標(biāo)準(zhǔn)包絡(luò)環(huán)面蝸桿副通用接觸線方程及數(shù)值求解

吳 彬，張 璐，李昌冉，李 雄，陳旭鋒

（長(zhǎng)安大學(xué)，陜西 西安710064）

0　引言

環(huán)面蝸桿傳動(dòng)相對(duì)于圓柱蝸桿傳動(dòng)具有嚙合齒數(shù)多，承載能力大的優(yōu)點(diǎn)[1]。我國(guó)生產(chǎn)的二次包絡(luò)環(huán)面蝸桿主要有平面二次包絡(luò)環(huán)面蝸桿、錐面二次包絡(luò)環(huán)面蝸桿[2]，其廣泛應(yīng)用于機(jī)械、化工、冶金等領(lǐng)域[3]。由于包絡(luò)環(huán)面蝸桿副齒廓曲面的復(fù)雜性，對(duì)其進(jìn)行齒面方程的求解也很復(fù)雜，國(guó)內(nèi)外眾多學(xué)者對(duì)其進(jìn)行了研究，代表有胡來(lái)瑢[4]、董學(xué)朱[5]、L.V.Mohan[6]等，都針對(duì)性的對(duì)環(huán)面蝸桿副接觸線方程進(jìn)行了推導(dǎo)，但很少有對(duì)二次包絡(luò)環(huán)面蝸桿副通用接觸線方程進(jìn)行推導(dǎo)。本文推導(dǎo)了標(biāo)準(zhǔn)二次包絡(luò)環(huán)面蝸桿副的通用接觸線方程，最后以平面二次包絡(luò)環(huán)面蝸桿為例對(duì)接觸線方程的求解進(jìn)行了研究。

1　標(biāo)準(zhǔn)二次包絡(luò)環(huán)面蝸桿副通用接觸線方程

1.1　坐標(biāo)系設(shè)置

根據(jù)蝸桿毛坯與工具齒輪的相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系，為了表達(dá)和計(jì)算方便，建立如圖1所示的蝸桿表面坐標(biāo)系。

圖1　第一次包絡(luò)坐標(biāo)系

圖中，C為蝸桿副中心距；S0（i0j0k0）為刀座（蝸輪）靜坐標(biāo)；Sw（iwjwkw）為蝸桿靜坐標(biāo)；S1（i1j1k1）和S2（i2j2k2）分別是蝸輪和蝸桿的動(dòng)坐標(biāo)系；φ1，φ2為蝸輪、蝸桿在定坐標(biāo)系轉(zhuǎn)角。

1.2　第一次包絡(luò)蝸桿齒面上通用接觸線方程

S0（i0j0k0）和Sw（iwjwkw）分別是與機(jī)架固定連接的刀座和蝸桿上的靜坐標(biāo)，S1（i1j1k1）和S2（i2j2k2）分別是與刀座和蝸桿固接的動(dòng)坐標(biāo)系。第一次包絡(luò)形成蝸桿齒面，成型面上嚙合點(diǎn)p在S1中的位置表達(dá)式：

嚙合點(diǎn)處單位法向量三個(gè)分量可表示為：

嚙合點(diǎn)處的相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度可由下式求得：

式中 w(12)=w(1)-w(2)=-sinφ1i1-cosφ1j1+i12k1

將（4）、（5）代入（3）整理而得

根據(jù)共軛理論可知第一次包絡(luò)嚙合函數(shù)可表示為：

把（2）、（6）代入（7）整理而得第一次包絡(luò)通用嚙合函數(shù)：

其中

通過(guò)坐標(biāo)變換，將動(dòng)坐標(biāo)系S1中p1轉(zhuǎn)換到蝸桿動(dòng)坐標(biāo)系S2中p2得

聯(lián)立（1）、（2）、（8）、（9）得到第一次包絡(luò)蝸桿齒面通用接觸線方程。

1.3　第二次包絡(luò)蝸輪通用接觸線方程

如圖2是用于獲得蝸輪表面坐標(biāo)，Sg（igjgkg）和Sw（iwjwkw）分別是蝸輪上靜坐標(biāo)和蝸桿上靜坐標(biāo)，S1（i1j1k1）和S2（i2j2k2）分別是蝸輪和滾刀的動(dòng)坐標(biāo)系，θ1，θ2為蝸輪、蝸桿在定坐標(biāo)系轉(zhuǎn)角。第二次包絡(luò)形成蝸輪齒面Σ1，嚙合點(diǎn)處的單位公法線向量與第一次相同。由于單位公法向量為自由向量，只考慮坐標(biāo)的旋轉(zhuǎn)變換，所以有

