循著問題的臺階“且問且行”
——基于《求瓶子的容積》一課教學的思考

梁　燕　唐惠良

在人教版教材中，解決問題是教師關注與討論的熱點，從對方法的教學到策略的理解乃至數學思想方法的滲透，都是教學研討的聚焦點。“求瓶子的容積”這個例題是在學生學習了“圓柱的體積”之后安排解決的“非常規”問題。面對這樣一個新教學內容，我們帶著諸多問題進行了思考。

一、設計問題的臺階，教學目標凸顯什么

“求瓶子的容積”這一“非常規”問題，學生經驗體系里是否有“瓶子倒置”的想法？對于在“瓶子倒置”之后，還能繼續怎樣思考？帶著這樣的問題，我們分析了教材的例題，同時也檢索了不同版本的設計、雜志上的文章等，使我們對教材的意圖與教學的目標逐漸清晰起來。從眾多文章中梳理，我們發現許多教師側重在引導學生觀察思考中體會變與不變、轉化、推理的數學思想。我們更傾向于“非常規”的問題不以計算為目的，我們認為這和其他的以數量關系為基礎的解決問題屬于不同地位，雖然策略特殊，但是它在經歷解決問題的整個過程中培養學生“四能”的價值更明顯：問題在哪里？可以提出什么問題？怎樣設計解決問題方案？怎樣回顧反思？……這些都體現了讓學生經歷問題解決的進程，這對學生解決不完整圓柱的容積問題乃至更為“非常規”的解決問題能力發展起著至關重要的作用。因此我們在教學中有意識地關注，一方面要與解決問題的一般過程和方法建立起聯系，同時又要在具體問題解決的進程與臺階中，將特殊的解決問題的經驗與能力適度提煉，化為一般的思想方法或思維模式。

基于以上思考和分析，我們對教學目標的定位體現在本節課的兩個挑戰性問題上：1.不借助其他任何容器，你們還有辦法求出瓶子的容積嗎？（設計方案）2.水的體積（圓柱體）加上空氣的體積就是瓶子的容積了嗎？為什么？

本節課使學生認識到之前的解決問題方法需要改進，改進為解決問題的方案，讓方案設計變為學習的需要。我們把“問題解決”看成一種創造性的活動，即在問題解決的過程中，學生嘗試尋找答案時，不是簡單地利用已知信息，而是對信息進行加工，重新組織若干已知的規則，形成新的高級規則，這些活動涉及到了“高級”的思考過程,學生應在解決問題中，找出對當前問題適用的對策，這便形成了對“策略”的需求。

二、發現并提出問題，材料怎樣設計

不同的教材都向學生展示了正放與倒放的圖示，用意何在？我們想不能僅僅是讓學生讀懂教材呈現的兩種狀態，因為這不能很好地呈現伴隨思考的過程。所以在材料設計時采用想象的方式，不過早呈現結果狀態，而是以挑戰性任務呈現，更有利于學生發現問題與提出假設。

師：（出示一個裝滿水的瓶子）你會想到什么？

生：計算體積可把水倒入一個量杯中，看刻度。

師：還有辦法求出瓶子的容積嗎？如何在沒有量杯的情況下也能測出容積呢？

師：（教師現場喝掉一部分水，引導學生思考）現在你們有想法了嗎？愿不愿意接受這個挑戰？

【思考：隨著問題提出去解決不斷產生的新問題，這是“解決問題”教學的最佳狀態，即以問題驅動學習。以“求一個裝滿水的瓶子的容積”問題驅動，直面任務，使得問題更加開放。同時在學生已有經驗的基礎上，在探究解決問題策略多樣化的同時，引發學生思考，材料的動態化設計變得很有價值。】

三、分析并解決問題，方案的價值在哪里

《解決問題的非常規思考法》作者邁克爾·卡萊特強調，面對問題“還有沒有更好的解決辦法？”當我們的大腦在經驗的驅使下習慣于固定的思維時，意味著我們已陷于平庸。面對一時無法解決的問題，我們需要擺脫自動化思維，充分利用創造性、假設性、非真實性等批判性思維重新發現問題、分析原因、匯總結論，得出蘊含更多可能的解決方案。“求瓶子的容積”方法上的特殊性正好有利于產生方案的需要。

（一）方案設計，挑戰性任務體現策略特征

課件出示活動要求：設計一個“求瓶子的容積”的解決方案：

【思考：方案的設計是理清思路、培養學生思維的一個很好的載體。設計方案的意圖在于方法的特殊有利于方案的需要，需要以步驟的形式把思考推理的過程記錄下來，并且這樣的記錄適合后續的交流活動，可以在了解學生原生態的思維上加以分析和引導，可以將策略意圖逐步明顯揭示。】

（二）方案交流，探討策略的可行性

組織反饋，重點交流兩個問題：

1.你是怎樣求得瓶子的容積的？

2.水的體積加上空氣的體積就是瓶子的容積了嗎？為什么？

依次呈現上述方法，并請學生加以解釋，在討論中分析、補充，認識方案的合理性與可行性。

（三）方案整理，突出策略的作用

師：在同學們的討論中，老師知道了：要求瓶子的容積，先求出水的體積，再加上空氣的體積，因為空氣的體積不規則，想到了把瓶子倒過來，轉化成規則的圓柱體，在轉化后空氣的形狀變了，但體積沒有變。

