斷裂力學(xué)常用數(shù)值計算方法研究現(xiàn)狀

(重慶交通大學(xué)土木工程學(xué)院 重慶 400000)

引言

斷裂力學(xué)是固體力學(xué)的一個分支學(xué)科，主要研究內(nèi)容是控制和防止結(jié)構(gòu)在荷載作用下的斷裂破壞，并以此分析結(jié)構(gòu)在發(fā)生破壞時裂紋的發(fā)展規(guī)律以及對結(jié)構(gòu)強度的影響程度[1]。自20世紀(jì)70年代斷裂力學(xué)開始引入國內(nèi)后，經(jīng)過近50年的發(fā)展，斷裂力學(xué)這門學(xué)科已經(jīng)廣泛的應(yīng)用到了航空、航天、化工、能源等各個領(lǐng)域，為國家基礎(chǔ)建設(shè)貢獻(xiàn)了不可磨滅的力量。在當(dāng)下，斷裂力學(xué)的研究目標(biāo)主要有三點：裂紋的起裂條件、裂紋在外界荷載或者其他因素影響下的開展過程以及裂紋開展程度對結(jié)構(gòu)強度的影響程度[2]。為了解決這三個問題，以計算機為基礎(chǔ)的數(shù)值計算方法得到了大力的發(fā)展，并且隨著相關(guān)學(xué)者的不斷努力，在原有的數(shù)值計算方法之上延伸出了許多更加優(yōu)秀的方法，以往不能解決的問題或者解決存在較大困難的問題也逐漸被解決。

一、斷裂力學(xué)數(shù)值計算方法研究現(xiàn)狀

(一)有限元數(shù)值計算法

有限元法是出現(xiàn)時間最早的斷裂力學(xué)數(shù)值計算方法。它的原理是將現(xiàn)實生活中的連續(xù)介質(zhì)離散成為有限個數(shù)的單元，并對各個單元進(jìn)行數(shù)值計算，然后通過節(jié)點位移求解得到應(yīng)力分量，最終得到實際問題的數(shù)值解。近年來，斷裂力學(xué)的有限元數(shù)值計算方法開始向各個方向發(fā)展，為有限元計算方法的發(fā)展帶來了蓬勃的生機。其中，蘇靜波[3]等人將有限元法擴(kuò)展到幾何非線性斷裂力學(xué)問題中，建立了Fortran程序，推導(dǎo)了幾何非線性擴(kuò)展的有限元法公式，并用算例說明這種方法在大位移條件下比傳統(tǒng)的有限元法更加優(yōu)秀，但當(dāng)裂紋張開發(fā)生大變形時，幾何非線性與物理非線性同時存在，這種方法的計算結(jié)果還需要進(jìn)一步的研究。總體來說，這種方法為擴(kuò)展有限元法的研究提供了前進(jìn)的方向，豐富了斷裂力學(xué)擴(kuò)展有限元法的內(nèi)容。另一方面，擴(kuò)展有限元法在強度不連續(xù)問題中也得到了進(jìn)一步的發(fā)展，李俊[4]等人在總結(jié)了擴(kuò)展有限元法近年來水平集法、積分方案和不連續(xù)位移場富集策略的基礎(chǔ)上，提出了未來擴(kuò)展有限元法應(yīng)該對裂縫處理方式、裂縫模型以及鋼筋應(yīng)力的處理方式等進(jìn)行進(jìn)一步的研究。

有限元法雖然提出的時間相比其他數(shù)值計算方法都早，但依然是目前最有活力的數(shù)值計算方法，這主要得益于他的包容性以及根本性，其他的數(shù)值計算方法大多是從有限元法的基礎(chǔ)上得到的，因此有限元法的發(fā)展對斷裂力學(xué)整體的發(fā)展而言至關(guān)重要。近年來國內(nèi)相關(guān)學(xué)者對有限元法的新式理論方法研究隨著社會的實際需求而不斷豐富，未來斷裂力學(xué)有限元法會朝著降低計算機需求，優(yōu)化計算法則的方向不斷發(fā)展，滿足更多實際需求，豐富斷裂力學(xué)數(shù)值計算方法的理論基礎(chǔ)。

