二維圖像強度-幾何相關系數的統計研究方法

段　汕，張　曄，張彬彬

(中南民族大學 數學與統計學學院，武漢 430074)

在Pyt′ev的形態學[1]框架下，二維圖像采用的是一種強度-幾何模型[1,2]，圖像表現為空間域劃分下的分片常函數形式. 空間域的劃分提供了圖像確定的幾何形狀信息，不同圖像幾何形狀的比較則是通過各類相關系數的建立刻畫形狀的相似程度. 在基于投影算子的比較方法[3-6]中，圖像表示是其重要的組成部分，其中圖像幾何形狀的分布是確定的，所對應的強度向量反映不同季節、時間、氣候、光照條件、光譜范圍下所獲取的同一場景的不同圖像. 在此意義下，多種形式的相關系數被研究. Vizilter在其研究工作[3]中，將圖像的強度向量視為n維隨機向量，在獨立同分布、零均值的條件下，研究了一類“強度-幾何”相關系數，其結果是對Pyt′ev[1]的“幾何”相關系數研究成果的推廣.

將圖像的強度向量視為隨機向量，使得對相似性度量的量化方法需要有相應的調整. 一個最直接的選擇是將隨機向量的統計量引入相關系數的表示中，Vizilter在文獻[3]中便是選用的這種處理方法. 在實際問題中，圖像強度隨機向量的獨立同分布是一種相對理想的假設，大多數情況下則表現為相關性的分布取值. 因此，本文在減少對強度隨機向量各種限制的情況下，將文獻[3]中的方法進行了推廣，所建立的圖像幾何形狀相關系數將文[3]中的諸多系數作為其特例，其研究結果更符合圖像的自然構成. 此外，文中還提出并研究了一系列新的相關系數形式，使得圖像幾何形狀的比較工具更為豐富.

1　預備知識

F={F1,F2,…，Fn}是對圖像f(x,y)空間域Ω的劃分，f=(f1,f2,…，fn)T∈Rn是f(x,y)的強度向量. 圖像f作為Hilbert空間L2(Ω)中的元素，其范數‖f‖2=(f,f)，圖像間的Euclidean距離dE(g,f)=‖g-f‖，且F?L2(Ω)是L2(Ω)的凸閉子空間．

(1)

進行度量，其中PG是空間G上的投影算子：

這里fGk=(f,χGk)/‖χGk‖2，‖χGk‖2,k=1,2,…,m是劃分G的子區域Gk的面積．

在分片常函數圖像的“強度-幾何”模型下，圖像的強度和幾何特征是通過強度向量和空間域的劃分來描述的．在基于投影算子相關系數的研究中，劃分區域的面積是重要的幾何特征量，劃分區域上圖像強度的取值若視為一隨機變量，則其分布與子區域的面積相關.為此，引入基于面積的相關變量：設A為空間域Ω的面積，sFi=(χFi,χFi)=‖χFi‖2為Fi的面積，sGj=(χGj,χGj)=‖χGj‖2為Gj的面積，sij=(χFi,χGj)為Fi∩Gj的面積．顯然有：

將圖像f的形狀F={F1,F2，…，Fn}及圖像g的形狀G={G1,G2,…，Gm}視為隨機場，在空間域Ω固定的條件下，應用互信息的相關方法，這些面積變量對應于形狀隨機場的邊緣和聯合概率分布為：

pF(fi)=sFi/A,pG(gj)=sGj/A,pFG(fi,gj)=sij/A,pF|G(fi|gj)=sij/sGj.

