繩索-金屬絲網組合結構力熱匹配設計

李團結， 楊　麗， 李　洋， 馬小飛

(1. 西安電子科技大學 機電工程學院，陜西 西安 710071;2. 中國空間技術研究院西安分院，陜西 西安 710000)

網狀可展開天線[1]是上世紀末出現的一種新的可展開天線形式，由于其具有質量輕、結構簡單、易于實現大口徑與高增益等特點，在現有的空間在軌衛星中得到廣泛的應用．這些網狀可展開天線的反射面[2]是由柔性繩索與金屬絲網縫制而成，在太空環境中，受劇烈溫度變化影響，不同材料力熱特性差異引起金屬絲網與纖維繩索變形不協調，進而影響繩索絲網組合結構的預應力分布與形面精度，降低反射面電性能．因此，研究繩索絲網組合結構的力熱匹配問題具有重要的意義[3-4]．

金屬絲網網格細小，一般將其等效為薄膜進行處理，目前針對索膜結構[5-7]的研究主要集中在索膜結構的找形分析．文獻[8]考慮索膜結構幾何和材料非線性，利用動態松弛法對索桿和膜單元進行找形分析．文獻[9]對倒傘式可展索膜結構的靜力分析原理進行了理論推導，研究了倒傘式可展索膜結構在荷載作用下應力及位移的變化規律．文獻[10]對膜結構力密度法找形的過程進行改進，引入膜面應力和索拉力作為初始條件，以節點不平衡力作為控制誤差，使找形過程簡潔高效．

目前已有很多對空間結構在溫度載荷作用下熱變形的研究．文獻[11]采用子域攝動隨機有限元法研究了空間結構在軌運行的熱變形，考慮了結構參數受熱擾動對結構熱變形的影響．文獻[12]通過有限元分析論證了空間反射面天線用薄膜在熱載荷作用下的影響規律．文獻[13]通過有限元法計算星載可展開天線太空輻射熱變形，研究了基本結構參數對天線熱變形的影響．文獻[14]采用概率有限元法研究了材料熱膨脹系數在空間溫度影響下，空間可展開天線在軌運行時的熱變形及其對天線形面精度的影響規律．

綜上所述，為了滿足我國航天事業對高精度網狀天線的需求，提高網狀天線在軌運行的熱穩定性，文中嘗試探索研究繩索絲網組合結構的力熱匹配設計方法．首先，采用只承受張力的兩節點桿模擬繩索，利用膜模擬金屬絲網結構，建立繩索絲網組合結構力學模型；然后，分析繩索絲網組合結構熱變形影響規律，并對索截面參數進行匹配設計；最后，以環形桁架網狀可展開天線為算例，通過仿真驗證了文中力熱匹配設計方法的有效性．

1　力學模型

金屬絲網網格細小，可用薄膜來等效．取單片三角形膜與索網進行分析，如圖1所示．

圖1 單片索網與膜單元圖2 膜單元等效為桿單元

取每個索為一兩節點空間桿，每個節點具有3個自由度．假定索兩節點為理想的無摩擦鉸節點，索材料為理想線彈性體，受力和變形滿足虎克定律．將膜離散為三節點三角形單元，并進一步將三角形膜單元等價為以三角形3條邊為單元的桿單元，這樣原來的三角形單元就轉化為沿3根桿自由伸縮的桿單元，如圖2所示．3個桿單元的初始拉力可表示為[3]

(1)

其中，σx和σy為膜的應力，t為膜的厚度．

1.1　等應力膜

假設膜面各方向的應力均為σ，即等應力膜，σx=σy=σ，則式(1)變為

Ti=σLit/(2 tanβi),i=1，2，3．

(2)

設繩索材料的熱脹系數為α，彈性模量為E，橫截面積為Ac，膜材料的熱脹系數為αm，彈性模量為Em，泊松比為μ．當環境溫度變化ΔT時，繩索的張力增量 ΔF= ΔTαEAc，膜的應力變化 Δσ= ΔTEmαm/ (1-μ)，則膜的三邊等效內力增量為

圖3　索膜單元內力

(3)

工程上，繩索一般選用熱脹系數為負的材料，即熱縮冷漲，這與膜材料的熱脹方向相反，如圖3所示．

為保證索膜熱變形協調，應保證索和膜在連接處(變形相同)張力相等，令

若L1=L2=L3=L，則β1=β2=β3=β，即三角形為等邊三角形，則式(5)變為

(6)

