埋置移動荷載作用下飽和成層地基—梁耦合系統(tǒng)動力響應(yīng)分析

胡安峰　李怡君　付鵬　孫波　謝康和

摘要：針對地鐵列車運行中引起的地表振動問題，研究了埋置移動荷載作用下飽和成層地基-梁耦合系統(tǒng)的動力響應(yīng)。將地基土體采用Biot飽和多孔介質(zhì)理論來模擬，將地下軌道結(jié)構(gòu)簡化為埋置無限長Euler-Bernoulli梁，埋置移動荷載作用在梁上。并采用傳遞透射矩陣法（TRM法）考慮地基的成層性。利用Fourier變換及逆變換，結(jié)合梁與土體間的力與位移連續(xù)條件，得到了地基在時間空間域內(nèi)的動力響應(yīng)解答。當飽和成層地基退化為均質(zhì)黏彈性地基時，所得解與已有解能很好地吻合。最后，通過數(shù)值算例分析了梁的剛度、埋置深度及荷載移動速度、頻率等因素對地表振動的影響。

關(guān)鍵詞：埋置移動荷載；動力響應(yīng)；地基-梁耦合系統(tǒng)；TRM法

中圖分類號：TU435 文獻標志碼：A 文章編號1004-4523（2018）01-0140-08

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2018.01.017

引言

近年來，隨著高速鐵路和地鐵等軌道交通的快速發(fā)展，列車運行引起的環(huán)境振動問題受到越來越多的關(guān)注。不少學(xué)者在該領(lǐng)域進行了深入的研究。Sneddon，Eason，Hung和Yang等首先將地基考慮為均質(zhì)線彈性或黏彈性介質(zhì)模型，對移動荷載作用下（黏）彈性地基的動力響應(yīng)進行了理論求解。為考慮軌道結(jié)構(gòu)的作用，Kenney首次研究了移動荷載作用下彈性梁及下臥彈性地基的穩(wěn)態(tài)動力響應(yīng)問題；chen和Huang將鐵路系統(tǒng)簡化為黏彈性地基上有限長和無限長的Timoshenko梁，研究了移動簡諧荷載和非簡諧荷載作用下Timoshenko梁的動力響應(yīng)問題；Malli等研究了黏彈性地基上無限長Euler-Bernoulli梁在勻速移動點荷載作用下的動力響應(yīng)問題。由于飽和土體是一種兩相介質(zhì)，其中土骨架與孔隙水的耦合作用對波在土體中的傳播影響較大。故自Biot提出飽和多孔介質(zhì)的動力控制方程后，多數(shù)學(xué)者都基于此對飽和地基的動力響應(yīng)進行了研究。Theodorakopoulos考慮了水土之間的相對運動，采用解析和數(shù)值的方法研究了多孔彈性半平面在移動線荷載作用下的動力響應(yīng)；金波等研究了勻速移動的簡諧荷載作用下多孔飽和固體中產(chǎn)生的應(yīng)力和孔隙水壓力，并利用擴展的梯形求積公式獲得數(shù)值解答；蔡袁強等采用半解析法研究了列車荷載作用下板式軌道一下臥飽和土體系統(tǒng)的動力響應(yīng)間題。針對地鐵等埋置移動荷載作用下的地基動力響應(yīng)問題，senjuntichai等求得了均質(zhì)飽和多孔半平面在地表一定深度下的簡諧荷載及流體壓力等荷載作用下的動力格林函數(shù)；Metrikine和Vrouwenvelder通過將隧道結(jié)構(gòu)簡化為埋置于二維黏彈性半平面內(nèi)的歐拉梁，研究了作用于梁上的三種不同類型的移動荷載引起的地表振動規(guī)律。

在天然沉積作用下，地基土體一般都具有成層性。Luco和Apsel首次利用傳遞反射矩陣法（Transmission and Reflection Matrices Method，以下簡稱TRM法）求得了三維彈性成層半空間的動力格林函數(shù)。當土層厚度較大及荷載頻率較高時，該方法與傳統(tǒng)的傳遞矩陣法相比，能夠克服計算過程中出現(xiàn)的病態(tài)方程組等問題。Xu等利用TRM法研究了飽和成層地基上無限長Euler-Bernoulli梁在移動荷載作用下的動力響應(yīng)問題。從已有結(jié)果來看，TRM法在解決高頻高速問題上具有很好的效果。