(二)邊界元數(shù)值計算法

與有限元法相比，邊界元法能夠有效的降低計算所需要準(zhǔn)備的數(shù)據(jù)數(shù)量，同時簡化計算模型，加快計算速度。另一方面，邊界元法的使用依賴于已知的帶奇異性特殊問題的解，在特殊解存在的條件下，邊界元法能夠比有限元法更好的解決諸如應(yīng)力集中，場量大梯度變化的問題。汪文橋[5]等人在利用邊界元法處理裂紋擴(kuò)展問題時，引入保形變換方程，這種方法能夠很好的避免在裂紋上下截面處理不同階次的奇異積分時所產(chǎn)生的病態(tài)矩陣，對結(jié)果的準(zhǔn)確度提升具有巨大的幫助。高效偉[6]等人在對比傳統(tǒng)邊界元方法之后，提出利用徑向積分邊界元法分析功能梯度材料動態(tài)斷裂問題具有自身的優(yōu)越性，并建立起只需要邊界離散的無內(nèi)部網(wǎng)格邊界元計算方法，使得分析功能梯度材料的邊界元算法得到了極大的優(yōu)化，但是這種方法是建立在各向同性、均質(zhì)的材料之上，對于各向異性、非均質(zhì)材料還需要進(jìn)一步的研究，以得到符合實際情況的完整算法。張耀明[7]等人在三維邊界問題中幾乎奇異積分計算方法上做出了較為突出的貢獻(xiàn)。高階幾何單元上的邊界積分問題一直以來都是較為困難的問題，該文利用8節(jié)點的四邊形以及6節(jié)點三角形曲面單元構(gòu)造了新的距離函數(shù)，相比利用8節(jié)點二階曲面單元來逼近幾何邊界更加簡便，并且結(jié)果精度更高，更加穩(wěn)定。

斷裂力學(xué)邊界元法一直以來便被看作有限元法的重要補充工具，近年來國內(nèi)相關(guān)學(xué)者的各項研究都表明這種數(shù)值分析方法具有巨大的活力，能夠比有限元法更好的處理裂紋開裂的問題，但是各項研究的深度還有待進(jìn)一步提高，為這種數(shù)值計算方法的普適性做出更多的努力。

(三)小波數(shù)值法

近年來小波數(shù)值分析方法對各種裂紋的擴(kuò)展模擬有了新的突破，為生產(chǎn)實際帶來了較大的便利。彭惠芬[8]等人將內(nèi)聚力模型(CZM)引入小波有限元法(WFEM)數(shù)值分析中,以區(qū)間B樣條小波尺度函數(shù)作為插值函數(shù),推導(dǎo)了小波內(nèi)聚力界面單元剛度矩陣,基于虛擬裂紋閉合技術(shù)(VCCT)計算界面裂紋應(yīng)變能釋放率(SERR),采用β-Κ斷裂準(zhǔn)則,實現(xiàn)界面裂紋擴(kuò)展準(zhǔn)靜態(tài)分析。將WFEM和傳統(tǒng)有限元法(CFEM)的SERR數(shù)值分析結(jié)果與理論解比較，證明WFEM法相比傳統(tǒng)有限元法具有更好的準(zhǔn)確率，能夠更好的分析材料彈性模量對裂紋擴(kuò)展的影響。焦勝博[9]等人在考慮了金屬結(jié)構(gòu)裂紋檢測的實際需要之后，通過小波分解法與小波變換模極大值法對檢測信號去噪，實現(xiàn)了對疲勞裂紋擴(kuò)展長度的精準(zhǔn)檢測，將誤差減小到了1mm,滿足了實際工程需要。林麗君[10]等人利用小波模極大值與圖像加權(quán)信息熵相結(jié)合，并自行設(shè)計了BHPE濾波器，奠定了磁瓦裂紋缺陷自動識別的基礎(chǔ)，相比傳統(tǒng)邊緣檢測算法具有更好的精度與速度。小波數(shù)值分析方法不僅在裂紋擴(kuò)展的研究中具有重要的促進(jìn)作用，對于采用擬小波分析的問題以及振動問題也具有重要的意義。宋志偉[11]利用擬小波方法離散振動方程中的空間導(dǎo)數(shù)，通過判斷動力響應(yīng)的穩(wěn)定性從而得到梁的動力失穩(wěn)區(qū)域，并且通過實例計算結(jié)果對比發(fā)現(xiàn)利用擬小波方法能夠很好的模擬梁的動力特性，并且得到隨著軸向力中恒定項數(shù)目的增加，動力失穩(wěn)區(qū)域逐漸從高頻區(qū)域向低頻區(qū)域進(jìn)行移動，對后續(xù)梁動力特性的研究有著重要的意義。

小波分析除了在數(shù)值解法上有了較為顯著的進(jìn)步，利用這一方法結(jié)合聲學(xué)對結(jié)構(gòu)的微裂紋擴(kuò)展情況進(jìn)行研究也是近年來的研究熱點。這種方法對多裂紋、多維度裂紋擴(kuò)展情況的研究具有良好的模擬性，并且普適性也很廣，可以較好的與聲學(xué)、電磁學(xué)等學(xué)科有機的結(jié)合起來，為更多問題的分析提供可能。

