目標捕獲后航天器組合體的角動量轉移與抑振規劃

王興龍，周志成，曲廣吉

(中國空間技術研究院通信衛星事業部， 北京 100094)

0　引　言

航天器在軌服務[1-2]是我國正在建設發展的重要航天系統工程之一。服務衛星通過空間機械臂在軌捕獲失穩目標衛星[3]，是對其進行在軌服務的前提和基礎。失穩衛星往往因其殘余角速度和擾動等因素而處于慢旋或翻滾狀態。目標捕獲后，服務衛星和目標衛星在空間機械臂的連接下成為一個組合體。機械臂通過自身關節運動，將兩星的相對位置姿態調整至期望值，同時消除兩星的相對運動，使其達到相對位姿穩定狀態。在此過程中，存在兩個較為突出的問題：一方面，組合體處于自由漂浮狀態，系統角動量守恒，相對位姿調整與穩定過程中伴隨著角動量轉移，角動量由目標衛星逐漸轉移至整個組合體；另一方面，當服務衛星和目標衛星均為帶有太陽翼等柔性附件的大型衛星平臺時，機械臂和太陽翼的柔性振動對組合體控制精度影響較大，嚴重時甚至可能損壞組合體。

以往失穩目標捕獲研究多集中在捕獲前機械臂的規劃控制[4-5]和捕獲時末端的接觸碰撞[6-7]，對捕獲后組合體的角動量轉移與抑振規劃研究較少。Xu等[8]基于動量守恒提出了空間機械臂動力學耦合問題的混合建模和分析方法。Dimitrov等[9]和劉厚德等[10]分別提出了偏置動量方法和協調控制方法對組合體進行角動量管理與分配，但其所提方法均采用飛輪作為角動量吸收裝置，容易飽和，所能轉移的角動量有限。柔性組合體振動抑制方面，通過智能優化算法搜索機械臂最優抑振軌跡是一種有效的解決方法。Akira[11]建立了柔性機械臂動力學模型，通過遺傳算法得到機械臂振動能量最小的抑振軌跡。Meng等[12]和Xu等[13]建立了考慮太陽翼等柔性附件振動的柔性基座和機械臂耦合動力學模型，并基于此提出了一種振動抑制軌跡規劃方法。但以往建模大多只考慮機械臂柔性或太陽翼等附件柔性，沒有對機械臂捕獲目標后形成的柔性組合體進行動力學建模，也缺少能夠綜合抑制機械臂和太陽翼等的柔性振動的軌跡規劃方面的研究。

本文提出一種航天器組合體角動量轉移與振動抑制復合規劃方法。建立同時考慮機械臂和太陽翼柔性的組合體動力學模型。設計角動量轉移優化方法，并基于粒子群算法規劃機械臂最優抑振軌跡。最后通過仿真，檢驗規劃方法的有效性。

1　航天器組合體動力學建模

1.1　系統設定和符號定義

目標捕獲后形成的航天器組合體的簡化模型如圖1所示。服務衛星和目標衛星均設定為帶有太陽翼等柔性附件的大型衛星平臺。目標衛星處于無控失穩狀態，繞自身最大慣量軸慢旋。空間機械臂根部固定于服務衛星，末端與目標衛星固連并跟隨目標衛星作旋轉運動。服務衛星捕獲目標前姿態穩定，捕獲目標后關閉姿軌控系統，整個組合體處于自由漂浮狀態，系統動量守恒。

圖1　航天器組合體簡化模型Fig.1　Simplified model of spacecraft combination

機械臂臂桿和衛星太陽翼均視為柔性體，柔性變形視為小變形。本文的規劃對象為機械臂關節輸出角度，因此機械臂關節可視為黑箱模型，不對關節內部結構進行建模，不考慮關節柔性。組合體動力學建模所用坐標系和基本符號定義如下：

