掠葉片進口流動的流線曲率通流模型

昌皓，金東海，桂幸民

1. 中國航發沈陽發動機研究所，沈陽 110015 2. 北京航空航天大學 能源與動力工程學院，北京 100083

自飛機開始采用后掠翼以降低超跨聲飛行阻力之后，航空發動機葉輪機領域也開始了相關的研究[1-3]，其設計思想來源于后掠翼降低了激波的波前方向馬赫數(Ma)，減弱了激波的強度，典型代表就是美國NASA Lewis研究中心的單級跨聲風扇QF-12[4-6]，和Pratt & Whitney公司在美國海軍支持的“海軍先進風扇部件技術”項目中所設計的高壓比小展弦比單級跨聲風扇[7]，其設計思想均是保證前緣法向相對Ma處于亞臨界狀態，在葉片通道內部不產生激波以降低總壓損失，但是均以失敗告終。

20世紀70年代后期，隨著三維數值模擬技術和壓氣機內部流場測試技術的進步，對跨聲風扇內部激波結構有了更清晰的認識后，在葉片設計中對掠形的應用才取得了積極的進展。Hah等在HTFC計劃支持下，將掠葉片技術與小展弦比技術相結合，完成了一系列的掠葉片跨聲轉子設計與實驗研究[8-12]，成功地運用葉片的掠形控制葉片通道內部的三維激波結構。此后，對掠葉片的研究和工程應用不斷地開展起來。1992年，GE公司的一項前掠轉子葉片的專利獲得批準，目的是減少邊界層低能流體在尖部的堆積，減弱激波-邊界層干涉降低損失，提高尖部的性能[13]。Wadia等[14]將前掠轉子應用于多級風扇中，通過實驗研究證明前掠轉子的結構能夠改善壓氣機對進口畸變的敏感性，改善效果在尖部和根部區域都得到了體現。Denton和Xu[15]利用數值模擬手段，比較了跨聲風扇中傳統設計的直葉片與使用了掠、傾等三維造型的葉片的性能，結果表明跨聲風扇掠葉片對壓比與效率的影響不大。德國MTU公司與Darmstadt大學合作設計了3個跨聲壓氣機轉子，分別是徑向積疊轉子(Rotor 1)、后掠轉子(Rotor 2)和前掠轉子(Rotor 3)，并對其開展了實驗測試和數值模擬對比研究，發現前掠能夠使氣流向尖部區域遷移，有助于尖部的流動穩定性，同時前掠能夠使激波傾斜，降低葉尖前緣的負荷從而減弱轉子葉尖間隙泄漏渦的強度，改善了轉子的失速裕度[16-19]。在NASA資助的“安靜高速風扇(QHSF)”項目支持下，Honeywell公司開展了一系列掠葉片風扇的研究[20]。此外，還有眾多利用數值模擬手段對掠葉片的研究工作[21-22]。

對于掠葉片對流動的作用機理，也從不同的物理流動視角開展了廣泛的研究，不同的作用機理大致可以分為以下4類：

1) 對三維激波結構的控制，是掠從外流被引入到內流的直接動機，以Hah等[12]提出的物理模型為代表。

2) 對端壁黏性二次流及負荷的影響。有很多對掠葉片研究的文獻都集中于此類，比較有代表性的如Yamaguchi等[23]提出的前掠減小葉尖低能流體堆積，Gummer等[24]提出的基于渦動力學的掠葉片作用模型，Denton和Xu[25]從近端壁葉片負荷分布改變的角度闡述了葉片掠的影響等。此外，Lewis和Hill[4]最早提出了基于無限展長掠葉柵的誘導葉片邊界層二次流的物理解釋，發展了無限展高和有限展高的掠葉柵計算的數學模型。

3) 對徑向遷移的影響，以壓力平衡為特征的主流區流動影響，這部分流動主要以無黏流動特征為主，主流的遷移代表著一種能量的遷移過程。早在1963年，Smith和Yeh[1]就利用軸對稱的通流計算方法對軸流壓氣機中的掠葉片進行了研究，其結果顯示對于后掠葉片，子午面流線的流動特征是：進入葉片通道后有向下遷移的趨勢，而到了葉片的中后部，其遷移的趨勢則與進口和葉片前部相反，開始微弱地向上遷移流動。Govardhan和Ramakrishna等[26-29]研究了掠對徑向遷移流動的影響，此外，Vad[30]、Passrucker[18]、McNulty[31]、Li[32]等在各自的研究中都對氣流在掠葉片進口或通道中的徑向遷移現象進行了描述或研究，可總結為前掠葉片在進口誘導氣流向葉尖遷移，而在葉片內部向葉根遷移。

