異面壓縮下六邊形鋁蜂窩平均塑性坍塌應力研究

榮吉利，朱宇博，宋乾強，張　濤，吳志培

(1. 北京理工大學宇航學院， 北京 100081；2. 北京宇航系統工程研究所, 北京 100076)

0　引　言

六邊形鋁蜂窩作為吸能材料廣泛應用于航天器。作為一種緩沖器材和防撞結構，鋁蜂窩具有密度小、比剛度高、穩定性好、緩沖吸能性能優越、制造工藝成熟等特點[1]。鋁蜂窩應用在航天著陸器中可吸收著陸沖擊能量[2-5]，在其它許多航天器上也有廣泛應用，比如艙蓋、太陽電池殼體、整流罩等[6]。鋁蜂窩優越的緩沖性能主要歸功于其良好的異面壓縮性能。

如圖1所示，當鋁蜂窩的壓縮方向為z軸方向時，稱為異面壓縮；而當加載方向位于xy平面內時，稱為面內壓縮。

圖1　鋁蜂窩異面示意圖Fig.1　Schematic of honeycomb’s out-of-plane direction

鋁蜂窩在異面壓縮下典型的應力-應變曲線如圖2所示，主要可分為三個階段：彈性變形段、坍塌平臺段以及密實段。在異面壓縮過程中，鋁蜂窩的坍塌平臺段會吸收大部分能量，因此往往是工程關注的重點，此階段的平均應力就稱為鋁蜂窩的平均塑性坍塌應力。本文的研究是圍繞異面壓縮下鋁蜂窩的平均塑性坍塌應力展開。

圖2　異面壓縮下鋁蜂窩典型應力-應變曲線Fig.2　Typical stress-strain curve of honeycombs under out-of-plane compression

Wierzbicki等人[7]于1983年給出了雙壁規則(單個鋁蜂窩的六個面中有兩個面具有雙倍壁厚)，并提出了“超折疊單元理論”。而Gibson等人[8]在此基礎上，通過對鋁蜂窩材料進行一系列的理論與試驗研究后給出了六邊形鋁蜂窩受異面壓縮時平均塑性坍塌應力的半經驗計算公式

(1)

式中：σ0為鋁蜂窩的屈服應力，t為鋁蜂窩壁厚，l為鋁蜂窩邊長。式(1)為鋁蜂窩異面壓縮中平均塑性坍塌應力的經典計算公式，但是與試驗應力值對比，通過該半經驗公式計算所得應力值與試驗應力值之間存在較大偏差(超過15%)。

Chen等人[9]為了將“超折疊單元理論”應用于多胞薄壁結構，將此理論進行了簡化。基于簡化的超折疊單元理論，他們分別對單胞、雙胞和三胞薄壁結構的異面壓縮下的平均塑性坍塌應力進行了求解，并且借助有限元法驗證了理論解的準確性。不過Chen等人并未將此理論應用到六邊形鋁蜂窩上。

Bai等人[10]在Wierzbicki及Chen等人的研究基礎上，通過理論推導給出了一個帶參數的六邊形鋁蜂窩平均塑性坍塌應力計算公式，并通過仿真數據確定了參數值。

為更加準確地研究鋁蜂窩在異面壓縮時的平均塑性坍塌應力，以指導鋁蜂窩吸能裝置的設計，本文基于簡化的超折疊單元理論，研究單個完整鋁蜂窩六邊形單元，根據能量守恒定律，給出了兩個準靜態異面壓縮下鋁蜂窩平均塑性坍塌應力的理論計算公式。

1　鋁蜂窩變形機制

圖3所示為鋁蜂窩在異面壓縮過程中的變形過程。鋁蜂窩在異面壓縮過程中會形成重復性的折疊單元[10]，一個折疊單元長度為2H(稱為折疊波長)，一般以折疊單元為研究對象分析鋁蜂窩的異面壓縮性能。

圖3　鋁蜂窩異面壓縮變形過程Fig.3　Deformation process of honeycombs under out-of-plane compression