目前關(guān)于飽和成層地基在地鐵列車等埋置移動荷載作用下的動力響應(yīng)的理論研究還較少見。本文基于Biot飽和多孔介質(zhì)動力控制方程，采用TRME法對成層飽和地基的動力響應(yīng)問題進行求解，同時將地下軌道結(jié)構(gòu)簡化為無限長Euler-Bernoulli梁模型，移動荷載作用在歐拉梁上。經(jīng)過Fourier變換及逆變換，得到地基中任一點在空間一時間域內(nèi)動力響應(yīng)的積分形式解。通過將本文的退化結(jié)果與Metrikine的黏彈性地基動力響應(yīng)解進行對比，驗證了本文求解方法的可靠性。最后，通過數(shù)值算例分析了梁的剛度、埋置深度、荷載速度及頻率等因素對地表振動的影響。

1成層飽和地基-梁耦合模型

建立如圖1所示的成層地基一梁平面應(yīng)變耦合模型（x-z平面內(nèi)），即ε_xy=ε_yy=ε_yz=0。地基中的梁位于第z層和第l+1層的交界面處。移動荷載作用在梁上（即z=z_l處），假定梁在水平方向不發(fā)生位移。荷載表達式為：F=P₀e^-iw₀tδ（x-ct）；其中p₀為點荷載幅值；c為移動荷載速度，δ（…）表示狄拉克函數(shù)；w₀為荷載圓頻率。

1.1飽和土體的控制方程

不考慮土體自重并假設(shè)土體內(nèi)部不存在流體源，Biot飽和多孔介質(zhì)的波動方程可以簡化為如下形式：

飽和土體的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系為：

將式（5）和（6）代入式（1）和（2）中，得到一組關(guān)于勢函數(shù)的偏微分方程。

定義Fourier變換及其逆變換分別為：

1.2梁的運動方程

飽和成層地基一梁耦合模型中的梁采用Euler-Bernoulli梁模型，梁的運動方程可表示為

2模型的邊界條件

飽和成層地基-梁耦合模型的邊界條件及連續(xù)條件可以表述為：

而當把第n+1層考慮成下臥基巖時，邊界條件可以表示為：

3利用TRM法求解成層地基

由第一節(jié)中可以得到地基中任意一層（第j層）在變換域內(nèi)的動力響應(yīng)表達式：

則埋置荷載之下土層（即l

由變換域內(nèi)的地基自由表面（即z=z₀）的邊界條件表達式可得

同理，埋置荷載之上土層（0

至此，由式（13b）可以得到飽和成層地基在頻率一波數(shù)域內(nèi)的動力響應(yīng)解。

為了得到時間一空間域的解，對上述頻率一波數(shù)域的解進行Fourier逆變換：

4算例分析

4.1數(shù)值計算結(jié)果驗證

由前面的分析可知，當M=pf=m=b=a=0時，飽和地基可退化為黏彈性地基。當各層土參數(shù)取值相同時，層狀土退化為均質(zhì)土。為了驗證本文解的正確性，將本文退化解（退化為單層黏彈性地基）與Metrikine的解進行了對比。Metrikine給出了下臥基巖的黏彈性地基與內(nèi)部梁耦合模型動力響應(yīng)的積分形式解，其中E_layer=3×10⁷N/m²，v=0.3，p=1700kg/m³，h=12m/7m（梁到地基表面的距離），H=15m（梁到下臥基巖的距離），梁的單位長度質(zhì)量ps=3×10⁴kg/m，梁的抗彎剛度EI=109N·m²，荷載大小P₀=10⁴N，荷載速度v=30m/s。如圖2所示為二者的位移時程曲線對比圖，從圖中可以看到計算結(jié)果吻合得較好。4.2數(shù)值計算算例分析