4) 對葉片進口攻角的影響。前文描述了掠對徑向遷移流動產生的影響，在葉片的進口截面，這種遷移所產生的原因就是徑向平衡發生了改變，葉片進口徑向壓力梯度和軸向速度的改變直接導致了葉片攻角和展向負荷分布的變化。早期的研究中較少有直接針對這一現象的論述，但可從他們公開發表的結果中發現攻角改變的現象，如Hah[12]和McNulty[31]等的文獻。2007年，Vad等[33]明確指出葉片掠會對進口流場的展向分布產生影響，改變進口的軸向速度分布，由速度三角形決定了攻角的改變，進而影響葉片的增壓和損失特性。Ramakrishna和Govardhan[28-29]在對低速軸流壓氣機的研究中，分析了由葉片軸向前掠和弦向前掠所導致的攻角變化，前掠的效應會使葉片葉尖攻角減小，而后掠使攻角增加。Ilikan和AyDer[34]對軸流亞聲風扇的實驗研究也表明，葉片掠改變了進口處的軸向速度分布，其影響了展向的攻角大小。

可見，過去對掠葉片作用機理的研究眾多，其對機理的解釋也能夠自圓其說，但是多數學者仍把掠作為個性化的設計參數來對待，對掠的應用較大地依賴于設計者的經驗。

葉片掠作為一項設計技術，從機翼被引入到風扇/壓氣機的設計中，其作用機理不僅歸因于對三維激波結構的控制。葉片掠對徑向平衡特別是葉片進口的徑向平衡的改變，對葉型的攻角狀態、負荷和損失都會有明顯影響。而這種徑向平衡改變的現象雖然已被認識到，但是對影響機理的認識依然不夠深入。

在風扇/壓氣機的氣動設計過程中，攻角是一個非常重要的參數，對葉片的氣動性能有重要的影響。如前所述，葉片的掠會改變進口的攻角狀態，但是關于掠對葉片進口攻角的改變作用，目前涉及這方面的大多文獻都只描述了這一物理現象，而沒有討論攻角改變的流動機理，只有定性的描述而沒有定量的數學物理模型，主要用于葉片設計的流線曲率法也無法計算出掠葉片的攻角變化。在筆者前期的研究工作中[35-37]，定量比較了不同掠角對攻角、周向不均勻性的影響，發現掠對葉片進口流場的影響機理即為改變了流動的徑向壓力平衡，從而誘發了攻角的改變和徑向遷移流動的產生。

本文將建立適用于S2流面流線曲率法的葉片掠誘導攻角變化的數學物理模型，把葉片掠對進口徑向平衡的影響計入到風扇壓氣機的氣動設計過程中。進口徑向平衡改變的具體表象是葉片的攻角發生改變，本文的進口流動模型其優勢在于可以對掠葉片的攻角進行修正，在設計過程中提高對攻角的計算精度，減少對設計經驗的依賴。同時，本文從定量的角度進一步印證了葉片掠對攻角改變的作用機理。

1 流線曲率法基本方程

S2流面的徑向、軸向及周向動量方程分別為

(1)

(2)

(3)

式中：

(4)

式中：ρ為密度；v為絕對速度；w為相對速度；p為靜壓；r為徑向坐標；x為軸向坐標；φ為周向坐標；m為子午流向坐標；σ為子午流線與軸向的夾角；F為葉片力；下標r、x、u、m分別為徑向、軸向、周向和子午流向；γ、λ分別為徑向流面角和軸向流面角。

經過推導[38]，可得到Wennerstrom方法的流線曲率法常微分控制方程為

(5)

式中：η為計算站切向；θ為計算站與軸向夾角；ε為周向傾角；h為轉焓；T為靜溫；s為熵；β為氣流角。具體推導過程和角度定義可參考文獻[37]。

2 掠葉片的數學物理模型

2.1 葉片前緣流動物理圖畫

在當前所使用的所有S2m流線曲率法或周向平均正問題分析方法中，幾乎無一例外地采用了葉片進口周向流動均勻的假設。對于傳統三維幾何特征不強的葉片，這種假設可認為是合理的；但當葉片有了較強的掠或傾等三維特征后，進口的徑向平衡就會受到較大的影響，這時采用葉片進口周向流動均勻假設就不能正確模擬出進口展向流動參數的變化，從而不能正確反映出對壓氣機性能有重要影響的攻角特性。葉片進口的主流流動其黏性剪切作用較弱，基本上是無黏流的流動特征，再加上三維流動的復雜性，所以本文利用降維思想和無黏的動量方程作為建模分析手段，所得到的數學物理模型能夠與傳統的S2m流線曲率通流設計方法相結合，在設計階段即可定量地反映出掠對進口流場的影響。