n：空間機械臂自由度

ns,nt：服務衛星和目標衛星太陽翼的數量

ΣI,Σmi：慣性坐標系、臂桿i固連坐標系

OI,Og：慣性系ΣI原點、組合體系統質心

Om0,Ome：服務衛星質心、目標衛星質心

Omi：機械臂關節i中心點

Osi,Oti：服務衛星和目標衛星太陽翼的鏈接點

rm0：從OI到Om0的位置矢量

lmi：從Omi到Omi+1的位置矢量

bm0,bsi：從Om0分別到Om1,Osi的位置矢量

bti：從Omn到Oti的位置矢量

rmi,h,rsi,h,rti,h：從OI分別到臂桿i、服務衛星太陽翼i和目標衛星太陽翼i上任意點h的位置矢量

ami,h,asi,h,ati,h：從Omi到臂桿i、從Osi到服務衛星太陽翼i、從Oti到目標衛星太陽翼i上任意點h的位置矢量

δmi,h,δsi,h,δti,h：臂桿i、服務衛星太陽翼i、目標衛星太陽翼i上任意點h的柔性變形矢量

δmi,l：臂桿i末端的柔性變形矢量

vm0,ωm0：服務衛星的速度和角速度矢量

ωmi：機械臂臂桿i的角速度矢量

zmi：機械臂關節i旋轉方向的單位矢量

θmi：機械臂關節i輸出的關節角度

mjAmi：從Σmi系到Σmj系的姿態轉換矩陣

E：單位矩陣

1.2　柔性組合體動力學模型

(1)

(2)

(3)

(4)

采用假設模態法對柔性體進行離散化描述，柔性變形量δmi,l,δmi,h,δsi,h,δti,h按正則模態展開，有

(5)

式中：Φmi,Φsi,Φti分別為機械臂臂桿i、服務衛星太陽翼i、目標衛星太陽翼i的正則模態矩陣，ηmi,ηsi,ηti分別為機械臂臂桿i、服務衛星太陽翼i、目標衛星太陽翼i的模態坐標。

組合體的動能T為服務衛星、目標衛星和空間機械臂的動能之和，將式(1)～式(5)代入組合體動能表達式，整理得到

(6)

(7)

(8)

(9)

M(q)為組合體的廣義慣量矩陣：

(10)

式中：Mvv為組合體總質量，Iωω為組合體相對其系統質心的轉動慣量，Rvω為服務衛星轉動對自身平動的剛性耦合系數，Rvθ,Rωθ,Rθθ為機械臂關節轉動分別對服務衛星平動、服務衛星轉動和自身轉動的剛性耦合系數，Fvη,Fωη,Fθη為機械臂臂桿和衛星太陽翼振動分別對服務衛星平動、服務衛星轉動和機械臂關節轉動的柔性耦合系數[14]。

目標捕獲后，服務衛星姿軌控系統關閉，整個組合體不受外力作用，滿足線動量和角動量守恒。假設組合體初始線動量和角動量分別為P0,L0，將式(1)～式(5)代入組合體動量表達式，整理得到

(11)

式中：Hs,Hm,Hf為系數矩陣，且Hs非奇異。

(12)

式中：

(13)

將式(12)代入式(6)，組合體動能T可重寫為

(14)

式中：

M(Θm,η)=A(Θm,η)TM(q)A(Θm,η)N(Θm,η)=B(Θm,η)TM(q)B(Θm,η)

(15)

組合體的勢能V為服務衛星和目標衛星太陽翼以及機械臂臂桿柔性變形勢能之和，其表達式為

(16)

式中：Λf為機械臂和太陽翼的廣義剛度矩陣。

將式(14)和式(16)代入第二類拉格朗日方程，整理得到柔性組合體的動力學方程為

(17)

式中：C(Θm,η)為包括離心力和哥氏力在內的非線性力項，D(Θm,η)為組合體初始運動對應的力項，Tm為機械臂關節驅動力矩。

2　角動量轉移優化方法

失穩目標捕獲后，組合體位姿調整與穩定的主要難點在于如何吸收目標衛星的角動量。飛輪作為角動量吸收裝置簡單易行，但容易飽和，所能吸收的角動量有限；推力器噴氣又會對機械臂運動產生干擾，降低機械臂控制精度。因此，本文采用先相對穩定再絕對穩定的控制方案：目標捕獲后，先關閉服務衛星姿軌控系統，通過機械臂關節運動調整兩星相對位姿，消除其相對運動，將目標衛星的角動量轉移至整個組合體；待實現兩星相對穩定后，再重新開啟服務衛星姿軌控系統，消除組合體的旋轉，實現組合體在慣性空間的姿態穩定。