考慮下臥基巖的飽和成層地基，埋置梁結(jié)構(gòu)到地基表面與下臥基巖的距離分別為h₁=10m，h₂=15m。梁的抗彎剛度為E1=5×10⁹N·m²。飽和地基、梁及荷載參數(shù)的取值見表1。采用修正黏滯阻尼模型來考慮飽和土的黏彈性：λ^*=λ（1+η_ssign（ω），μ^*=μ（1+η_ssign（ω）。

設(shè)圖1中的坐標原點（x=0，z=0）為觀察點，假定t=0時刻，移動荷載恰好作用在觀察點位置處，則t<0時與t>0時分別代表“荷載朝著觀察點移動”及“荷載遠離觀察點”。

下面通過幾個算例對埋置移動荷載作用下觀察點的振動規(guī)律進行分析。

4.2.1移動荷載速度及頻率對動力響應(yīng)的影響

圖3分別給出了4種不同類型的埋置移動荷載作用下地表豎向位移曲線圖。考慮地基的瑞利波速c_R為臨界波速，荷載速度分別取亞瑞利波速0.5CR，瑞利波速c_R和超瑞利波速1.5c_R，其中飽和土體的瑞麗波速fR≈100m/s；荷載頻率考慮常值荷載（f₀=0）與簡諧荷載（f₀=10）兩種情況。另外，為了考慮梁在耦合系統(tǒng)中的作用，將荷載直接作用于飽和半空間內(nèi)部與荷載作用于埋置梁結(jié)構(gòu)上兩種情況下觀察點的振動情況進行對比。

首先，從以上4幅圖可以觀察到，同一埋置荷載作用下，地基-梁耦合系統(tǒng)的地表振動幅值均小于飽和半空間地基模型的振動幅值，尤其是當荷載速度小于臨界速度時，梁的存在對地表振動幅值的影響更明顯。另外，在梁的作用下，地表振動相位向左有一定偏移，說明梁對波的傳遞有一定的延遲作用。

圖3（a）與（c）中的移動荷載加振頻率均為零，為移動常值荷載。當荷載移動速度小于臨界波速時，地表位移振動曲線關(guān)于t=0對稱，呈脈沖狀，為準靜態(tài)變形；而當荷載移動速度大于臨界波速時，振動曲線出現(xiàn)明顯不對稱，且位移最大值不再出現(xiàn)在t=0處，t>0時的位移振動幅值遠大于t<0時的位移振動幅值，位移振動曲線呈現(xiàn)出明顯的波動狀態(tài)。另外，圖3（c）中的最大位移幅值大于圖3（a）中的最大位移幅值，這是因為當荷載移動速度超過臨界速度時會發(fā)生馬赫效應(yīng)，引起共振。

圖3（a）與（b）中荷載移動速度均小于臨界波速。從圖3（a）中可看出，當荷載無加振頻率時，地表變形為準靜態(tài)變形，沒有出現(xiàn)波動；從圖3（b）中可看到，當荷載有加振頻率時，地表產(chǎn)生振動，且其振動表現(xiàn)出多普勒效應(yīng)，t<0一側(cè)的振動頻率大于t>0一側(cè)的振動頻率。此外，飽和地基模型與地基-梁耦合模型中的振動曲線有很大不同，在梁的作用下觀察點在t=0時的振動趨于零。

圖3（c）與（d）中荷載移動速度均大于臨界波速。可觀察到，兩圖中的位移曲線在t>0時，均出現(xiàn)一些不規(guī)則的振蕩，且當荷載有加振頻率時，地表振動頻率更高。

圖3（b）與（d）中荷載的加振頻率相同時，荷載移動速度越大，地表的振動持續(xù)時間越長，振動衰減越慢，振動頻率越低。

4.2.2梁剛度對地基動力響應(yīng)的影響

圖4給出了荷載作用在不同剛度梁上時的飽和地基振動曲線。分別取梁的剛度為：E1=5×10⁸N·m²，E1=1×10⁹N·m²和E1=5×10³N·m²，其他參數(shù)的取值不變。