在圖像的分片隨機模型描述方式下，圖像f的強度f=(f1,f2,…，fn)T分布建立在其形狀隨機場F相關分布的基礎上．

2　強度-幾何相關系數

考慮圖像f(x,y)的強度隨機向量f=(f1,f2,…，fn)T中第i個強度隨機變量fi的均值E(fi)=μi，協方差cov(fi,fk)=σik(i,k=1,2,…，n)及圖像f的強度均值f0=(μ1,μ2,…，μn)T. 用中心化圖像f-f0=(f1-μ1,f2-μ2,…，fn-μn)T替代f，利用形狀隨機場的邊緣和聯合概率分布，可以計算出中心化圖像f-f0的相關量化表示形式：

(2)

其中：

(3)

在(1)式中，引入圖像f的均方范數替代范數，建立形狀F與形狀G的中心化強度-幾何均方形態相關系數：

(4)

其中：

引入系數矩陣：

sF=diag(sF1,sF2,…,sFn);Λ=diag(σ11,σ22,…，σnn),

(5)

(6)

其中：

(7)

及特性函數的線性相關系數：

3　幾何相關系數

(1)當隨機變量fi(i=1,2,…，n)相互獨立時，σik=0,i≠k，∑=Λ，此時

(8)

(9)

故：

此時，相關系數：

(10)

這也即是文獻[1]中系數的形式. 利用(8)、(10)式還可以表示為以下形式：

4　序化幾何相關系數

在Pyt′ev的圖像模型下，如果強度向量f=(f1,f2,…，fn)T滿足：f1

對于給定的圖像f和g，設強度向量f=(f1,f2,…,fn)T和g=(g1,g2,…,gm)T中的分量均是兩兩互異的，則可通過以下的序化函數實現其基于強度的形狀排序. 在空間域Ω上對每一個Fi(或Gj)定義其上的強度序化函數：

由函數μ+(x,y)，μ-(x,y)或μ(x,y)在Ω上的取值分布，即可實現對圖像強度的排序，從而獲得有序形狀F+={F1F2…Fn}和G+={G1G2…Gm}. 且序化函數與有序形狀F+有如下關系：若i

有序形狀F+={F1F2…Fn}和G+={G1G2…Gm}的比較可以通過局部序化的方法將序化因素植入相關系數：

(11)

或:

(12)

(13)

(14)

類似地，還可以得到由(12)式所導出的單邊序化幾何相關系數.

在特殊情況下，(11)式具有特定的結構，以上的系數將取特定的值. 如當取G+=F+時：

一般地，(13)和(14)式的取值范圍是[-1,1]，且關于F+,G+對稱. 如果取μ+(x,y)或μ-(x,y)為序化函數，則可以避免系數取負值，此時取值范圍是[0,1].

5　結束語

本文對Vizilter在文獻[3]中的研究工作進行了推廣，通過引入強度協方差矩陣給出了更具一般性的隨機馬賽克圖像相似性度量指標. 所研究的相關系數在形式上更好地反映了圖像的強度-幾何特征間的關聯性，且在特定的條件下，將Vizilter在文獻[3]中的研究結果作為其特例. Vizilter在文獻[3]中的實驗測試表明在獨立同分布的條件下相關系數在相似性度量的質量上具有優勢，但對稱系數在實際運用中對噪聲表現出不穩定性. 而我們的工作對其在形式上進行了統一.

[1]Pyt′ev Y P. Morphological image analysis[J].Pattern Recogn Image Anal, 1933(3): 19-28.

[2]Evsegneev S O, Pyt′ev Y P. Analysis and recognition of piecewise constant texture images[J]. Pattern Recogn Image Anal, 2006, 16: 398-405.

[3]Vizilter Y V, Zheltov S Y. Geometrical correlation and matching of 2D images shapes[J]. ISPRS Ann Photogramm Remote Sens Spatial Inf Sci, 2012, I-3: 191-196.

[4]Vizilter Y V, Zheltov S Y. Projective morphologies and their application in structural analysis of digital images[J]. J Comput Syst Sci Int, 2008, 47: 944-958.

[5]Vizilter Y V, Zheltov S Y. Similarity measure and comparison metrics for image shapes[J]. J Comput Syst Sci Int, 2014,53(4): 542-555.

[6]Vizilter Y V, Gorbatsevich V S, Rubis A Y, et al. Shape-based image matching using heat kernels and diffusion maps[J]. Intenational Archives of the Photogrammetry, Remote Sensing and Spatial Information Sciences, 2014, XL-3: 357-364.