Chen等人簡化了“超折疊單元理論”，簡化后在準靜態壓縮過程中，形成一個基本折疊單元外力所做的功，由兩部分組成：1.屈曲能。如圖4(a)所示，由基本折疊單元在壓縮過程中三條鉸鏈線的屈曲能組成；2.膜能。如圖4(b)所示，角線處由于與鋁蜂窩的三個面相連，在壓縮過程中變形復雜且不易描述，將此部分的能量等效成圖中三個變形的三角形單元(即圖4(b)中陰影部分)的膜能。

圖4　簡化的基本折疊單元Fig.4　The simplified basic folding element

2　理論公式推導

以如圖5所示的六邊形鋁蜂窩單元為研究對象，包括4個雙倍壁厚的面和8個單倍壁厚的面。

圖5　單個完整鋁蜂窩單元Fig.5　A full unit of honeycomb

圖5中所示鋁蜂窩總的屈曲能記為Eb，總的膜能記為Em。由于鋁蜂窩的任何一個面均由兩個完整的鋁蜂窩單元共同使用，故在壓縮過程中單個鋁蜂窩吸收的總能量為(Eb+Em)/2。設鋁蜂窩的平均坍塌力為Pm，則在高度為2H的折疊過程中，根據能量守恒定律，有以下關系式成立

(2)

根據文獻[9]，屈曲能Eb可通過下式計算

(3)

式中m為一個折疊波長內單個完整鋁蜂窩單元的鉸鏈線總數，M0為單位長度的塑性極限彎矩，θi為每條鉸鏈線彎曲的角度。令具有單倍壁厚的基本折疊單元的屈曲能為Eb1，具有雙倍壁厚的基本折疊單元的屈曲能為Eb2，則式(3)可等效為

Eb=8Eb1+4Eb2

(4)

從圖6可知鉸鏈線AB、EF在折疊過程中轉動角度為π/2，而鉸鏈線CD轉動角度為π。則單倍壁厚的基本折疊單元的屈曲能Eb1為

(5)

式中M1為單位長度的塑性極限彎矩(壁厚為t)。

同理可得雙倍壁厚的基本折疊單元的屈曲能Eb2為

(6)

式中M2為壁厚為2t條件下的單位長度的塑性極限彎矩。

圖6　基本折疊單元折疊過程Fig.6　The folding process of basic folding element

將式(5)和式(6)代入式(4)可得總屈曲能Eb為

Eb=8M1πl+4M2πl

(7)

膜能Em可通過下式計算[11]

(8)

式中A為總的變形面積，σ0為鋁蜂窩材料的屈服應力。

Em=8Em1+4Em2

(9)

如圖4(b)所示，Chen等人在計算基本折疊單元膜能時，假設圖中陰影部分三角形的角度為45°，而Bai等人[10]指出：由于折疊過程的不確定性，Chen等人對陰影部分面積的描述并不準確，并引入系數γ，用γH2描述陰影部分面積。故可得單倍壁厚的基本折疊單元的膜能Em1為

Em1=σ0t·γH2

(10)

雙倍壁厚的基本折疊單元的膜能Em2為

Em2=σ0·2t·γH2

(11)

將式(10)和式(11)代入式(9)可得總膜能Em為

Em=8σ0tγH2+4σ0·2tγH2=16σ0tγH2

(12)

將式(7)和式(12)代入式(2)可得

(13)

故平均坍塌力Pm為

(14)

采用不同的屈服準則，塑性極限彎矩M1、M2取值不同。目前，對于彈塑性材料，最為廣泛使用的是Tresca屈服準則和Mises屈服準則。

按照Tresca屈服準則，則M1=σ0t2/4,M2=σ0(2t)2/4=σ0t2。式(14)可化簡為

(15)

(16)

將式(16)代入式(15)得

(17)

圖5中鋁蜂窩的面積為

(18)

結合式(17)和式(18)可得Tresca屈服準則下的平均塑性坍塌應力σm2為

(19)

文獻[10]中為確定參數γ，對材料為5052鋁和3003鋁的鋁蜂窩共進行了98種不同工況下的仿真(壁厚范圍從0.04 mm～0.12 mm，邊長范圍從4.04 mm～12.5 mm)，最終確定參數γ等于1.292。在此鋁蜂窩幾何尺寸范圍內，式(19)可改寫為

