“綜合數感”能否擔當數學核心素養之重任

鄭義富

當前對于數學核心素養的界定尚無定論。采用“二分法”將公認的素養項逐步排除，科學“求核”，確定“數感”為數學學科的核心素養。構建形如“飛行器”式數學學科素養模型，提出“綜合數感”。

一、基于“二分法”視角辨析數學核心素養

“二分法”，一種認識事物的辯證方法，是在“一分為二”觀點指導下認識事物的方法。對“二分法”通俗地理解其實就是一種通過不斷的排除不可能的東西，最終找到需要的東西的一種方法，所以可以理解成“排除法”。以“二分法”逐步排除“非核心素養”，那么最后剩下的應該就是處于核心地位的素養——核心素養。

經過文獻整理，筆者認為目前被廣泛接受的數學素養應該就是“十個核心詞+抽象”，共11個素養項。如果把這11項都作為數學核心素養顯然過于分散且“臃腫”，必須進行“瘦身”，根據“二分法”逐步排除，從而科學地進行“求核”。

首先排除的是不受專業課程局限的，超越學科功能的素養項，也就是“共通性素養”，包括：創新意識、應用意識。應用意識不是只有數學教育才可培養，任何學科都應該注重“學以致用”。而“創新意識”更是超越學科、超越任何教育時段了。因此，二者必然不能算作數學學科的“核心”。

“模型思想”是否就是“核心”呢？模型思想并非獨立的數學知識板塊，可以說是貫穿數學學習始終，但對于人的培養結果來講模型思想并非是數學學習的最終目標。模型思想的培養和形成其實綜合了各項數學領域或者數學素養。其“與外部世界聯系的基本途徑”的特性其實就是“應用意識”的培養；“具體情境中抽象出數學問題”說明其門檻是“抽象”；“用數學符號”就是要培養“符號意識”；“建立方程、不等式、函數”“數量關系”“結果意義”等關鍵詞表明其對“數感”培養的要求。經過上述解構，“模型思想”就分解到“應用意識”“抽象”“符號意識”“數感”等素養項中。除非分解后的素養項最后被界定為核心素養，否則，“模型思想”就不能居于“核心”地位了。

在對“模型思想”進行辨析時采用了“分解”的方法，其他幾項數學素養還可以結合另一種方法進行分析，這種方法可稱為“化歸”，或者說是“合并轉化重組”。

比如“幾何直觀”，《課標》（2011年版）解釋為“主要利用圖形描述和分析問題”。如果我們把幾何圖形看作是一種“特殊的數學符號”，那么，幾何直觀其實就是“符號意識”。同理，“空間觀念”是“根據物體特征抽象出幾何圖形，根據幾何圖形描述現實問題”。說到底，空間觀念也是一種數學式的空間感悟。因其借助的是“幾何圖形”，所以也可以歸為“符號意識”一類，但是其“抽象”“推理”的特性還是不能忽視。也就是說空間觀念可以分解到“符號意識”“抽象”“推理”三個素養項中。

再看“數據分析”“運算能力”“推理能力”“數感”之間的關系。大多數人可能對“數感”的認識有所偏頗，錯誤地把“數感”與“數字感”等同了。《課標》（2011年版）這樣解釋：數感主要是指關于數與數量、數量關系、運算結果估計等方面的感悟。建立數感有助于學生理解現實生活中數的意義，理解或表述具體情境中的數量關系。顯然，“數感”所涵蓋的意義要遠超“數與計算”。而“運算能力”主要是指能夠根據法則和運算律正確地進行運算的能力。對“數感”素養解析的關鍵詞“數與數量、數量關系、運算”不就是“運算能力”嗎？類似的，“推理能力”所強調的“借助數學基本思維方式推斷某些結果，或通過數學法則等進行證明和計算”等等都是“數感”素養或者“符號意識”素養的直接體現。數學推理最終要落在數或運算符號上，以數學特有的符號簡明地反映邏輯思考的過程，數或符號的使用同時也促進推理能力的提升。因此，推理能力也可以歸為數感一項。“數據分析觀念”是指“收集現實生活中數據并進行分析判斷，發現規律或解決現實問題”。數據分析雖然屬于統計與概率范疇，是統計的核心。但說到底也是對“數”的分析。無論如何“數據”總是“數”，對數據的收集認識理解分析都是對“數”的認識和感悟，何嘗又不是“數感”呢？至此，“數據分析”“運算能力”“推理能力”都可以歸為“數感”一項，只不過這時候“數感”的涵義更加豐富更為立體了。

而“符號意識”中的“符號”只是工具或手段，真正的用意是“表示數、數量關系和變化規律”，是要進行“運算與推理”。如果把“數字”也看作一種特殊的數學符號，那么“數感”就是“符號感”。因“符號”在這里必須具有“數學意味”，因此，用“數感”統領二者更為合適。

經過上面的分解、化歸，十一個素養項已經排除了九項，只剩“數感”與“抽象”兩項了。只有兩項處于學科核心地位自然無可厚非。但是，這兩項并非彼此“獨立”，而是有著千絲萬縷的聯系，甚至可以整合為一項。數學中對于抽象的表達，主要是通過數字或數學特征鮮明的符號，抽象就是對“數與形”的抽象。因此，抽象也是人對數字或符號的特殊感悟能力。所以，抽象也可以歸到數感和符號感合并延展后的“新數感”項中。

由此得出結論，數學中處于核心地位的素養是——數感，也可以說“數感”是數學學科的核心素養。基于前文分析，構建形如“飛行器”式數學學科素養模型，如右圖。

二、與時俱進，從“數感”到“綜合數感”

事物總是要發展變化的，數學學習的價值觀與人才觀也要與時俱進。筆者學習借鑒張奠宙先生的“真善美”論述，在原“數感”的基礎上進行拓展延伸，提出“新數感”的概念，將“數學綜合數感”簡稱為“綜合數感”。綜合數感主要是指“通過對數（符號）與數量、數量關系、空間幾何、運算結果估計等方面的感悟，提升用數學思想方法分析、解決實際問題的基本能力，增強應用意識及創新意識，促進學生理解數學文化價值，體會數學的嚴謹性和精確性，進而能夠喜歡數學、熱愛數學，欣賞數學之美。”

責任編輯韋英哲