由于葉輪機葉片的空間周期性排列特點，在S2m降維方法中通常認為所謂的“中心流面”上的流動參數數值代表了φ方向的平均值。此處的“平均”并不是嚴格的概念，而是隨著“中心流面”定義方式的不同而可能衍生出多種理解，例如在設計問題中將中心流面視為幾何的中分面，這時的“平均”既不是“通道平均”，也不是“密度平均”。

當前在各類準三維方法中，通常采用進口周向均勻流動假設，以轉子葉片為例，通常在葉片區采用相對坐標系，而在葉片前緣以外的區域采用絕對坐標系，其中心流面如圖1所示，在前緣前為一平面。但是，氣流在流入葉片槽道前就已經受到了擾動，相對坐標系如圖2所示，在二維基元流動條件下，圖中A點和B點均為葉片的前緣點，AB連線即為葉柵基元的前緣線。F′為中心流面上一點，同時也處于前緣線上。如果參照葉片內部PS截面的處理方式，即中心流面上點M為PS的中點，M點的周向偏導數近似等于PS兩點參數值之差除以PS兩點距離。認為F′點上的氣動參數為前緣線AB上的平均值，但是由于A、B兩點的周期性氣動參數數值相同，在實際操作中F′點上的周向偏導數無法準確計算得出，其數值將被計算為零，顯然這與實際物理流動圖畫是相悖的。圖中線段A0A與B0B均為相對坐標系下的氣流方向，AB連線視為周向，CD連線與氣流方向垂直，視為流動法向。

圖3以某一直葉柵為例，給出了葉中截面前緣壓力沿周向和流動法向分布的數值模擬結果，縱坐標對距離做了無量綱處理。從圖中可見，葉柵前緣周向(即AB)上的分布并不單調，而流動法向(即CD)上的分布是單調的。顯然認為中心流面上的點F′代表AB連線上的平均值是不恰當的，而代表CD連線上的平均值是更為合理的，因為若連線上的氣動參數是線性分布的，用其幾何中點上的參數值代表平均值才是相對準確的，顯然CD連線上的氣動參數分布相對更接近線性,而AB連線上的分布與線性分布相差甚多。S2流線曲率法傳統上對葉片前緣的處理并沒有考慮到這些因素，導致葉片前緣附近的葉片力不能夠被正確地計算。本文的物理模型建立在這樣的基礎之上：前緣附近的中心流面所代表的是流動法向的平均。

事實上，當氣流從遠前方流向葉柵時，氣流會逐漸受到葉柵的影響而產生擾動，只是當距離足夠遠時這種擾動可被忽略，但是當靠近葉柵如在EF′段時，氣流已經開始受到葉片吸力面的擾動而發生偏轉。但是傳統上通用的流線曲率法仍將此段氣流當作未受擾動來處理的，當葉片不再徑向積疊而產生掠彎等三維幾何特征時，周向壓力梯度對徑向平衡的影響變得顯著，忽略這種影響將產生較大的誤差。在E點上游，不引入S1流面計算的前提下，難以計入氣流的周向不均勻性，且該段受到的葉片擾動已經很小，故本文假定E點上游的流動未受到葉片的擾動，為周向均勻的流動，所建立的模型為EF′段之間的進口流動模型，在F′點下游仍按原有的方式處理。

2.2 建模過程

建立如圖4所示的s′-n′二維曲線坐標系，s′代表流向坐標，n′代表法向坐標，氣流角β定義為流線與軸向的夾角，線段B0B和A0A與葉片進口幾何構造角(金屬角)的方向重合。在流動曲線坐標系上，無黏動量方程可寫為

(6)

(7)