圖4（a）為亞瑞利波速移動常值荷載作用下，不同梁剛度時的地表振動曲線。此時荷載加振頻率為零，地基振動主要是由列車自重引起的。隨著梁剛度增加，地表振動幅值降低，振動衰減變慢。從能量角度看，由于軌道結(jié)構(gòu)的剛度大于地基的剛度，荷載通過梁作用于周圍土體，梁剛度越大，其作為能量吸收層所耗散的能量就越大，地基自由場中傳播的能量就越小，地基位移幅值就會越小，梁影響的區(qū)域也就相應(yīng)越大。

圖4（b）為超瑞利波速移動常值荷載作用下，不同梁剛度時的地表振動曲線。當荷載速度超過臨界速度時，梁剛度的變化對振動幅值影響不明顯。在t=0附近，地表位移會發(fā)生振蕩，梁剛度越小，振蕩越激烈。此外，由于梁的存在會影響波的傳播方式，地表振動相位隨梁剛度的變化也出現(xiàn)了一定變化。

圖4（c）給出了亞瑞利波速簡諧荷載作用下，梁剛度對地表振動曲線的影響。可觀察到梁剛度對地表振動幅值與相位都有一定影響。隨著梁剛度的增大，地表振動幅值降低，且振動相位向左有一定偏移。

圖4（d）給出了超瑞利波速簡諧荷載作用下梁剛度不同時地表的振動情況。從圖中可以看到，隨著梁剛度的增大，振動相位向左偏移。

4.2.3梁的埋置深度對動力響應(yīng)的影響

取梁的抗彎剛度E1=5×10⁹N·m²，梁的埋深分別取h₁=5，10，15m。土體參數(shù)及荷載參數(shù)與表1中的取值相同。

由以上四幅圖可看出，梁的埋深越深，地表位移響應(yīng)幅值越小，且隨著埋深的增加，地表振動相位也有一定的偏移，振動頻率也有所降低。

圖5（a）與（b）中移動荷載的加振頻率為零。當荷載速度小于臨界速度時，梁的埋深越深，地表振動幅值越小，振動持續(xù)時間越短；當荷載速度大于臨界速度時，隨著梁埋深的增加，地表振動相位向右偏移，地表振動頻率有所降低，在t>0時更明顯。

圖5（c）與（d）中，移動荷載有一定的加振頻率，當荷載速度小于臨界速度時，響應(yīng)幅值不再是在t=0時達到最大，反而在t=0附近最小。在t>0時，梁的埋深對地表振動幅值的影響比t<0時的影響更明顯。當荷載速度大于臨界速度時，在t=0附近，振動曲線出現(xiàn)一段震蕩區(qū)域；在t<0時，地表振動相位隨隧道埋深的增加向左偏移；在t>0時，地表振動相位隨隧道埋深的增加向右偏移。

5結(jié)論

本文采用TRM法對飽和成層地基-梁耦合模型進行求解，得到了當移動荷載作用在埋置梁結(jié)構(gòu)上時，地基中任一點任一時刻的動力響應(yīng)積分形式解。通過數(shù)值計算，分析了荷載的速度、頻率、梁的剛度及埋深對地表振動的影響，得到以下結(jié)論：

（1）當移動荷載為常值荷載時，地表變形在荷載速度小于臨界速度時為準靜態(tài)變形，振動曲線關(guān)于t=0對稱；地表變形在移動速度超過臨界速度時出現(xiàn)振動，且t>0一側(cè)的地表振動幅值遠大于t<0一側(cè)的地表振動幅值。當移動荷載有加振頻率時，地表振動表現(xiàn)出多普勒效應(yīng)。

（2）梁結(jié)構(gòu)的存在對振動的振幅及相位均有影響。且隨著梁剛度的增加，地表振幅降低，振動的范圍變大，振動衰減變慢，振動相位也出現(xiàn)了偏移。

（3）梁結(jié)構(gòu)的埋置深度對地表振動的影響較大。埋深的增加不僅會使地表振動幅值降低，而且會對地表振動相位及頻率產(chǎn)生影響，影響的大小與荷載的移動速度及頻率都有關(guān)系。