對于具有冗余自由度(n≥7)的空間機械臂，存在多種構型滿足兩星相對穩定后的相對期望位姿要求。因此，可通過優化方法，規劃得到機械臂最優構型，使組合體相對位姿穩定后的角速度最小，便于地面對組合體的跟蹤控制。

(18)

設m0rme為目標衛星質心Ome到服務衛星質心Om0的相對期望位置在Σm0系中的坐標分量，m0Amn為目標衛星到服務衛星的相對期望姿態轉換矩陣，則角動量轉移優化的等式約束可整理為

(19)

式中：m0bm0為bm0在Σm0系中的坐標分量，milmi為lmi在Σmi系中的坐標分量。

(20)

式中：Hpv,Hpω,Hlv,Hlω為Hs的分塊矩陣。令

(21)

可證明If非奇異，則目標函數可取為

(22)

3　基于粒子群算法的抑振軌跡規劃

3.1　關節運動參數化

目標捕獲后，航天器組合體呈兩頭重中間輕的“啞鈴”狀構型，該種構型使得處于連接位置的空間機械臂的基頻顯著降低。同時，服務衛星和目標衛星的太陽翼本身也是基頻很低的大型柔性結構。機械臂運動過程中容易激起自身和太陽翼的柔性振動，對其控制精度產生影響。因此，組合體位姿調整與穩定過程中需考慮抑制相關柔性振動，通過智能優化算法規劃機械臂的最優抑振軌跡。

設組合體位姿調整與穩定過程的起止時刻分別為t0,tf。在起始時刻t0=0，機械臂關節的初始運動狀態為

(23)

在終止時刻tf，由角動量轉移優化可得機械臂關節的最終運動狀態為

(24)

采用七次多項式對關節運動軌跡進行參數化：

θmi(t)=ai7t7+ai6t6+ai5t5+ai4t4+ai3t3+ai2t2+ai1t+ai0

(25)

式中：ai0,ai1,…,ai7為七次多項式系數。將邊界條件式(23)和式(24)代入得

(26)

參數化后的每個關節運動軌跡θmi(t)僅包含兩個待定參數ai6,ai7，則抑振軌跡規劃的優化參數可取為

(27)

3.2　目標函數定義

模態坐標η能夠直觀反映機械臂和太陽翼的柔性振動，因此抑振軌跡規劃的目標函數可定義為

(28)

式中：Q為機械臂和太陽翼的柔性振動能量，右邊第一項為機械臂運動過程中的柔性振動能量，第二項為機械臂運動結束后的殘余振動能量，λ1,λ2分別為各自的權重系數。抑振軌跡規劃問題轉化為求一組最優參數a=[a16a17a26a27…an6an7]，使目標函數Q取最小值，進而得到機械臂的最優抑振軌跡Θm(t)。

3.3　粒子群優化算法求解

粒子群優化算法(Particle Swarm Optimization, PSO)由Kennedy和Eberhart于1995年首次提出[16]，是一種基于群體智能的優化算法，通過一組初始化的群體在搜索空間中并行搜索，具有實現簡單、收斂快、精度高等優點，可用于求解本文的抑振軌跡規劃問題。

粒子群算法具體求解步驟如下：

(1)設粒子種群數量為M，在N維搜索空間中(N=2n)，隨機初始化每個粒子i的位置Xi和速度Vi，其中Xi為

(29)

將Xi代入式(26)和式(25)計算機械臂關節運動軌跡Θm(t)，再代入組合體動力學方程式(17)求解模態坐標η(t)，最后代入式(28)計算目標函數Q。設Pi為粒子i的個體最優位置，其初值為

Pi(0)=Xi(0)

(30)

設Pg為全局最優位置，其初值為

Pg(0)={Pi(0)|Q(Pi)=min{Q(P1),…,Q(PM)}}

(31)

