不等式的推廣及其應用

羅　群

（肇慶學院 數學與統計學院，廣東 肇慶　526061）

0　引言

本文討論式（1）的推廣形式，所討論的問題有

證明本文結論的主要依據是下面的引理1.

引理1[1]126設函數 f(x)在區間I上可導，若 f′(x)＞0(f′(x)＜0),則 f(x)在區間I上嚴格遞增（嚴格遞減）.

1　主要結論

結論1當α≤3時，不等式成立.

由引理1，f′(x)在(0,π/2)內嚴格單調增，而 f′(x)在x=0右連續，所以

因此，當0＜α≤3時，在(0,π/2)內總成立 f′(x)＞0.又由引理1，f(x)在(0,π/2)內嚴格增，且 f(x)在x=0右連續，于是

即不等式（2）成立.

綜上，當α≤3時，不等式（2）成立.

結論2當α＞3時，不等式

由引理 1，g(x)在 (0,π/2)內嚴格增，而 g(xα)=0,所以當 x∈(0,xα)時，g(x)＜g(xα)=0,由于因此 f″(x)＜0.由引理1，f′(x)在 x∈(0,xα)內嚴格減，而 f′(0)=0,從而當 x∈(0,xα)時，有 f′(x)＜f′(0)=0,故 f(x)在(0,xα)內嚴格減，從而

于是所證結論成立.

結論3當α＞3時，存在x0∈(0,π/2),使得當x∈(x0,π/2)時，不等式

成立.

取大的生荸薺20枚，去節鮮蓮藕150克，大的梨子2枚，搗爛絞汁生飲。適用于肺癌咯血、咳血或放射治療后咽焦干咳者。

證函數 f(x),g(x)與結論2證明中相同.由結論2的證明過程可知，由于g(x)在(0,π/2)內嚴格增且g(xα)=0,因此當x∈(xα,π/2)時，g(x)＞0,從而 f″(x)＞0,于是 f′(x)在(xα,π/2)內嚴格增.由 f(x)的定義及 f′(x)的表達式（3），有

因此，存在x0∈(xα,π/2)?(0,π/2),使得 f(x0)＞0且 f(x)在(x0,π/2)嚴格增，故不等式（5）成立.

2　應用

例1證明不等式

證式（6）等價于tan x sin x＞x2,即由結論1顯然成立.

例2[2]證明

證1）當x=±π/2時，所證不等式為(2/π)3＞0,顯然成立；

2）當x∈(0,π/2)時，由結論1，所證不等式成立；

3）當x∈(-π/2,0)時，由于不等式兩端均為偶函數，由2）可知結論也成立.

例3證明：1）當0≤α≤2時，不等式

成立.

2）當α＜0時，不等式

成立.

1）當0≤α≤2時，有α+1≤3,由結論1，f′(x)＞0,從而 f在(0,π/2)嚴格增；又 f在x=π/2處左連續，因此當從而不等式（7）成立.

2）當α＜0時，有α+1＜1,由結論1，f′(x)＜0,從而 f在(0,π/2)嚴格減；又 f在x=π/2處左連續，因此當從而不等式（8）成立.

注特別地，當α=2時，有如下不等式[3]成立：

例4證明不等式

參考文獻：

[1]華東師范大學數學系.數學分析：上冊[M].4版.北京：高等教育出版社，2010.

[2]裴禮文.數學分析中的典型問題與方法[M].北京：高等教育出版社，2002：206.

[3]許康,陳強,陳摯,等.前蘇聯大學生數學奧林匹克競賽題解：上編[M].哈爾濱：哈爾濱工業大學出版社，2012：45.