其中，C是常數．

由式(5)和式(6)可知，由索膜熱變形協調得到的索參數Ac與溫度無關，但與索和膜的熱脹系數及膜的幾何參數有關．即當索參數為Ac時，在任一溫變環境下，索的熱變形量與膜的熱變形量相同．

在索網結構中，索一般和兩個三角形膜相連．為了保證索網結構在溫變環境中熱變形協調，索i的截面參數可設計為

(7)

1.2　正交各向異性膜

對于正交各向異形體，平面彈性結構內由應力組成的向量與應變組成的向量應滿足下式：

(8)

其中，σx、σy和τxy分別為x、y方向應力以及xy平面內的切應力，D為平面結構的彈性矩陣，即

(9)

圖4　平面三角形膜單元

其中，Ex、Ey、Gxy和Vxy為工程常數．

圖4所示為一平面三角形膜單元，Oxy為彈性坐標系，Ox′y′為局部坐標系，兩坐標系夾角為θ(逆時針為正)．

推導可以得到彈性坐標系與局部坐標系間的應力關系為

(10)

其中，c=cosθ，s=sinθ，A為變換矩陣．

對于彈性坐標系與局部坐標系下的應變，也有類似的關系[15]，即

(11)

將式(10)和式(11)代入式(8)，得到

(12)

所以，局部坐標系下的正交各向異性膜的本構矩陣D′為

D′=ATDRAR-1．

(13)

在局部坐標系下，膜單元由于溫度變化產生的熱應力為

(14)

展開式(14)，得到

若θ=45°或135°，則

(16)

其中，Eem定義為正交各向異性膜單元的等效彈性模量．由式(1)可知，此時熱應力等效到3根桿的拉力為

Ti=EemαmΔTLit/(2 tanβi),i=1，2，3．

(17)

為了保證索膜變形協調，此時索截面參數應設計為

Aci=(Eem/E) (αm/α)t(Li/(2 tanβi)),i=1，2，3．

(18)

同樣，若索網三角形為等邊三角形，在索網結構中，索的截面參數應設計為

Ad=(Eem/E) (αm/α)t(L/tanβ)．

(19)

為了制造方便，索可選用同一截面尺寸的繩索．因此，工程設計中，為保證繩索-金屬絲網結構的熱穩定性，繩索的截面尺寸應按式(7)或式(19)進行選?。艚饘俳z網具有正交各向異性，可采取將金屬絲網彈性主軸沿與繩索局部坐標系成45°或135°的方向鋪設．

圖5　環形桁架網狀可展開天線

2　數值算例

如圖5所示為一環形桁架網狀可展開天線，由前索網、金屬網面、豎向索、桁架結構以及背索網構成．天線口徑為 5 m，桁架高度為 1.2 m，前網面焦距為 3 m，后網面焦距為 20 m．E= 2× 1010N/m2，α= -1× 10-6，Ac= 3.14× 10-6m2，Em= 1×1 09N/m2，αm= 1× 10-5，t= 0.1 mm，μ=0.3．

對桁架進行固定處理，設前索網索力均值為 20 N，利用平面投影法[16]對索網結構進行找形．找形后，索長度分布介于 0.417 m 到 0.446 m 之間，求得前網面索長均值L= 0.427 m，由式(7)，得到前網面索的設計橫截面積Ad= 1.760× 10-5m2．天線在太空工作，最低溫度低于 -100℃．在有限元軟件中對天線施加低溫 -100℃ 溫度場進行仿真分析，前網面索取不同參數時天線熱變形云圖如圖6所示，其中，圖6(a)是前索網半徑 1 mm 的熱變形云圖，對應的形面均方根誤差為 1.284 mm; 圖6(b)是力熱匹配設計的索參數的熱變形云圖，對應的形面的均方根誤差為 0.101 mm．可以看出，采用文中的力熱匹配設計方法，天線在溫變環境下的熱穩定性得到很大的改善，形面精度的均方根誤差提高了92%．

圖6　天線熱變形云圖

3　結 束 語

文中提出了一種繩索-金屬絲網組合結構力熱匹配設計方法，能夠保證天線在軌運行的熱穩定性，得到了如下結論:

(1) 繩索-金屬絲網熱變形協調設計得到的繩索設計參數與溫度無關，與繩索和金屬絲網的熱脹系數及幾何參數有關．

(2) 對于正交各向異性金屬絲網結構，除了繩索參數需要匹配設計，金屬絲網彈性主軸應沿與繩索局部坐標系成45°或135°的方向鋪設．

(3) 數值算例結果表明: 采用文中的力熱匹配設計方法，天線在溫變環境下的熱穩定性得到很大的改善，形面精度提高了92%．

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