(2)假設第k代的Xi(k),Vi(k),Pi(k),Pg(k)已知，則第k+1代的粒子位置Xi(k+1)和速度Vi(k+1)按下式規劃：

Vi(k+1)=wVi(k)+c1ri1[Pi(k)-Xi(k)]+

c2ri2[Pg(k)-Xi(k)]

(32)

Xi(k+1)=Xi(k)+Vi(k+1)

(33)

式中：w為慣性權重，c1,c2為學習因子，ri1,ri2為[0,1]區間內的隨機數。

(3)更新粒子i的個體最優位置Pi(k+1)：

(34)

(4)更新全局最優位置Pg(k+1)：

(35)

(5)設最大迭代次數為kmax，期望目標函數值為Qd。若k≥kmax或Q(Pg(k))≤Qd，則判定滿足算法終止條件，結束迭代，否則k=k+1，轉步驟(2)。

4　仿真校驗

4.1　工程算例

通過工程算例在MATLAB和ADAMS聯合仿真平臺上進行仿真，校驗本文規劃方法的有效性。服務衛星和目標衛星設定采用成熟型號衛星平臺。機械臂設定為空間7自由度機械臂，整體構型與國際空間站遙控機械臂系統相似，采用傳統DH建模方法描述，如圖2所示，D-H參數如表1所示。組合體動力學參數如表2所示。機械臂臂桿和衛星太陽翼的材料參數如表3所示。

圖2　空間7自由度機械臂D-H坐標系Fig.2　D-H frames of 7-dof space manipulator

臂桿iθmi/(°)αi/(°)ai/mdi/m1θm19001．02θm2-9000．33θm302．70．34θm402．70．35θm59000．36θm6-9000．37θm7001．2

表2　航天器組合體動力學參數Table 2　Dynamic parameters of spacecraft combination

表3　柔性部件材料參數Table 3　Material parameters of flexible components

4.2　仿真結果

圖3　角動量轉移優化目標函數Fig.3　Objective function of angular momentum transfer optimization

采用粒子群算法進行抑振軌跡規劃仿真，目標函數Q隨迭代次數k的變化曲線如圖4所示。

圖4　抑振軌跡規劃目標函數Fig.4　Objective function of vibration suppression trajectory planning

從圖中可以看出，隨著k增加，Q單調遞減。當迭代至k=28時，Q取極小值2.652 kg·m2，且在后續迭代過程中保持不變，因此該值可作為抑振軌跡規劃的最優目標函數值。

仿真得到的空間機械臂關節最優抑振軌跡Θm(t)與常規五次多項式軌跡進行對比，結果如圖5所示。機械臂臂桿3、服務衛星太陽翼1和目標衛星太陽翼1的一階模態坐標ηm3,ηs1,ηt1的對比結果分別如圖6～圖8所示。

圖5　空間機械臂關節角度Fig.5　Joint angles of space manipulator

圖6　空間機械臂臂桿一階模態坐標Fig.6　First modal coordinate of space manipulator link

圖7　服務衛星太陽翼一階模態坐標Fig.7　First modal coordinate of servicing satellite solar array

圖8　目標衛星太陽翼一階模態坐標Fig.8　First modal coordinate of target satellite solar array

從圖中可以看出，當機械臂關節沿最優抑振軌跡運動時，機械臂和太陽翼的殘余振動與五次多項式軌跡相比均大幅減少，振動幅值減少約80%，表明其柔性振動得到有效抑制，從而證明本文提出的抑振軌跡規劃方法是有效可行的。

5　結　論

本文針對失穩目標捕獲后航天器組合體位姿調整與穩定問題，提出了一種角動量轉移與振動抑制復合規劃方法，并通過數值仿真驗證了方法的有效性和適用性。方法具有以下特點：1)有效實現組合體的角動量轉移，并保證組合體相對位姿穩定后的角速度最小；2)顯著降低機械臂和太陽翼等柔性部件的振動，從而提高組合體的相對位姿控制精度。

由于方法的規劃對象為機械臂關節輸出角度，未對關節內部結構進行建模，因此無法抑制關節的柔性振動。關節振動抑制問題可在后續工作柔性機械臂控制系統設計時進一步加以解決。

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