帶有Rellich項(xiàng)的臨界雙調(diào)和方程組的研究

康東升,劉曉楠，曹玉平

(1 中南民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)學(xué)院,武漢 430074； 2 中南民族大學(xué) 圖書館,武漢 430074)

1　相關(guān)知識

首先在全空間中研究下面帶有Rellich項(xiàng)的臨界雙調(diào)和方程組：

(2)

(3)

由(2)和(3)式我們定義下面的Rellich-Sobolev常數(shù)[1]：

假設(shè)(H1)成立,由文[1]可知S(μ)的達(dá)到函數(shù)是:

(4)

其中Uμ(x)>0是徑向?qū)ΨQ、單調(diào)遞減的,并且滿足下面條件[1,2]：

從文[1]可知Uμ(x)是下列方程組的解：

下面在D2,2(RN){0}中定義最佳常數(shù)[1,3]：

Sη,α,β(μ):=

(5)

我們設(shè):

(6)

這里τmin≥0是f(τ)的最小值點(diǎn).

本文中的基態(tài)解是指在所有解中對應(yīng)能量值最小的解，因此(5)式被達(dá)到時的解是基態(tài)解.

其次,我們證明下列方程組解的存在性：

(7)

方程組(7)對應(yīng)的能量泛函為：

J(u,v):=

(8)

其中u,v∈H,J∈C1(H×H,R).對于(u,v)∈H×H(0,0),如果J′(u,v),(φ,φ)=0，?(φ,φ)∈H×H,那么我們稱(u,v)是方程組(7)式的解.接下來,我們假設(shè)：

下面定義本文中一些常用的符號：

本文的結(jié)論如下：

定理2假設(shè)N>8,0≤μ≤μ*,并且(H1)和(H2)成立，則方程組(7)至少存在一個解(u,v)∈(H{0})2.

為了書寫方便,全文用C表示常數(shù)；用O(εt)表示|O(εt)|/εt≤C；用o(εt)表示|o(εt)|/εt→0；用O1(εt)表示C1εt≤|O1(εt)|≤C2εt(當(dāng)ε足夠小時),并且省略dx.

2　定理1的證明

證明與文獻(xiàn)[3]中定理1.1及文獻(xiàn)[5]中定理5類似,在此省略.

由f′(τmin)=0可以推出τmin是下列方程的一個根：

g(τ):=2*(s)+ηατβ-ηβτβ-2-2*(s)τ2*(s)-2=0,

τ>0.

(9)

假設(shè)ε>0,u∈D2,2(RN),r>0，若方程組(1)有正解并且解的形式為(ru,tu),則可得到：

(2*(s)+ηατβ)r2*(s)-2=2*(s)=(2*(s)τ2*(s)-2+

(10)

證明與文獻(xiàn)[6]中引理2.2類似,在此省略.

定理1的證明我們應(yīng)用與文獻(xiàn)[6]中定理1.1類似的方法來證明本定理.設(shè)(u0,v0)是方程組(1)的基態(tài)解，首先我們證明：

(11)

同樣地,記：

(12)

容易得到：

(13)

令

因此(11)式成立.

同理可得：

(14)

因此由(11)、(14)式得：

(15)

由(10)式得到：

(16)

由此

(17)

所以u1,v1是下面方程的基態(tài)解：

由H?lder不等式、(11)式及(14)式得到：

3　定理2的相關(guān)引理

證明與文獻(xiàn)[3]中引理2.4.1類似,在此省略.

當(dāng)N≥8,

g1(t):=J(tuε,tτminuε)≤

另一方面有：

注意到：

0≤μ2,μ=μ*?b(μ)-δ=2,2*(s)>2.

(18)

由(18)式、引理1和引理4得出：

由上式及引理4得到：

引理5證畢.

定理2的證明過程與文獻(xiàn)[3]中定理1.2類似，在此省略.

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