(20)

(21)

半波長H為

(22)

將式(22)代入式(21)，可求得

(23)

3　試驗驗證

為了驗證本文所推導兩個理論公式的正確性，從文獻[12]中獲取了5052 鋁蜂窩異面壓縮試驗結果。如表1所示，給出了5052 鋁蜂窩試件在異面壓縮下的平均塑性坍塌應力的試驗值，并按照鋁蜂窩壁厚與邊長比值(后簡稱為厚邊比)從小到大進行排列。表中σm1、σm2和σm3分別通過式(1)、式(20)和式(23)計算得出，而σm4=2.686σ0(t/l)3/2+7.946σ0(t/l)2，由Bai等人[10]所推導得出。Bai等人還給出了5052鋁蜂窩的屈服應力σ0為231.8 MPa。為了便于比較與分析，表中還給出理論計算值與試驗應力值之間的誤差，誤差計算公式為：(試驗應力值-σmi)/試驗應力值×100%(i=1,2,3,4)。

從表中可以看出： 由半經驗公式σm1=6.6σ0(t/l)5/3計算得到的應力值與試驗應力值相比較，其誤差范圍為17.00%～37.26%，誤差的平均值為23.55%；Bai等人所推導的應力計算公式σm4=2.686σ0(t/l)3/2+7.946σ0(t/l)2計算得到的應力值與試驗應力值相比較，其誤差范圍為3.12%～22.42%，誤差的平均值為12.7%；基于Tresca屈服準則得到的塑性平均坍塌應力的計算公式σm2=3.798σ0(t/l)3/2計算得到的應力值與試驗應力值相比較，其誤差范圍為-10.66%～18.75%，誤差的平均值為6.01%；而基于Mises屈服準則得到的塑性平均坍塌應力的計算公式計算得到的應力值σm3=4.081σ0(t/l)3/2與試驗應力值相比較，其誤差范圍為-18.90%～12.69%，誤差的平均值為-0.99%。總體來說，本文給出的兩個鋁蜂窩平均塑性坍塌應力計算公式的計算精度均高于Gibson等人所提出的半經驗公式，也高于Bai等人所提出的計算公式。

表1　四種計算應力值與試驗應力值誤差分析Table 1　Error analysis between four calculation results and test stress value

4　厚邊比冪次討論

4.1　厚邊比冪次的由來

Gibson等人[8]所推導的應力計算公式為σm1=6.6σ0(t/l)5/3，而Bai等人[10]所推導的應力計算公式為σm4=2.686σ0(t/l)3/2+7.946σ0(t/l)2，再與本文所推導的公式對比，忽略系數以及σ0，僅考慮厚邊比的冪次，可以發現厚邊比t/l的冪次有2次方、3/2次方和5/3次方三種形式，現分析其由來。

從上述分析可以看出，不管能量通過何種方式計算，能量總和都具有一樣的形式E=∑Ei∝Ml，從量綱分析的角度也可以驗證此式的正確性。所以，式(2)可以寫成

Pm·2H∝Ml

(24)

由于計算應力時鋁蜂窩的面積和邊長的關系為s∝l2，所以可以得到

(25)

至此得到了平均塑性坍塌應力計算公式的通式σm=kσ0t2/(Hl)。其中k為常系數，其余符號同上文。

4.2　厚邊比冪次討論

由于實際的鋁蜂窩材料壁厚與邊長比值t/l一般不超過0.1[13]，圖7給出了厚邊比t/l∈(0,0.1]時四種關于鋁蜂窩平均塑性坍塌應力計算公式的對比曲線圖，從圖中可以看出各公式所計算的坍塌應力隨厚邊比變化的趨勢。

圖7　四種鋁蜂窩塑性平均坍塌應力計算公式的對比Fig.7　Comparison among four types of formulae for mean crushing stresses

