鋼管混凝土拱橋穩定極限承載力的線彈性迭代方法

解威威，葉志權，楊綠峰

(1.廣西大學 土木建筑工程學院，廣西 南寧　530004；2.廣西大學 教育部工程防災與結構安全重點實驗室，廣西 南寧　530004)

鋼管混凝土拱橋具有造型美觀、承載力高、跨越能力強等優點。2001年我國建成首座鐵路鋼管混凝土拱橋——水柏鐵路北盤江大橋[1]，此后鋼管混凝土拱橋在鐵路橋的建設中得到了越來越廣泛的應用。鋼管混凝土拱橋的穩定承載力是橋梁設計中重點關注的問題。

拱橋穩定承載力的研究方法主要分為三類：試驗法、解析法和數值法。

試驗法能夠真實地模擬拱橋的受力狀態，從而獲取拱橋的荷載位移曲線與失穩模態，其結果常作為檢驗其余方法準確性的基準。陳寶春[2]以實橋為原型，探討了鋼管混凝土拱肋分別在單點加載和兩點非對稱加載情況下的穩定極限承載力，并分析了拱肋在不同荷載條件下的失穩模態。Liu等[3]研究了矢跨比對拋物線鋼管混凝土拱肋極限承載力的影響規律，且分析了不同矢跨比下拱肋的破壞模式。但試驗法模擬的工況有限，且需要消耗大量的人力和物力。

解析法旨在建立拱橋穩定承載力的設計公式，常將拱肋等效為純壓柱或是壓彎柱，進而結合鋼管混凝土柱的承載力相關方程驗算拱肋的穩定性是否滿足要求。由于鋼管混凝土拱軸線常為圓弧、拋物線或懸鏈線，與直柱的幾何形狀和受力狀態有較大差異[3]，因此拱肋穩定系數顯著區別于柱的穩定系數。為此，韋建剛等[4]根據初始幾何缺陷和矢跨比的影響建立了拱肋穩定系數的計算公式，并結合鋼管混凝土穩定承載力相關方程建立了鋼管混凝土壓彎拱非線性臨界荷載的等效梁柱法。同時，GB 50923—2013《鋼管混凝土拱橋技術規范》(簡稱鋼管混凝土拱橋規范)針對鋼管混凝土拱肋給出了穩定系數的計算公式，Wu等[5]通過引入矢跨比的影響對拱橋規范穩定系數公式進行了修正?？傮w來說，解析法原理清晰，使用方便，但難以應用于復雜工程結構。

數值分析方法能夠有效克服模型試驗和解析法在適用性方面的缺陷。目前，鋼管混凝土拱橋穩定極限承載力分析的常用數值分析模型包括雙材料模型[2-3,5-7]和單一組合材料模型[2]兩類，其中雙材料模型利用鋼管單元和混凝土單元能夠準確分析2種材料不同的本構關系及非線性力學性能，物理意義明確，但需要引入2種材料之間的協調變形條件，理論復雜，且離散自由度較高，計算效率低。而單一組合材料模型基于鋼管混凝土統一理論[8]和鋼管混凝土組合材料本構關系，采用單一組合材料梁單元分析鋼管混凝土結構的極限承載力，能夠一定程度上提高計算效率。然而，無論單一組合材料模型還是雙材料模型都需要依托增量非線性有限元法分析鋼管混凝土結構極限承載力。由于增量非線性有限元法屬于非線性迭代分析方法，對離散網格、單元類型、收斂容差和迭代算法的選擇較為敏感，導致迭代收斂速度慢、計算結果有時不穩定，計算效率和精度較低，難以應用于工程實踐。