圖2　第二次包絡(luò)坐標(biāo)系

嚙合點(diǎn)處的相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度可由下式求得

令w(1)＝1則

把（12）（13）代入（11）得：

據(jù)此，根據(jù)共軛理論可知第二次包絡(luò)通用共軛函數(shù)為

其中

通過(guò)坐標(biāo)變換，將式（15）中 x2、y2、z2用 x1、y1、z1代替得第二次包絡(luò)通用共軛函數(shù)：

通過(guò)坐標(biāo)變換，將坐標(biāo)系S2中的p2轉(zhuǎn)換到坐標(biāo)系S1中p1

聯(lián)立 （1）、（2）、（8）、（9）、（10）、（16）、（17）、（18）得到第二次包絡(luò)蝸輪齒面通用接觸線方程。

2　平面二次包絡(luò)環(huán)面蝸桿副

2.1　標(biāo)準(zhǔn)平面二次包絡(luò)環(huán)面蝸桿副接觸線方程

包絡(luò)面為平面的環(huán)面蝸桿傳動(dòng)，稱為平面二次包絡(luò)環(huán)面蝸桿傳動(dòng)，見(jiàn)圖3.

圖3　成型面坐標(biāo)系

由（1）可知

由（2）可得

將（18）（19）代入（9）可得

所以將式（21）代入（8）得第一次包絡(luò)嚙合函數(shù)為：

把式（18）（19）（20）代入（8）可得

把式（23）代入到（17）可知標(biāo)準(zhǔn)平面二次包絡(luò)環(huán)面蝸桿傳動(dòng)共軛函數(shù)為：

聯(lián)立 （1）、（2）、（8）、（9）、（10）、（16）、（24）、（18）得到平面二次包絡(luò)蝸輪齒面通用接觸線方程。

2.2　數(shù)值求解

求解平面二次包絡(luò)環(huán)面蝸桿傳動(dòng)接觸線方程關(guān)鍵是求解式（24），由于上面推導(dǎo)的式（24）是關(guān)于θ2的非線性三角函數(shù)，無(wú)法直接求解，因此要對(duì)其進(jìn)行牛頓迭代法求解。由圖4可知共軛函數(shù)關(guān)于轉(zhuǎn)角θ2連續(xù)可導(dǎo)，所以可以使用牛頓迭代法進(jìn)行求解。迭代求解的流程如下：

設(shè)θ為式（24）φ(2)=0的根，給定初始值θ=θ2.

將θ2代入如下所示的迭代關(guān)系式，求解出新的θ2作為θ的一次近似值。

將θ的一次近似值作為新的θ值，代入迭代關(guān)系式得到θ的二次近似值，循環(huán)進(jìn)行。因?yàn)楣曹椇瘮?shù)關(guān)于轉(zhuǎn)角θ2連續(xù)可導(dǎo)，由Matlab求得共軛函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)如圖4所示，可知初始值取60°，此時(shí)迭代關(guān)系式必定有收斂解。控制結(jié)果計(jì)算誤差為0.001°進(jìn)行求解，最終完成平面二次包絡(luò)環(huán)面蝸輪齒面接觸線求解。

圖4　共軛函數(shù)連續(xù)可導(dǎo)性

已知蝸桿為單頭蝸桿，傳動(dòng)比i21=40，模數(shù)m=10.03 mm，蝸輪齒頂圓直徑為417.36 mm，齒根圓直徑為381.24 mm，分度圓直徑為401.3 mm；蝸輪齒距角為9°，工作起始角為6°.最后通過(guò)Matlab程序計(jì)算，在Matlab軟件中求得蝸輪齒面上接觸線如圖5所示。

圖5　蝸輪接觸線

3　結(jié)束語(yǔ)

（1）本文詳細(xì)推導(dǎo)了標(biāo)準(zhǔn)二次包絡(luò)環(huán)面蝸桿副通用接觸線方程，然后以平面二次包絡(luò)環(huán)面蝸桿傳動(dòng)為例驗(yàn)證其正確性，這對(duì)推導(dǎo)一般環(huán)面蝸桿副接觸線方程具有指導(dǎo)意義。

（2）本文采用牛頓迭代法的數(shù)值方法求解了接觸線方程，并通過(guò)實(shí)例計(jì)算，得到蝸輪接觸線圖，此數(shù)值方法對(duì)求解其它超越方程具有參考價(jià)值。

參考文獻(xiàn)：

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[2]段德榮.包絡(luò)環(huán)面蝸桿傳動(dòng)通用嚙合函數(shù)及其應(yīng)用[J].太原工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，1987，1（2）：30-41.

[3]陽(yáng) 培，王長(zhǎng)路.用嚙合原理與數(shù)值方法求蝸桿副接觸線[J].機(jī)械傳動(dòng)，2004，1（2）：4-6.

[4]胡來(lái)瑢.空間嚙合原理及應(yīng)用（下冊(cè)）[M].北京：煤炭工業(yè)出版社，1986：58-76.

[5]董學(xué)朱.環(huán)面蝸桿傳動(dòng)設(shè)計(jì)和修型[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2004：15-30.

[6]L.V.Mohan，M.S.Shunmugam.Geometrical aspects of double enveloping worm gear drive[J].Mechanism and Machine Theo ry，2009，44（11）：2053-2065.