（四）落實方案，比較策略的適用性

1.給出數據，計算并反饋。

師：現在如果要精確地求出這個瓶子的容積，你認為至少需要測量哪些數據？

生：需要測量圓柱的底面直徑，水的高度和倒過來后空氣的高度。

小結：同學們真厲害，想到了把瓶子倒過來這個巧妙的辦法，求得了瓶子的容積。

2.展示不同，計算并反饋。

師：剛才還有一個小組的方案不一樣，你們能看懂嗎？

生：水很少的時候，水的體積×2+中間的圓柱的體積=瓶子的容積。

生：水比較多的時候，水的體積×2－重疊的圓柱的體積=瓶子的容積。

（請一位學生上來邊演示邊說）

師：大家能想象嗎？用這個方法也能算出瓶子的容積，但沒有直接用水的體積加空氣體積簡便。

【思考：方案的梳理是學生思維的梳理，在這個過程中學生通過討論，從“不知”到“知了”，從“有困難”到“成功解決”，從“沒道理”到“有道理”是學生經歷解決問題的整個過程、積累活動經驗的過程，同時學生在體驗數學問題的探究性和挑戰性中也獲得了成功的喜悅。最后一種方案的呈現是對知識的提升與串聯，意圖讓學生感受策略的適用性與轉化的普遍性。】

四、過程回顧與反思，作何串聯與提升

本環節，在問題解決的教學中強調策略的意義，是為了促成學生學會“數學地思考”。其一，在解決問題的過程中因成功解題的需要而形成選擇相關策略的意識，體驗具體策略的優越性。這可以歸結為我們教學中的“舉一”。其二，將形成的策略映射到解決問題的過程中去，運用具體的策略解決問題，完成對具體策略的重新建構。這一過程可歸結為我們教學中的“反三”。

（一）經歷問題解決的過程，培養策略意識

1.課件出示題目：一瓶裝滿的礦泉水，小明喝了一些后，剩下水的高度是10厘米。他把瓶蓋擰緊后倒置放平，無水部分的高也正好是10厘米。瓶子內直徑是6厘米。

師：根據這些信息，你能解決哪些問題呢？請你自己提出問題，并列式計算出答案。

師：你們用 π（6÷2）2×10=90π（立方厘米）這個算式解決了什么問題？

生：我用這個算式知道了水的體積。

生：我用這個算式知道了空氣的體積。

生：我還知道了倒過來之后水的體積是不變的，所以倒過來水的體積也是90π立方厘米。

【思考：在經歷了之前探究過程后，讓學生自主地在練習過程中去發現問題、提出問題并解決問題，是讓學生從頭到尾地進行思考，并在“巧合”中進一步鞏固“變與不變”，讓學生對于策略的特征、策略的實用性進一步理解，同時也培養學生學會區別不同的問題采用不同的策略。】

（二）展開大背景，納入轉化思想體系

如上圖，一個底面面積為20平方厘米的圓柱體，如果從中間斜著截去一段后，它的體積會是多少呢？

師：請大家想辦法解決這個問題，寫在紙上。

組織反饋：

生：找一個一模一樣的木頭，拼在上面，拼成一個底面積為20平方厘米、高為10厘米的圓柱再除以2，就是木頭的體積。

生：我可以把4厘米上面的這段不規則的切掉，再把切掉的部分從中間橫切成兩半，把其中的一半拼上去，變成一個高為5厘米的圓柱。

全課小結：把不規則的轉化成了規則的，像這樣的方法我們在以前的學習中就用到過，你能舉個例子嗎？

生：求平行四邊形的面積時，我們把平行四邊形轉化成了長方形。

生：求圓的面積的時候，我們把圓轉換成了一個長方形。

師：求梨的體積，將它沉入水中，轉化為水上升的體積；求三角形的面積，將它先轉化成學過的平行四邊形的面積，再除以2；還有我們今天的求瓶子的容積。

（課件依次呈現）

師：在以后的生活和學習中，我們還會遇到很多這樣的問題，希望同學們能像今天一樣，學會運用數學的思考方法找到解決問題的辦法。

【思考：回顧這節課學生經歷解決問題的過程，從“發現問題→方案設計→方案梳理→回顧反思”這四個環節，它與波利亞在《怎樣解題》中提出的四個步驟“弄清問題——擬訂計劃——實現計劃——回顧反思”不謀而合，關鍵要在弄清問題和擬訂計劃這兩個環節中，引導學生找到解決問題的突破口，抽象出解決數學問題的基本模型；這四個環節更是與課標倡導的“四能”同步緊密，因此“且問且行”，即以問題驅動學習，隨著問題的展開與深入，不斷有新問題產生，不斷去解決，這是解決問題教學的最佳狀態。本課的亮點：其一是問題，其二便是策略。從發現問題、提出問題開始，隨之而來采取什么方式處理與分析數量信息間關系、建立何種有效的數學模型解決，以及解決問題方法的普遍意義等是靠策略性知識來完成的，這便形成了對“策略”的需求。可見，策略是對方法本質的認識，是介于解決問題的方法與數學思想之間的連接紐帶。】