為了克服增量非線性有限元法的缺陷，國內外發展了多種基于塑性極限理論的彈性模量調整法，包括mα-Tangent[9]、彈性補償法[10]和彈性模量縮減法[11-12]等。該類方法通過調整彈性模量實現結構內力重分布，并利用線彈性迭代分析獲得結構的極限承載力，從而避免了增量非線性有限元法依賴于非線性分析導致的缺陷，能夠取得較高的計算效率和精度。為使用大尺寸單元模型，Hamilton和Boyle[13]，Yang等[11-12]先后將廣義屈服函數引入彈性模量調整法中，降低了離散未知量。但是，現行廣義屈服函數大多為非齊次函數，不滿足彈性模量調整法分析要求的比例條件，導致彈性模量調整法計算結果不穩定，精度受損。為此，Yang等[12]針對廣義屈服函數進行齊次化處理，建立齊次廣義屈服函數，克服了廣義屈服函數的缺陷。然而，現行的齊次化策略[12]只針對含無量綱內力項的廣義屈服函數，當考慮鋼管混凝土拱橋穩定因素影響時，由于廣義屈服函數與拱肋幾何參數和材料參數相關，從而給齊次化處理帶來困難。

為此，本文研究建立新的廣義屈服函數齊次化策略，用于具有不同幾何和材料特性的鋼管混凝土拱橋穩定性分析，并結合彈性模量縮減法研究建立鋼管混凝土拱橋穩定極限承載力分析的線彈性迭代方法。

1　鋼管混凝土構件齊次廣義屈服函數

1.1　壓彎穩定承載力相關方程

對于圖1所示的圓形鋼管混凝土構件，文獻[8]基于統一理論建立了構件截面的壓彎穩定承載力相關方程。

(1)

其中，

Npx=AscfscyMpy=γmWscfscy

圖1　截面內力示意圖

度；Es為鋼材彈性模量；ri為鋼管內半徑。

需要特別注意長細比λ表達式中的l0，對于受壓桿件l0取其有效長度，對于鋼管混凝土拱橋取l0=μslg，其中μs為等效計算長度系數，按鋼管混凝土拱橋規范取為0.36，lg為鋼管混凝土拱軸線長度。

1.2　拱橋穩定系數φ

文獻[8]給出了式(1)用于鋼管混凝土柱穩定承載力分析時穩定系數φ的取值，但是當式(1)用于鋼管混凝土拱肋穩定承載力分析時，參數φ應按照鋼管混凝土拱穩定系數取值。韋建剛等[4]根據矢跨比和初始缺陷影響定義鋼管混凝土拱的穩定系數為

φ=K1K2

(2)

式中：K1和K2分別為鋼管混凝土拱橋的矢跨比影響系數和初始幾何缺陷影響系數。

(3)

(4)

其中，

鋼管混凝土拱橋規范另外給出的穩定系數φ的計算公式為

(5)

其中，

式中：λn為相對長細比。

Wu等[5]引入矢跨比的影響，對式(5)進行了修正，為

(6)

1.3　廣義屈服函數

廣義屈服準則是判斷鋼管混凝土構件進入全截面塑性屈服的重要依據，也是開展鋼管混凝土拱橋極限承載力分析的基礎，結合式(1)可建立鋼管混凝土構件的廣義屈服準則

f(nx,my)=1

(7)

其中，

式中：nx和my分別為軸力和彎矩的無量綱內力。

結合式(1)、式(7)可得鋼管混凝土壓彎構件穩定廣義屈服函數為

f(nx,my)=

(8)

其中，

由于穩定系數φ的取值范圍為(0,1)且有φNpx

1.4　廣義屈服函數齊次化

由式(8)可以看出，壓彎內力組合作用下的廣義屈服函數是分段非齊次的，不滿足結構極限分析的比例條件[12]，將導致彈性模量調整法計算結果受荷載初值影響，出現計算精度受損等問題，因此有必要對廣義屈服函數進行齊次化處理。然而，式(8)定義的鋼管混凝土壓彎構件的廣義屈服函數中不僅含有無量綱內力，而且含有物理量aE，與穩定系數、長細比和材料強度等有關，因而廣義屈服函數將隨著鋼管混凝土構件幾何參數和材料參數的變化而發生改變。如果采用傳統的齊次化方法，需要對具有不同幾何參數和材料參數的圓形鋼管混凝土構件的廣義屈服函數重復進行齊次化處理，無法得到具有廣泛適用性的齊次廣義屈服函數。

為此，這里將aE作為參變量，將原有二維齊次化擬合擴展至三維。由此建立齊次廣義屈服函數為

(9)

其中，

(10)

取極小值，即可分析確定齊次廣義屈服函數的待定系數。據此可定義殘差均方差δ為

(11)