在已知中心流面上速度的大小和方向后，可由式(6)和式(7)求出壓力梯度，但是在不進行S1流面求解的前提下，中心流面是未知的，因此本文采用了一些假設與近似。首先，在S1流面上忽略徑向流動的影響，即從基元流動的角度出發，認為流動是純二維的；其次，需要假設出S1流面上中心流面亦即中心流線的形狀，這里依舊將中心流線假設為邊界的中分線，在0°攻角下即認為圖4中EF′為兩側邊界的幾何中分線，具體處理中認為F′點為氣流法線CD與葉片前緣額線的交點，E點為前緣點B的氣流法線與中心流線的交點；第三，采用一維的連續方程計算中心流線上的速度大小，如對于0°攻角的設計問題，遠前方來流速度是已知的，中心流線上任意一點上的速度可由式(8)求出

(8)

(9)

式(9)即為本文發展的進口流動模型。將式(9)代入式(5)即完成了該模型與原通流程序的耦合迭代求解。在設計問題計算過程中，S2流線曲率計算與葉片造型過程迭代進行。首先按照傳統方法計算S2流場并以此進行葉片造型，利用葉型數據依據本文模型計算式(9)左邊項；然后，將該項代入流線曲率法的主控方程再次進行S2流場計算并造型，使用模型計算出式(9)右邊項；重復進行上述過程，進口模型所需的每一個截面的葉型幾何數據均來自迭代過程中的葉片造型結果。當前后兩個迭代步的葉片造型結果關鍵葉型參數不變時，認為迭代過程收斂。

由于在模型建立的過程中假設了中心流面的形狀，所以該假設的準確性便成為模型準確與否的重要因素。另外，也是由于中心流面的假設方式，使得該模型能夠計入葉片前緣附近吸力面型面的影響，因此也能夠計入諸如葉型彎角、葉片弦向負荷分布、稠度、葉型最大厚度及其位置等設計參數的影響。應該說，本文的這一葉片進口流動模型還是在吳仲華先生兩族流面理論的框架下建立的，雖然沒有進行真正的S1流面求解，但是在一系列假設和近似的條件下，在S1流面上進行葉片進口區域周向受力大小的計算，并與S2流面的計算相互迭代，最終迭代收斂獲得準三維流場。

本文所建立的模型是二維的，模化得出周向方向上的受力，通過角度關系轉化為葉展方向上的受力問題，這其中周向傾角ε發揮了實質性的作用。該模型本質上是葉片力向葉片前緣前的延伸，過去的處理方法中，葉片進口的周向均勻流動假設無法在葉片前緣以前計入葉片力的影響。當葉片徑向積疊時，徑向流面角和周向傾角均為0°，而一旦葉片的積疊軸不再與徑向線重合時，徑向流面角或周向傾角便不再為0°，由于安裝角的存在，葉片掠使葉片的幾何特征發生了變化，而這正是掠改變葉片進口流場徑向平衡的原因：進口的周向壓力分布被改變，這種受力變化通過流面角或周向傾角影響到徑向的壓力分布。

3 算例驗證

本節將在亞聲轉子葉片的通流設計中應用本文建立的進口流動模型，與原有設計方法進行對比，細致分析設計問題中葉片掠對進口流動的影響機理。

3.1 設計參數

圖5給出了通流設計計算的計算站布置圖，在前緣前模型作用的區域設置了2站(圖中紅色所示)，包含前緣站在內共有3站施加進口流動模型。施加進口流動模型的計算站只需保證處于圖4中EF′段之間即可，這樣在前緣計算站就能夠較準確地計算出式(9)左側項的數值。葉片內部除去前緣尾緣一般設4個計算站。流道為等內徑、等外徑的形式，前緣線在子午面的投影為直線，這些做法的目的都是為了不使問題過于復雜，著重考察比較添加模型前后的不同。

轉子的扭向規律為等環量設計，設計增壓比為1.08，絕熱效率給定為0.90，設計流量為4.606 kg/s。選取0%、25%、50%、75%和100%共5個關鍵截面，在葉片內部每個展向截面給定相同的功分布規律，流道的堵塞系數均設為0。

表1列出了其余的通流設計參數，共采用3種通流計算模型：①無葉片力模型、無進口流動模型，算例縮略為ORI(ORIGIN)；②有葉片力模型、無進口流動模型，算例縮略為BLD(Blade Force)；③有葉片力模型、有進口流動模型，算例縮略為MDL(Model)。

表1 其余設計參數Table 1 Rest design parameters

3.2 通流計算結果

確保采用不同模型的算例都使用相同的參數，各自運行通流程序迭代收斂并采用相同的造型參數生成葉片，其中葉片攻角給定為0°。由于模型的差異，利用不同模型得到的葉片造型結果也存在差異。

