這些參數的取值是否合適，將直接影響到跟蹤-微分器獲取精確跟蹤和微分信號的效果。

3 基于IPSO算法的BP神經網絡

3.1 BP神經網絡

人工神經網絡是以工程技術手段從微觀結構與功能上對人腦神經系統的模擬而建立起來的一類非線性模型，具有模擬人的部分思維的能力，其特點是具有非線性特性、學習能力和自適應性，是模擬人的智能的一條重要途徑。它由簡單信息處理單元互連組成網絡，能接收并處理信息。神經網絡的信息處理由處理單元之間的相互作用來實現，它是通過把問題表達成處理單元之間的連接權來處理的。

BP神經網絡是一種靜態自學習前饋逼近式網絡，具有很強的學習功能，由于其自身所具有的信息分布式存儲和并行處理的特點，使其被廣泛地應用于模式識別，非線性系統辨識等領域。盡管在很多控制工程領域取得了很大的成功，但是BP神經網絡仍然存在著一些問題，主要表現在兩個方面，一是BP網絡的訓練時間長，學習算法收斂慢，甚至不收斂，出現訓練失敗的問題；二是BP網絡所采用的梯度下降的修正算法，使網絡易陷入局部極值，并且無法逃離局部極值點。因此近年來BP網絡的優化成為了BP網絡研究的重點之一。

3.2 改進粒子群算法

粒子群算法由電氣工程師R.Eberhart和美國心理學家Kennedy共同提出，通過模擬鳥群覓食過程中的遷徙和群聚行為而提出的一種基于群體智能的全局隨機搜索算法。在粒子群算法中，搜索空間內的每個粒子都代表一個可行解，利用適應度函數可以求出種群中所有粒子的適應值。根據計算得到的適應度值，粒子依據當前最好的個體值和群體中所有粒子的最優值，更新自身的位置與速度，直到找到適應度函數最小的最優值時停止更新。每個粒子的速度和位置按下述公式進行更新［12］：

式中，Xi表示第i個粒子在空間中的位置向量；Vi表示第i個粒子的飛行速度向量。

第i個粒子搜索到的歷史最優位置表示為pi，整個群體搜索到的最優位置表示為 pg，它是所有pi中的最優值。ωk稱為慣性權重，通常在[0，1]之間取值，它表示使微粒保持運動慣性的能力，使其具有擴展搜索空間的趨勢。c1和c2為實常數，稱之為加速度系數，表示將每個粒子推向個體最優解和全局最優解的統計加速度的權重，用于調節該粒子向自身已尋找到的最優位置和同伴已尋找到的最優位置方向飛行的最大步長；r1和r2為[0，1]之間的隨機數。

粒子群算法采用直接尋優的原理，這使得其收斂速度要比遺傳算法等優化算法速度要快，但是這也導致算法存在容易早熟收斂等缺點，為此在本文中采用可變慣性權值的方法，改善現有算法性能。

慣性權重表示粒子現有速度對先前速度的取舍程度，當慣性權重較大時有利于粒子群在全局范圍內進行搜索，而當權重值較小時將更有利于粒子群進行局部搜索，但陷入局部極小的可能會大大增加。綜合考慮慣性權重的全局和局部的搜索能力，在尋優的過程中按照式（5）不斷調整慣性權重系數值。

式中，ωmax表示慣性權重系數的最大值，通常在0.8～1.2之間取值，ωmin表示權重系數的最小值，通常取為0.4。Ma xk表示最大迭代次數，k表示當前迭代次數。

3.3 基于IPSO算法的BP神經網絡

將改進型粒子群優化算法的思想引入到BP神經網絡的訓練中，用改進后的粒子群優化算法替代誤差反向傳播算法中的梯度修正，可以實現縮短網絡訓練時間，提高網絡收斂精度的目的。具體的訓練方法是，用粒子群中的每個粒子的位置表示BP網絡中所有待定權值和閾值的集合，每個粒子的維度由BP網絡的結構所決定，即維數等于BP網絡中的權值與閾值的數量之和。以給定訓練樣本的BP神經網絡的輸出誤差的均方函數作為IPSO算法的適應度函數，其數學表達式如式（6）所示。

適應度函數值反映了神經網絡的訓練誤差，適應度值越小則說明粒子在搜索過程中，使得BP網絡所建立的非線性映射關系與實際非線性函數的吻合度越好。

利用IPSO算法訓練BP神經網絡的算法流程圖如圖1所示。

圖1 基于IPSO算法的BP網絡訓練流程圖

4 基于IPSO-BP神經網絡的跟蹤-微分器

由跟蹤微分器的數學模型（1～2）可見，連續時間模型中的待定參數R和δ或離散時間模型中的待定參數h和r都將直接影響跟蹤微分器的輸出量x1(t)，x2(t)的形式及精度。因此，為了確定模型中的待定參數，將神經網絡建立非線性系統數學模型的思想引入參數整定，提出基于IPSO-BP神經網絡建立跟蹤微分器數學模型的設計方法。