表1　均方差

(12)

其中，

式中：c1—c5為系數。

圖2　aE=0.5時壓彎廣義屈服函數及其齊次化

1.5　齊次廣義屈服函數的準確性驗證

圖3　計算值Nuc和試驗值Nut的比較

2　鋼管混凝土拱橋穩定極限承載力

利用單一組合材料線彈性梁單元(ANSYS單元庫中的BEAM189單元)建立鋼管混凝土拱橋穩定極限承載力分析的數值模型，進而利用彈性模量縮減法計算鋼管混凝土拱橋結構極限承載力。

彈性模量縮減法能夠通過有策略地縮減鋼管混凝土拱橋中高承載單元的彈性模量，模擬鋼管混凝土拱橋在加載過程中的剛度損傷，并利用線彈性迭代分析計算鋼管混凝土拱橋的穩定承載力。對于承受n個荷載P1,P2， …,Pn作用的鋼管混凝土拱橋結構，可用向量P表示荷載為

P=P0αi=P0[α1,α2，…,αn]T

(13)

式中：P0和αi分別為荷載基準值和荷載乘子。

(14)

式中：k為迭代步；e為單元編號。

(15)

其中，

式中：rkmax為結構中最大單元承載比；rkmin為結構中最小單元承載比；dk為承載比均勻度；NM為網格劃分單元總數。

(16)

(17)

重復以上計算過程，直到兩相鄰迭代步的極限承載力滿足以下收斂準則。

(18)

式中：ε為收斂容差，作為收斂的判據，通常取值為0.001～0.01，本文取0.001。

如果第M次迭代滿足式(18)的收斂準則時，則該結構的極限承載力PL為

(19)

彈性模量縮減法從建模到迭代分析，只涉及到鋼管混凝土合成本構關系中的線彈性段，而且整個計算過程屬于線彈性迭代分析，不涉及材料非線性行為，從而保證了迭代計算過程的穩定性和高效率。同時，由于鋼管混凝土構件承載力相關方程建立在試驗研究基礎上，能夠真實反映鋼管混凝土構件受力變形特性，因此通過單元承載比建立的鋼管混凝土拱極限承載力分析格式能夠合理體現鋼—混凝土協調變形模式。

3　算例分析及驗證

3.1　拱頂和四分點加載拋物線鋼管混凝土深拱

文獻[2]給出了2個拋物線鋼管混凝土模型拱，拱軸線方程均為y=x2/3.45，跨度為4.6 m，矢跨比為0.33，在兩模型拱的拱頂和四分點分別作用集中力，如圖4所示。鋼管混凝土外直徑D=76 mm，鋼管厚度t=3.792 mm，鋼材屈服強度fy=307.67 MPa，彈性模量Es=206GPa；混凝土立方體抗壓強度fcu=36.8 MPa，彈性模量Ec=31 GPa。

圖4　拋物線深拱計算模型

首先，分析有限元網格劃分單元總數NM對彈性模量縮減法計算結果的影響。以拱橋規范給出的穩定系數為例，極限承載力結果見表2。

表2　劃分不同網格下彈性模量縮減法的極限承載力結果　kN

由表2可知，對于拱頂和四分點加載2種不同的荷載工況，將鋼管混凝土模型拱離散為16個單元時，均可以得到穩定收斂的計算結果。

其次，分析不同的穩定系數表達式對穩定極限承載力結果的影響，見表3。

表3　穩定系數對極限承載力計算結果的影響　kN

由表3可知，對于單點加載矢跨比為0.33的深拱而言，不同公式定義的穩定系數的計算結果差別不大，與試驗值相比誤差均不超過5%，其中式(5)的計算精度最高，最大誤差僅為1.1%。

進一步地，結合式(5)的穩定系數表達式，分析廣義屈服函數與齊次廣義屈服函數對彈性模量縮減法計算結果的影響，如圖5所示，圖中GYF和HGYF分別代表廣義屈服函數和齊次廣義屈服函數。從圖5中可知，采用廣義屈服函數時，拱橋穩定極限承載力計算結果隨荷載基準值P0的改變而發生明顯變化，嚴重影響到計算精度和結果的穩定性。而當采用齊次廣義屈服函數分析時，彈性模量縮減法計算結果穩定，不受荷載基準值的影響，且具有較高的計算精度。