圖6所示為流線曲率通流計算得到的子午流線及子午速度云圖,R為徑向坐標，X為軸向坐標。對比ORI與BLD算例可見，由于加入了葉片力，BLD算例中氣流進入到葉片通道后受到向上的力作用而使流動向上偏折，但是前緣處的流線卻向下偏折以至于流線發生了不光順現象。而加入了進口模型的MDL在前緣前流線就已向上偏折、產生了向上遷移的趨勢，從而流線變得光順，同時也更符合流動的物理本質。

3.3 與CFD結果的對比驗證

對3個S2m通流算例得到的轉子葉片進行三維CFD數值模擬，選擇Numeca FINE/Turbo商用軟件，計算得到特性曲線，選擇設計點進行對比分析。

圖7所示為3個轉子的平均攻角的展向分布對比，展向選取了5個關鍵截面作為代表，每根線代表一個出口反壓下的數據，圖例中算例縮略名稱后的數字代表出口反壓數值。在設計狀態下每個截面所給定的攻角大小均為0°，ORI和BLD算例在0°攻角附近根尖的攻角差異在3°～4°左右，說明通流計算并不十分準確；而對于MDL算例來說，加入了進口模型后0°攻角附近的展向分布接近一根直線，說明從根至尖攻角分布均勻，與設計輸入的參數十分吻合，從攻角預測這方面也驗證了本文所發展的模型在S2m流線曲率法中有著良好的準確性。以上著重于0°攻角即設計狀態，對于非設計狀態而言，采用進口模型后的根尖攻角分布也較為一致，遠遠好于原來的算法。由于根尖的相對進口Ma的不同，在工作流量范圍內葉根和葉尖的攻角變化范圍必然是不同的，所以高反壓下葉根和葉尖的攻角不同也是無法絕對避免的。

圖8～圖10分別給出了葉片進口軸向速度、徑向速度和靜壓的對比，所有數據取自近設計點，90%以上及10%以下展高由于邊界層的影響而被略去。因為3個轉子葉片葉型略有差異，所以其進口流場也存在不同但差異較小，因此為了顯示不過于凌亂并沒有將所有算例在同一張圖中展現。從圖中可見，ORI即原始的沒有計入葉片力的算法，其軸向速度和靜壓的趨勢甚至與CFD的結果相反；而僅計入葉片力的算法BLD雖然情況較ORI有所改善，但仍與CFD結果有較大差別；而加入了進口模型后，其軸向速度的分布趨勢與CFD結果幾乎一致，只是在數值上稍有偏差，靜壓的分布與CFD結果也近乎一致。值得說明的是，軸向速度分布上的偏差并不足為慮，因為當三維數值模擬的狀態點改變時，軸向速度的數值會發生平移，并且通流設計時給定的經驗參數如流道堵塞系數也會改變軸向速度的大小使其發生平移，說明三維數值模擬結果所取的狀態點并不是精確的設計點或者通過設計輸入的堵塞系數的調整可使通流線曲率流計算結果更為精確。在徑向速度分布上，BLD與MDL的結果比較相近，也都與CFD結果有一定差別，筆者認為這與CFD計算結果受邊界層影響有關，造成結果不能精確吻合。

圖11給出了dwm/dη的展向分布對比，dwm/dη反映了葉片進口的展向受力情況，能夠最直接地體現葉片掠對進口展向平衡的影響。從圖中可見，MDL的通流結果與CFD結果相近，比BLD有了大幅改善，其直接影響了進口軸向速度、靜壓等參數的通流計算準確度。

這些對比結果從另一個方面證明了本文發展的進口流動模型能夠較精確地在流線曲率通流計算中反映出葉片進口流動特征，也證明了本文所采取了一系列簡化和假設是合理的、可用的。

4 結 論

1) S2中心流面流線曲率法應用本文發展的掠葉片進口流動的數學物理模型，在設計問題中能夠較為準確地預測由葉片掠所誘導的進口展向壓力平衡的變化和由此帶來的進口壓力、子午速度、進口氣流角的變化以及進口的流體徑向遷移特征，相比原有的計算方法在計算精度上有本質的提升，提高了掠葉片攻角的設計精度即提高了對攻角預測的精度，表明了本文模型對掠葉片攻角預測的修正是合理有效的。

2) 在該掠葉片進口流動模型的建立過程中借鑒了S1/S2流面迭代的思想，并根據設計問題的特點作出了一些簡化和假設。對亞聲掠轉子葉片的設計應用，表明了這些簡化和假設的合理性。

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