根據圖7，對比σm1和σm2，當t/l<0.0363時，σm2>σm1，而當t/l>0.0363,σm1>σm2。分析其原因，不難發現，當t/l<0.0363時，σm1=6.6σ0(t/l)5/3和σm2=3.798σ0(t/l)3/2相比，冪次造成的影響大于系數造成的影響，稱之為冪次占優；而當t/l>0.0363時，系數的影響將超過冪次的影響，稱之為系數占優。σm1與σm3也有相似的情況，只不過臨界值變成了0.0559。

為定量分析不同厚徑比下本文提出的兩種公式與經典算法之間的誤差，繪制了圖8所示的相對誤差對比圖，相對誤差計算方式為|σm1-σmi|/σm1×100%(i=2,3)。需要說明的是，當t/l較小時，σm1<σmi(i=2,3)。

圖8　半經驗公式與提出公式的相對誤差Fig.8　Relative error between semi-empirical formula and presented formulae

從上圖可以看出，當t/l<0.02時公式間的相對誤差超過10%，且厚邊比值越小相對誤差越大；當t/l∈[0.0271,0.0494]時，σm1與σm2的相對誤差不超過5%；而當厚邊比t/l∈[0.0417,0.076]時，σm1與σm3的相對誤差小于5%，因此在此兩區間內，可分別認為σm1與σm2、σm1與σm3等價。隨著厚邊比值的增大，本文提出的兩個理論公式與半經驗公式之間的相對誤差逐漸增大，不過增長較為緩慢。再與上一節的試驗結果對比可知，當t/l<0.02時，半經驗公式計算值小于試驗應力值且誤差較大，而試驗應力值與本文推導公式計算值的誤差卻不大。這也從側面反應了本文推導公式在鋁蜂窩厚邊比較小時比半經驗公式具有更高的精度。

再將本文提出的σm2與Bai等人提出的σm4對比，可以發現，當t/l∈[0.0138,0.0272]時，兩者的誤差在5%以內。而本文提出的基于兩個屈服準則的公式σm2和σm3的誤差恒為6.9%。

將上述分析與第3節的試驗結果相結合，可以總結如下：

(1)當厚邊比t/l∈(0,0.0078]時，σm2與試驗結果誤差最小，從表中讀出平均誤差僅為-1.29%，因此在此區間范圍內，推薦使用σm2來計算鋁蜂窩的平均塑性坍塌應力；

(2)當厚邊比t/l∈(0.0078,0.0139]時，推薦使用σm3，與試驗結果相比，平均誤差為0.045%。

(3)當厚邊比t/l∈(0.0139,0.0277]時，仍然推薦使用σm3，與試驗結果相比，其平均誤差為5.16%。而在此區間內，σm2與σm4之間的誤差很小，與試驗值的誤差在10%左右，在計算鋁蜂窩的平均塑性坍塌應力時若對精度要求不高亦可采用此兩個公式。

(4)試驗時最大的厚邊比值為0.0277，所以超過此值的理論計算值沒有試驗應力值與之相對應，無法評估各公式計算值與試驗應力值間的誤差。

5　結　論

本文基于簡化的超折疊單元理論，研究了六邊形鋁蜂窩在異面壓縮下的平均塑性坍塌應力，提出了兩種計算鋁蜂窩平均塑性坍塌應力公式，通過與經典算法以及試驗對比分析，得出了如下結論：

(1)鋁蜂窩在異面壓縮下的平均塑性坍塌應力與鋁蜂窩的屈服應力σ0和鋁蜂窩的厚邊比t/l有關；相較于前人提出的理論計算公式，本文提出的兩個理論公式都具有更高的計算精度。

(2)針對不同文獻中鋁蜂窩坍塌應力計算公式里厚邊比t/l冪次的不同，文章分析了造成冪次不同的原因，總結出了平均塑性坍塌應力計算公式的通式：σm=kσ0t2/(Hl)。

(3)通過將理論公式計算出的應力值與實際試驗應力值進行對比分析，給出了在不同厚邊比區間內采用不同計算公式的建議。

本文所提方法可對鋁蜂窩的異面壓縮性能研究提供一定的工程借鑒可以為鋁蜂窩吸能裝置的設計提供指導。

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