圖5　極限承載力迭代過程圖

將本文方法獲得的計算結果與增量非線性有限元法進行對比，見表4。其中文獻[6]和文獻[7]采用纖維單元建立計算模型；文獻[2]給出了2種模型，其一是利用雙材料梁單元(即鋼管梁單元和混凝土梁單元)建立計算模型(見表4中的文獻[2]-1)，其二是利用單一組合材料梁單元建立計算模型(見表4中的文獻[2]-2)。從表4可以看出：采用不同的單元模型對增量非線性有限元法的計算結果有較大影響：單一組合材料梁單元計算結果的最大誤差達到18.6%，雙材料梁單元的計算結果的最大誤差也達到10%；纖維單元計算結果的最大誤差為6.7%，而且采用纖維單元時增量非線性有限元法計算模型的離散未知量非常大，從而導致增量非線性有限元法迭代計算耗時久，一個簡單的鋼管混凝土模型拱的計算有時需要長達10余小時[2]。與此形成對比的是，本文基于彈性模量縮減法建立的線彈性迭代方法最大誤差為1.1%。利用CPU為2.90 GHz、內存為1.93 GB的普通臺式電腦，其計算耗時不超過25 s。充分證明了本文方法具有較高的計算精度和效率。

表4　結構極限承載力分析結果　kN

導致上述結果的原因在于鋼管混凝土材料彈塑性本構模型會直接影響到增量非線性有限元法的計算精度。由于迄今為止尚沒有建立適用于復雜受力條件下彈塑性分析的鋼管混凝土組合材料合成本構關系，導致基于單一組合材料梁單元的增量非線性有限元法計算結果精度欠佳，而雙材料梁單元由于無法精細模擬鋼管和混凝土之間的相互作用以及混凝土脫空的影響，同時也難以考慮混凝土開裂對鋼管混凝土受力性能的影響[2]，因此計算精度也不理想。另外，纖維模型需要通過迭代分析確定截面剛度，理論復雜，同時需要將鋼管混凝土截面離散為大量纖維塊，將導致增量非線性有限元法迭代計算量大、耗時久。

本文方法采用齊次廣義屈服函數定義鋼管混凝土截面上的單元承載比，能夠合理體現截面上不同材料纖維之間的協調變形特性和的自適應調整能力，減少人為干擾，且大幅降低離散未知量。同時在整個迭代計算過程中本文方法只用到鋼管混凝土的線彈性本構方程，因此能夠取得遠高于增量非線性有限元法的計算效率、計算精度和迭代穩定性。

3.2　兩點非對稱加載拋物線鋼管混凝土深拱

文獻[2]給出了1個鋼管混凝土模型拱，軸線方程為y=x2/9.375，跨度為7.5 m，矢跨比為0.2，在模型拱2L/3和5L/6處分別作用一集中力，如圖6所示。鋼管混凝土外直徑D=121 mm，鋼管厚度t=4.5 mm，屈服強度fy=245 MPa，彈性模量Es=180 GPa；混凝土立方體抗壓強度fcu=25.2 MPa，彈性模量Ec=30 GPa。

首先，分析有限元離散網格對彈性模量縮減法計算結果的影響，同樣以拱橋規范給出的穩定系數為例，結果見表5。

圖6　拋物線深拱計算模型

由表5可知，對于該兩點非對稱加載工況，將鋼管混凝土模型拱離散為24個單元時，可以得到穩定收斂的計算結果。

其次，分析不同的穩定系數表達式對穩定極限承載力結果的影響，見表6。

表6　穩定系數對極限承載力計算結果的影響　kN

由表6的計算結果可知，對于兩點非對稱加載矢跨比為0.2的深拱而言，不同公式定義的穩定系數計算結果差別不大，與試驗值相比誤差均在10%之內，其中式(5)和式(6)的計算誤差分別為8.9%和7.0%，均具有較高的計算精度。采用與算例1相同的PC機，計算耗時為21.8 s，表明本文方法具有較高的計算效率。