從跟蹤微分器數學模型的表達式可以看出，模型中的未知參數與模型輸出信號之間可以被視為一種特殊的非線性映射，因此可以利用非線性的神經網絡建立該映射，從而建立未知參數與輸出信號之間的對應關系。具體的做法是，首先給定一組未知參數，通過龍格庫塔算法求解一階微分方程組，得到一組與未知參數相對應的跟蹤信號和一階微分信號，將跟蹤微分器的輸出信號與未知參數之間構成一組訓練樣本。選取多組未知參數，采用同樣的算法，即可獲得訓練樣本集。接下來，利用所獲取的訓練樣本集對基于IPSO-BP神經網絡加以訓練，訓練結束時，所構造的IPSO-BP網絡將建立跟蹤微分器的輸出信號與未知參數之間的非線性數學關系。最后，將理想的跟蹤信號及其一階微分信號輸入神經網絡，即可確定未知參數值，從而達到設計跟蹤微分器的目的。以連續時間形式的數學模型的設計為例，給出基于IPSO-BP網絡的TD中待定參數確定的算法流程圖，如圖2所示。

圖2 跟蹤微分器未知參數整定算法流程圖

5 仿真結果與分析

為了驗證文中所提出的基于IPSO-BP神經網絡的跟蹤-微分器設計方法的正確性，以單個跟蹤微分器的常用連續形式和離散形式的數學模型為研究對象，采用連續可微的信號為輸入量，分別給出了單個跟蹤微分器的跟蹤輸出及一階微分信號輸出，并在不改變跟蹤微分器待定參數的前提下，通過兩個跟蹤微分器的直接級聯獲取原有輸入信號的二階微分信號，由此來驗證利用文中所提出的方法設計的跟蹤微分器具有較好的魯棒性。

為了便于分析比較，文中采用的輸入信號的形式為

仿真結果如下：

1）連續時間的跟蹤-微分器

根據文中的設計方法，首先設計一級跟蹤微分器的數學模型，仿真結果如圖3所示。

圖3 一階跟蹤微分器仿真圖

由仿真圖3可見，采用文中設計方法所構造的跟蹤微分器能很好的給出原有信號的跟蹤信號及其一階微分信號，跟蹤誤差達到1.6×10-7。

為了驗證參數設計方法的有效性以及由該算法所得到的待定參數的魯棒性，將兩個相同的跟蹤微分器直接級聯，由第二個跟蹤微分器直接獲取原有輸入信號的二階微分信號，仿真曲線如圖4所示。

圖4 二階微分信號仿真曲線

圖5 離散形式跟蹤微分器仿真圖

從仿真圖3和圖4可以看出，采用文中所提算法設計的跟蹤微分器不但能獲取較高精度的一階微分信號，而且僅通過直接級聯的方式就可以獲取二階微分信號，并且其精度也較高。

2）離散時間的跟蹤-微分器

按照相同的設計方法，利用IPSO-BP神經網絡訓練獲取離散形式的跟蹤微分器中的未知參數。為了便于比較，仍先設計一級跟蹤微分器的數學模型，再通過直接級聯的方式獲取高階的微分信號。仿真結果如圖5所示。

從仿真圖5中可以看出，文中所提出的設計方法同樣適用于跟蹤微分器離散模型的設計，仍可以得到高精度的跟蹤、一階微分信號和二階微分信號。但同時也應注意到，由兩個TD串聯后得到的二階微分信號在初始時間段內，產生了明顯的震蕩，這主要是由于離散結構形式在生成高階微分信號時，會產生隨機噪聲。因此，在實際使用離散形式的高階跟蹤微分器時，應避開第一個周期，從第二個周期開始提取微分信號。

6 結語

本文在對跟蹤微分器的連續時間和離散時間形式的數學模型研究的基礎上，結合前饋型神經網絡建立非線性系統數學模型的原理，提出了基于IPSO-BP神經網絡的跟蹤微分器的設計方法。通過對一級、二級連續時間和離散時間的跟蹤微分器系統的仿真表明，該算法不僅可以獲得高精度的系統跟蹤信號和一階微分信號，而且通過簡單的直接級聯的方式還能獲取較高精度的二階微分信號。此外，文中所提出的參數整定算法具有一定的擴展性，可以用于其他形式的跟蹤微分器數學模型的設計。

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