(四)數(shù)值流形法

數(shù)值流形法近年來一直是數(shù)值計算方法中的研究熱點，國內(nèi)諸多學(xué)者都對這一方法做了大量的研究，主要涉及的方面包括數(shù)值流形法對裂紋擴(kuò)展過程的模擬優(yōu)化，方法本身的優(yōu)化以及方法對多場結(jié)合條件的適用性等。其中，劉學(xué)偉[12]等人在數(shù)值流形法原理上基于線彈性熱力學(xué)理論建立了溫度應(yīng)力耦合控制方程，成功模擬出了巖石破裂單元中溫度應(yīng)力耦合過程及該作用下巖體裂隙的擴(kuò)展過程，并通過計算程序?qū)λ憷M(jìn)行驗證，證明將數(shù)值流形法運用到巖體多場耦合作用中的可行性與合理性。張慧華[13]等人在已有的四邊形網(wǎng)格劃分方法的基礎(chǔ)上采用正六邊形網(wǎng)格求解線彈性復(fù)雜裂紋問題，并通過互能積分法計算得到裂紋尖端的應(yīng)力強度因子，證明運用正六邊形進(jìn)行網(wǎng)格劃分結(jié)果的精度更好，適合推廣。原有的數(shù)值流形法在一定程度上還存在一定缺陷，為了對方法進(jìn)行優(yōu)化，在裂紋尖端的物理片上增加擴(kuò)充位移函數(shù)，可以更加準(zhǔn)確的預(yù)測裂紋的擴(kuò)展方向，適用于大小變形。同時，數(shù)值流形法的線性相關(guān)性僅存在于數(shù)學(xué)網(wǎng)格的邊界上，因此增加覆蓋合并能夠減少整體剛度矩陣零特征值的數(shù)目[14,15]。

數(shù)值流形法是在非連續(xù)變形分析法的基礎(chǔ)上提出來的新數(shù)值計算方法，該種方法中的覆蓋位移函數(shù)可以是任意的級數(shù)形式，并且一般能夠同時處理靜力與動力問題，對斷裂力學(xué)中的接觸問題有著很大的幫助。未來數(shù)值流形法在處理裂紋問題時的優(yōu)勢特點必將為以后滿足更多實際需要提供不可或缺的保障。

三、未來發(fā)展趨勢

(一)解析法與數(shù)值法的進(jìn)一步融合

隨著計算機計算能力的不斷提升，未來數(shù)值法的更高計算效率依然是研究熱點。結(jié)合數(shù)值法與解析法能夠提高數(shù)值法的計算精度，并且能夠為數(shù)值法的優(yōu)化方向提供參考，如何將解析法與數(shù)值法更好的結(jié)合起來，二者之間優(yōu)勢互補是未來斷裂力學(xué)數(shù)值計算方法研究的大方向。

(二)數(shù)據(jù)處理更加方便

運用數(shù)值計算方法對斷裂力學(xué)問題進(jìn)行處理時，大量的數(shù)據(jù)是一直以來問題解決途中較大的一個阻礙，研究數(shù)據(jù)如何在原始數(shù)據(jù)存在的條件下進(jìn)行更多的智能處理，結(jié)合人工智能簡化數(shù)據(jù)處理過程也是未來研究的重點。

(三)各種方法相互取長補短

斷裂力學(xué)數(shù)值計算方法都有其自身的特點，如果融合各個算法之間的優(yōu)點，對數(shù)值算法進(jìn)行優(yōu)化，數(shù)值計算方法便能夠從紛亂繁雜逐漸走向統(tǒng)一，適用性更廣、精度更高、計算更為簡便的數(shù)值計算方法也能夠逐步實現(xiàn)，這也是未來斷裂力學(xué)數(shù)值計算方法重要的發(fā)展方向之一。

四、總結(jié)

隨著相關(guān)研究的不斷進(jìn)行，基于斷裂力學(xué)的數(shù)值計算方法必將得到更大的發(fā)展。未來各種數(shù)值計算方法之間優(yōu)勢的互補，以及基于已有的方法而發(fā)展起來的更優(yōu)秀的計算方法是研究的主體方向，為了斷裂力學(xué)這門學(xué)科的不斷完善發(fā)展，時刻保持謹(jǐn)慎的治學(xué)態(tài)度是每個力學(xué)工作者做必須的。