最后，結合式(5)穩定系數表達式，分析廣義屈服函數與齊次廣義屈服函數對彈性模量縮減法計算結果的影響，如圖7所示。由圖7可知，采用廣義屈服函數分析時，拱橋穩定極限承載力的計算結果隨著荷載初始值的取值不同而出現明顯變化，嚴重影響到彈性模量縮減法的計算精度和穩定性。而當采用齊次廣義屈服函數時，彈性模量縮減法計算結果穩定，不受初始荷載的影響。

圖7　極限承載力迭代過程圖

3.3　拱頂和四分點加載拋物線鋼管混凝土淺拱

文獻[3]進行了2個拋物線鋼管混凝土淺拱模型試驗，其中一個模型拱的軸線方程為y=x2/20.25，跨度為9.0 m，矢跨比為1/9，在拱頂處作用集中力，如圖8(a)所示。另一個模型拱的軸線方程為y=x2/13.50，跨度為9.0 m，矢跨比為1/6，在四分點處作用集中力，如圖8(b)所示。2個模型拱的截面尺寸與材料參數相同，其中鋼管外直徑D=159 mm，鋼管厚度t=4.5 mm，鋼材屈服強度fy=376.2 MPa，彈性模量Es=204 GPa；混凝土立方體抗壓強度fcu=41.6 MPa，彈性模量Ec=31.3 GPa。

圖8　拋物線淺拱計算模型

首先，分析有限元離散網格對彈性模量縮減法計算結果的影響，以拱橋規范給出的穩定系數為例，結果見表7。

由表7可知，對于拱頂和四分點加載2種不同的荷載工況，將模型拱離散為24個單元時，均可以得到穩定收斂的計算結果。

表7　劃分不同網格下彈性模量縮減法的極限承載力結果 kN

其次，分析不同的穩定系數表達式對穩定極限承載力結果的影響，結果見表8。

表8　穩定系數對極限承載力計算結果的影響　kN

由表8可知，對于拱頂加載矢跨比為1/9和四分點加載矢跨比為1/6的淺拱2種工況，不同穩定系數表達式下的穩定極限承載力計算結果有一定差異。當拱頂加載矢跨比為1/9時，與試驗值相比，式(2)計算精度最高，誤差不足1.0%，而式(6)誤差則達到7.8%；當四分點加載矢跨比為1/6時，剛好相反，式(6)計算精度最高，誤差為4.3%，而式(2)精度最差，誤差為6.5%。相比之下，式(5)在2種工況下的誤差分別是2.6%和5.4%，均能取得良好的計算精度，穩定性較強，同時采用與算例1相同的PC機計算耗時分別為25.7和28.2 s，表明本文方法具有較高的計算效率。

最后，結合式(5)穩定系數表達式，再一次分析廣義屈服函數與齊次廣義屈服函數對彈性模量縮減法計算結果的影響，如圖9所示。由圖9可知，采用廣義屈服函數進行分析時，拱橋穩定極限承載力的計算結果隨荷載初始值改變而呈現明顯變化，嚴重影響到彈性模量縮減法計算精度和穩定性。而當采用齊次廣義屈服函數時，彈性模量縮減法計算結果穩定，不受初始荷載的影響。

綜合以上3個算例計算結果和誤差分析可知，常用的3種穩定系數表達式的計算誤差均不超過10%，都能夠滿足工程實踐要求，其中鋼管混凝土拱橋規范建議的穩定系數表達式(5)在不同荷載工況、不同矢跨比情況下具有更好的穩定性與良好的計算精度。

圖9　極限承載力迭代過程圖

4　結　論

(1)本文建立的鋼管混凝土構件壓彎穩定分析的齊次廣義屈服函數克服了廣義屈服函數受荷載初始值和鋼管混凝土截面幾何參數、材料參數影響的缺陷，具有較強的適用性。

(2)本文方法克服了鋼管混凝土拋物線拱結構穩定承載力分析的增量非線性有限元法的缺陷，具有較高的計算精度和效率。

(3)當前常用的3種穩定系數表達式都能夠取得滿意的計算精度，其中鋼管混凝土拱橋規范建議的穩定系數表達式具有更好的穩定性與良好的計算精度。

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