高考導數模塊過關卷答案與提示

一、選擇題

1.D 2.C 3.A 4.C 5.B 6.C 7.C 8.A 9.B 10.B 11.C 12.A 13.A 14.C 15.B 16.C 17.B 18.A 19.C 20.D 21.B 22.A 23.D 24.B 25.B 26.D 27.B 28.C 29.D 30.C 31.D 32.D 33.D 34.C 35.D 36.C 37.D 38.A 39.A

二、填空題

三、解答題

54.因為f(x)=x3+ax2+bx+1,所以f'(x)=3x2+2ax+b。

令x=1,得f'(1)=3+2a+b。又f'(1)=2a,所以3+2a+b=2a,b=-3。

令x=2,得f'(2)=12+4a+b。又f'(2)=-b,所以12+4a+b=-b。

55.(1)當a=-2時,f(x)=x3-32x2+3x+1,則f'(x)=3x2-62x+3。

令f'(x)=0,解得x1=2-1,x2=2+1。

當x∈(-∞,2-1)時,f'(x)＞0,f(x)在(-∞,2-1)上是增函數;

當x∈(2-1,2+1)時,f'(x)＜0,f(x)在(2-1,2+1)上是減函數;

當x∈(2+1,+∞)時,f'(x)＞0,f(x)在(2+1,+∞)上是增函數。

所以f(x)在(2,+∞)上是增函數,于是當x∈[2,+∞)時,f(x)≥f(2)≥0。

56.(1)由題意知x∈(0,+∞)。因為f(x)=a(x-5)2+6lnx,所以f'(x)=2a(x-5)+。

令x=1,得f(1)=16a,f'(1)=6-8a。

所以曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程為y-16a=(6-8a)(x-1)。

令f'(x)=0,解得x1=2,x2=3。

當0＜x＜2或x＞3時,f'(x)＞0,故f(x)在(0,2)和(3,+∞)上為增函數;

當2＜x＜3時,f'(x)＜0,故f(x)在(2,3)上為減函數。

57.(1)因為f(x)在區間(0,+∞)上是單調增函數,所以-m2+2m+3＞0。故m2-2m-3＜0,解得-1＜m＜3。又m∈Z,所以m=0,1,2。

而m=0或2時,f(x)=x3不是偶函數,m=1時,f(x)=x4是偶函數,所以f(x)=x4。

很顯然x=0不是方程x2+3ax+9=0的根。

為使g(x)僅在x=0處有極值,必須x2+3ax+9≥0恒成立,即有Δ=9a2-36≤0。

解不等式得a∈[-2,2]。

這時,g0()=-b是唯一極值,所以a∈[-2,2]。

58.(1)由題意可知f(x)的定義域為(0,+∞)。

因為a＞2,所以a-1＞1。

故當1＜x＜a-1時f'(x)＜0;

當0＜x＜1或x＞a-1時f'(x)＞0。

故函數f(x)在區間(1,a-1)上單調遞減,在區間(0,1)和(a-1,+∞)上單調遞增。

(2)由a=1知g(x)=x3+x2-2x,所以Sn=n3+n2-2n。

綜上,不等式得證。

(2)令F(x)=f(x)-(x-1),x∈(1,+∞)。

當x∈(1,+∞)時,F'(x)＜0,所以F(x)在[1,+∞)上單調遞減。

故當x＞1時,F(x)＜F(1)=0,即當x＞1時,f(x)＜x-1。

(3)由(2)知,當k=1時,不存在x0＞1滿足題意。

當k＞1時,對于x＞1,有f(x)＜x-1＜k(x-1),則f(x)＜k(x-1),從而不存在x0＞1滿足題意。

當k＜1時,令G(x)=f(x)-k(x-1),x∈ (1,+∞)。

由G'(x)=0,得:

-x2+(1-k)x+1=0。

60.(1)當a=1時,f(x)=x3-1,f(2)=3。

f'(x)=3x2-3x,f'(2)=6,所以曲線y=f(x)在點(2,f(2))處的切線方程為:

y-3=6(x-2),即y=6x-9。

(2)f'(x)=3ax2-3x=3x(ax-1)。令f'(x)=0,解得x=0或x=

當x∈ (1,x2)時,G'(x)＞0,故G(x)在[1,x2)內單調遞增。

從而當x∈ (1,x2)時,G(x)＞G(1)=0,即f(x)＞k(x-1)。

綜上,k的取值范圍是(-∞,1)。

以下分兩種情況討論:

當x變化時,f'(x),f(x)的變化情況如表1:

表1

解不等式組得-5＜a＜5。

因此,0＜a≤2。

當x變化時,f'(x),f(x)的變化情況如表2:

表2

綜合①②,a的取值范圍為0＜a＜5。